(共31张PPT)
3.5 整式的化简
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.熟练运用整式的乘法法则和乘法公式进行计算、化简、求值和解方程.
2.让学生主动参与到学习的探索过程中来，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养学生的解题能力，提高运算的速度和准确性.
3.体会数学学习与生活的密切关系，了解数学的应用价值和数学化
简的简约美，体验数学的转化思想.
复习回顾
我们学过的乘法公式有什么？
1.平方差公式：
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍.
(a+b)2=a2±2ab+b2.
新知讲解
一根钢管的横截面如图，r表示内半径，h表示钢管的厚度.
怎样表示这根钢管的面积
新知讲解
如图，点M是AB的中点，点P在MB上. 分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF. 设AB=4a，MP =b，正方形APCD与正方形BEF的面积之差为S.
(1)用关于a，b的代数式表示S.
S= (2a+b)2 - (2a-b)2.
乘方运算
乘方运算
减法运算
新知讲解
如图，点M是AB的中点，点P在MB上. 分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF. 设AB=4a，MP =b，正方形APCD与正方形BEF的面积之差为S.
(2) 当a=4，b= 时，s的值是多少 当a=5，b= 时呢
怎样计算比较简洁？
先化简，再求值。
新知讲解
S=(2a+b)2 - (2a-b)2.
=(4a2+4ab+b2) -(4a2 -4ab+b2)
=4a2+4ab+b2-4a2+4ab-b2
=8ab.
(运用乘法公式)
(运用去括号法则)
(运用合并同类项法则)
当a=4，b= 时，s=8×4× =16.
当a=5，b= 时，S=8×5× =10.
新知讲解
【总结归纳】
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.
能运用乘法公式的则运用公式.
新知讲解
【例1】化简:
(1)(2x-1)(2x+1)-(4x+3)(x-6).
解：原式=4x2-1-(4x2-24x+3x-18)
=4x2-1-(4x2-21x-18)
=4x2-1-4x2+21x+18
=21x+17.
新知讲解
例1 化简:
(2) (2a+3b)2-4a(a+3b+1).
解：原式=4a2+12ab+9b2-4a2-12ab-4a
=9b2-4a.
新知讲解
【总结归纳】
(1)灵活使用运算律与各种公式进行简便运算.
(2)在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是存在负号的情形.
(3)运算的最后结果一定要化成最简形式，是同类项的一定要进行合并.
新知讲解
【例2】甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%.
(1)5月份甲超市的销售额比乙超市多多少
解：(1)由题意，5月份甲超市的销售额为a(1+x%)2，乙超市的销售
额为a(1-x%)2，则甲、乙两超市的销售额的差为
a(1+x%)2-a(1-x%)2
答：甲超市的销售额比乙超市多万元.
新知讲解
【例2】甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两
个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%.
(2)若a=150，x=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元
解：当a=150，x=2时，
答：甲超市的销售额比乙超市多12万元.
【想一想】如果不用第(1)题得到的代数式，你能直接用数的运算求
得第(2)题的答案吗 哪一种比较方便
新知讲解
应用整式解决实际问题的基本过程:
列代数式
化简
求值
整式的化简应遵循先乘方、再乘除，最后算加减的顺序.
能运用乘法公式的则运用公式.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )
A.-x2+y2
B. -x2-y2
c. x2-y2
D.x2+y
A
课堂练习
B
2.计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是( ).
A.8x2-8y2
B. 8y2-8x2
C. 8(x+y)2
D. 8(x-y)2
课堂练习
3.若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )
A. -5
B. 5
C. -2
D. 2
C
课堂练习
4.化简:
(1)(2a-b)·(2a+b)-(2a-b)2. (2)(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-5)(x+1).
解: (1)原式=4a2-b2-(4a2-4ab+b2）
=4a2-b2-4a2+4ab-b2
=4ab-2b2.
(2)原式=x2-2x+1+x2-9+x2-4x-5
=3x2-6x-13.
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.某商品原价为a元，因需求量增大，经营者连续两次提价，两次分别提价10%，后因市场物价调整，又一次性降价20%，降价后这种商品的价格是( )
A.1.08a元 B.0.88a元
C.0.968a元 D.a元
C
课堂练习
6.随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定i2=-1，并且新数i满足交换律、结合律和分配律，则(1+i)(2-i)的运算结果是( )
A.3-i
B.2+i
C.1-i
D.3+i
D
课堂练习
【综合实践类作业】
7.李大伯把一块L形的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是a(m)，下底都是b(m)，高都是(b-a)m，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当a=10 m，b=30 m时，这块菜地的面积.
解：根据题意得，菜地的面积是
2× (a+b)(b-a)=b2-a2.
当a=10m，b=30m时，原式=302-102=800(m).
所以这块菜地的面积为800m2
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
2.整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.
能运用乘法公式的则运用公式.
1.应用整式解决实际问题时应先化简，再求值。
板书设计
课题：3.5 整式的化简
教师板演区
学生展示区
一、整式的化简
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
D
1.计算(3x－5)2－(2x＋7)2的结果是( )
A．13x2－26x＋74
B．5x2－2x－24
C．x2－6x＋74
D．5x2－58x－24
作业布置
2.先化简，再求值:
(2x+3y)2- (2x+y)(2x-y)， 其中 x= ，y=
解：原式=(4x2+12y+9y2)-(4x2-y2)
=4x2+12xy+9y2-4x2+y2
=12xy+10y2.
当x= ,y= 时，
原式=12× ×（ ）+10×（ ）2=
作业布置
选做题：
B
3.下列各式：
①(－2a－1)2；②(－2a－1)(－2a＋1)；③(－2a＋1)(2a＋1)；④(2a－1)2；⑤(2a＋1)2中，
计算结果相同的是( )
A．①④ B．①⑤
C．②③ D．②④
作业布置
【综合实践类作业】
4.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线将长方形平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中的阴影部分的面积为________________；
(2)观察图②，请你写出三个代数式(m＋n)2， (m－n)2，mn之间的等量关系：______________________________；
(m－n)2
(m＋n)2－4mn＝ (m－n)2
作业布置
【综合实践类作业】
4.(3)根据(2)中的结论直接写出结果：若x＋y＝7，xy＝10，则(x－y)2＝________；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它代表的恒等式是______________________________________．
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(2m＋n) (m＋n)＝2m2＋3mn＋n2
谢谢
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分课时教学设计
《3.5 整式的化简》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是第3章第5节的内容，化简求值是中考必考题目，旨在考查学生的化简计算能力。通常情况下，是先进行化简，再将给定的字母的值代入求值。纵观近几年的中考题，大多数的分式化简求值题是让学生按照一定的条件自己选一个合适的值代入求值。通过本节课的学习，旨在帮助学生总结化简求值中一些常见误区和易错点，解决学生化简求值题拿不到满分这一问题。
学习者分析 在本章前面几节课的学习中，学生已经掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法以及单项式乘以单项式的法则等知识，这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础，同时经历了一些发现、探索的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的探究能力。
教学目标 1.熟练运用整式的乘法法则和乘法公式进行计算、化简、求值和解方程. 2.让学生主动参与到学习的探索过程中来，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养学生的解题能力，提高运算的速度和准确性. 3.体会数学学习与生活的密切关系，了解数学的应用价值和数学化简的简约美，体验数学的转化思想.
教学重点 能熟练运用整式的乘法法则和乘法公式进行计算、化简、求值和解方程。
教学难点 让学生主动参与到学习的探索过程中来，逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题：我们学过的乘法公式有什么？ 1.平方差公式： 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2. 2.完全平方公式： 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍. (a+b)2=a2±2ab+b2. 一根钢管的横截面如图，r表示内半径，h表示钢管的厚度.怎样表示这根钢管的面积 学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生读题理解题意，想一想怎样解决这个问题。活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：解决课本“例2”教师活动2： 如图，点M是AB的中点，点P在MB上. 分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF. 设AB=4a，MP =b，正方形APCD与正方形BEF的面积之差为S. (1)用关于a，b的代数式表示S. S= (2a+b)2 - (2a-b)2. (2) 当a=4，b=时，s的值是多少 当a=5，b= 时呢 怎样计算比较简洁？ 先化简，再求值。 S=(2a+b)2 - (2a-b)2. =(4a2+4ab+b2) -(4a2 -4ab+b2) =4a2+4ab+b2-4a2+4ab-b2 =8ab. 当a=4，b=时，s=8×4×=16. 当a=5，b=时，S=8×5×=10. 【总结归纳】 整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序. 能运用乘法公式的则运用公式.学生活动2： 学生回答教师提出的问题。 学生根据教师引导列出代数式。 学生代入求值。 师生共同完成解题过程。 师生共同总结整式的化简过程。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：解决例题教师活动3： 【例1】化简: (1)(2x-1)(2x+1)-(4x+3)(x-6). 解：原式=4x2-1-(4x2-24x+3x-18) =4x2-1-(4x2-21x-18) =4x2-1-4x2+21x+18 =21x+17. (2) (2a+3b)2-4a(a+3b+1). 解：原式=4a2+12ab+9b2-4a2-12ab-4a =9b2-4a. 【总结归纳】 (1)灵活使用运算律与各种公式进行简便运算. (2)在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是存在负号的情形. (3)运算的最后结果一定要化成最简形式，是同类项的一定要进行合并. 【例2】甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%. (1)5月份甲超市的销售额比乙超市多多少 解：(1)由题意，5月份甲超市的销售额为a(1+x%)2，乙超市的销售额为a(1-x%)2，则甲、乙两超市的销售额的差为 a(1+x%)2-a(1-x%)2 答：甲超市的销售额比乙超市多万元 (2)若a=150，x=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元 解：当a=150，x=2时， 答：甲超市的销售额比乙超市多12万元. 【想一想】如果不用第(1)题得到的代数式，你能直接用数的运算求得第(2)题的答案吗 哪一种比较方便 整式的化简应遵循先乘方、再乘除，最后算加减的顺序.能运用乘法公式的则运用公式.学生活动3： 学生完成课本例1，掌握化简的过程。 师生总结化简过程中应注意的问题。 学生根据教师分析，列出代数式，并解决这个问题。 学生在教师的引导下总结解决实际问题应注意的问题。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.5 整式的化简 一、整式的化简 二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算(x-y)(-y-x)的结果是( A ) A.-x2+y2 B. -x2-y2 c. x2-y2 D.x2+y 2.计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是( B ). A.8x2-8y2 B. 8y2-8x2 C. 8(x+y)2 D. 8(x-y)2 3.若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( C ) A. -5 B. 5 C. -2 D. 2 4.化简: (1)(2a-b)·(2a+b)-(2a-b)2 . (2)(x-1)2 +(x+3)(x-3)+(x-5)(x+1). 解: (1)原式=4a2-b2-(4a2-4ab+b2） =4a2-b2-4a2+4ab-b2 =4ab-2b2. (2)原式=x2-2x+1+x2-9+x2-4x-5 =3x2-6x-13. 选做题： 5.某商品原价为a元，因需求量增大，经营者连续两次提价，两次分别提价10%，后因市场物价调整，又一次性降价20%，降价后这种商品的价格是( C ) A.1.08a元 B.0.88a元 C.0.968a元 D.a元 6.随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定i2=-1，并且新数i满足交换律、结合律和分配律，则(1+i)(2-i)的运算结果是( D ) A.3-i B.2+i C.1-i D.3+i 【综合拓展类作业】 7.李大伯把一块L形的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是a(m)，下底都是b(m)，高都是(b-a)m，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当a=10 m，b=30 m时，这块菜地的面积. 解：根据题意得，菜地的面积是 2×(a+b)(b-a)=b2-a2. 当a=10m，b=30m时，原式=302-102=800(m). 所以这块菜地的面积为800m2
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算(3x－5)2－(2x＋7)2的结果是( D ) A．13x2－26x＋74 B．5x2－2x－24 C．x2－6x＋74 D．5x2－58x－24 2.先化简，再求值: (2x+3y)2- (2x+y)(2x-y)， 其中 x=，y= 解：原式=(4x2+12y+9y2)-(4x2-y2) =4x2+12xy+9y2-4x2+y2 =12xy+10y2. 当x=,y=时， 原式=12××（）+10×（）2= 选做题 3.下列各式： ①(－2a－1)2；②(－2a－1)(－2a＋1)；③(－2a＋1)(2a＋1)；④(2a－1)2；⑤(2a＋1)2中， 计算结果相同的是( B ) A．①④ B．①⑤ C．②③ D．②④ 【综合拓展类作业】 4.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线将长方形平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积为___(m－n)2_； (2)观察图②，请你写出三个代数式(m＋n)2， (m－n)2，mn之间的等量关系： (m＋n)2－4mn＝ (m－n)2； (3)根据(2)中的结论直接写出结果：若x＋y＝7，xy＝10，则(x－y)2＝_9__； (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它代表的恒等式是(2m＋n) (m＋n)＝2m2＋3mn＋n2．
教学反思 在教学过程中,要注重体现教师的导向作用和学生的主体地位。本节是新课内容的学习,教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,为学生创设情境,从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣,使学生轻松愉快地学习,使其在教学过程中在掌握知识同时、发展智力、受到教育。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示)。2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3理解乘法公式(a+b)(a—b)= a2—b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数)。5.会进行同底数幂相除的运算.6.会进行单项式除以单项式，多项式除以单项式的计算.7.会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题.
内容分析 整式的乘除是在学生学习了有理数的运算、列简单的代数式、一元一次方程及整式的加减等知识的基础上安排的。主要内容包括幂的运算法则、整式的乘法、乘法公式以及整式除法。这些知识是初中数学的重要内容，是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，是今后将要学习分式、一元二次方程、函数等内容的基础。学习本章重要的是通过探究公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析 一、知识经验基础:之前学生学过有理数的运算、整式及整式的加减运算，为学习本章内容奠定基础。二、活动经验基础:学习本章时，学生已经掌握了有理数的运算，会用代数式表示一些简单问题中的数量关系；能进行简单的整式加减运算；特别是对有理数乘方的认识为学习幂的运算性质打下基础，在前面的学习中经历了探索有理数运算法则、整式的加减的活动过程，积累了一定的数学活动经验，具有了一定抽象概括能力，能比较有条理地表达自己的思考，这些都为学习整式的乘除运算提供了条件。三、学生学习困难：七年级学生，善于观察、发现、猜想，合情推理能力较强，但演绎推理能力不足对幂的运算性质的一般性结论的推导存在一定困难；本章运算法则繁多，学生易出现运算法则的混淆问题.
单元目标 （一）教学目标1.经历推导正整数指数幂的运算性质的过程，能说出整数指数幂的意义、并能运用它们进行简单计算.2.经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.会进行简单的整式加减乘除运算(其中整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式).3.会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，（a±b)2=a2±2ab+b2,能解释公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养.（二）教学重点、难点重点：1.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.2.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验。3.进一步用科学记数法表示0到1之间的数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.推导平方差公式和完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算，了解公式的几何背景，发展几何直观。难点：1.能熟练的运用运算法则进行运算.2.正确理解乘法公式的意义，认识乘法公式的结构以及明确字母的广泛意义。3.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法13.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够发现运算法则。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，学生可以进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算。理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。单项式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够理解单项式的乘法法则。多项式的乘法1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，学生能够体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。整式的化简1.能利用加、减、乘、乘方将整式化简；2.能利用整式运算解决简单的实际问题．掌握整式化简的运算顺序，应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。通过计算掌握整式化简的运算顺序。同底数幂的除法1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；3.会进行简单的乘除混合运算．理解并掌握单项式除以单项式的法则及多项式除以单项式法则并能运用通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。
《整式的乘除》 单元教学设计
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