七年级数学下册试题 平行线复习题-M模型-浙教版（含解析）

平行线复习题-M模型
一、单选题
1．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　）
A．90° B．105° C．120° D．135°
2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．50°
3．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．35° D．5°
5．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）
A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°
二、填空题
6．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．
7．如图，，则____________________．
8．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
三、解答题
10．如图所示，已知，平分，平分，求证：
11．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论．
（1）；
（2）．
12．（1）如图1，，，，则 ；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
13．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：
证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
14．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．
15．如图，已知，求证：.
16．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数.
17．（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
18．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．
（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系 并说明理由；
②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系 并说明理由．
19．已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
20．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．
21．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．
　　　 　　　 　　　
（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；
（2）如图3，，点在直线上运动，记，．
①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．
22．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.
【详解】
作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选B．
2．B
【分析】
根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，
∵∠1=30°，∠2=35°，
∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，
∴∠BCE=65°，
故选：B．
3．B
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．
4．B
【分析】
作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
5．D
【详解】
分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可.
详解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选D．
二、填空题
6．
【分析】
在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．
【详解】
解：在中，，，，
∵，即，
∴为直角三角形且．
过点C作交AB于点M，则，如下图所示，
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故答案为：．
7．
【分析】
过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．
【详解】
过点做的平行线
，
又
又
.
故答案为：．
8．38°
【分析】
过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
9．y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】
解：作CG∥AB，DH∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥HD∥EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
三、解答题
10．
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
11．
（1）过点作，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
，，
．
（2）
，
，
又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
．
12．
（1）如图1，过作
，
，
，
又，
，
则
（2）
理由是：
如图2，过点作交于点
，
，
（3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵，
∴，
又∵在△CHP中，，
∴，
即：．
当点在上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即．
13．
证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
14．
如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．
作BF∥AE，
∴∠A+∠ABF=180 ，
∵∠A＝140°，
∴∠ABF=180 -∠A=40 ，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110 -40 =70 ，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FBC+∠C=180 ，
∴∠C=180 -∠FBC=180 -70 =110 ．
15．
解：作PQ∥BE，如图所示：
∵BE∥PQ，
∴∠1=∠EOP，
∵∠3=∠1+∠2，∠3=∠EOP+∠POF，
∴∠2=∠POF，
∴PQ∥FC，
∴BE∥FC，
∴∠AME=∠FNA，
又∵∠AME=∠A+∠B,∠FND=∠C+∠D,∠FNA+∠FND=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
16．
设，.
由基本图形HABCG知，
由基本图形HAFCG知，
因为的余角等于的补角，
所以，解得，
所以
17．
解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想,
∵AB∥ED∥CF，
∴
∴.
18．
（1）解：因为，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°；
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°.
19．
解：（1）．
过点作，如图1所示．
，，
，
，，
，
．
（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．
，，
，
，，
，
．
20．
解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，
∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，
∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．
综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
21．
解：（1）如图2，过作
，
，
，
，
，，
，，
．
（2）①、，
理由：如图3，过作，
，
，
，，
；
②、．
如备用图1，当在延长线上时，；
　　　
理由：如备用图1，过作，
，
，
，，
；
如备用图2所示，当在延长线上时，；
理由：如备用图2，过P作，
，
，
，，
；
综上所述，．
22．
解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，
证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：
过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．