浙教版七年级下册2.5 三元一次方程组及其解法-教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 初中数学 年级 七年级 学期 春季
课题 2.5 三元一次方程组及其解法
教学目标
会用数学的眼光观察现实世界：能在不同情境中，从方程角度思考、分析问题，并列出三元一次方程组. 会用数学的思维思考现实世界：经过类比，了解三元一次方程组以及三元一次方程组解的概念；通过解三元一次方程组进一步体会消元思想、转化思想. 会用数学的语言表达现实世界：能运用“加减法”、“代入法”解简单的三元一次方程组.
教学内容
教学重点： 三元一次方程组的概念及其解法.
2. 进一步体会“消元”“转化”等基本思想.
教学难点： 针对方程组的特点,灵活选择合适的解法.
教材分析
“三元一次方程组及其解法”是浙教版七年级数学下册第二章第五节的教学内容（选学），第二章的内容是二元一次方程组，全章对二元一次方程组的概念、解法、应用都进行了学习，学生具备一定的方程、消元、转化的基本数学思想。本节课是这个章节的章末课，是对二元一次方程组的拓展，但《义务教育数学课程标准（2022版）》中要求将“能解简单的三元一次方程组”作为选学内容，不作为考试要求。 虽然教材和课标将本节内容定位为“选学”，但“课程标准是底线要求，而不是天花板”，所以我们要根据实际提供选学内容的相关教学，让不同学生在数学上都能得到不同发展。无论是七年级二元一次方程组含参数的问题，还是九年级二次函数解析式的确定，还是高中求圆的一般方程，如果学生能熟练解三元一次方程组，则可为上述问题提供丰富的解决方法，所以，在七年级下学期教学三元一次方程组，是可以促进学生深刻理解学段前后知识的.
学情分析
在学习三元一次方程组之前，学生已经学习过了二元一次方程组的相关内容，同时根据导学案的要求复习了二元一次方程组的解法。这节课的目的就是让学生通过类比，尝试让学生自问自解，主动将二元一次方程组的解法运用到三元一次方程组的解题中，并归纳出解题思路。 三元一次方程组的解法和应用是转化思想和化归方法的具体表现，“转化思想方法”不仅是具体知识的精髓，而且是数学课堂教学的灵魂，一直伴随着方程成长，伴随着岁月长大，无处不在、无处不用．以本节课作为载体，通过教师对蕴涵思想的不断揭示和学生自身的内化，以此领悟并形成转化思想，进而由学生个体归结出解方程组的基本思想: 多元方程一元化，消元转化简单化，才是选学内容的真谛.
教学过程
活动一 问题情境·概念发生 【问题情境】亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，第19届亚运会在杭州举行，老师关注到了亚运会的颁奖花束，它被命名为“硕果累累”，是为了祝福运动员们在亚运赛场载誉而归!今天老师也为同学们准备了花束中寓意着丰收和成果的稻穗和莲蓬，以及代表亚运主形象色“虹韵紫”的蝴蝶兰若干。 【探究1】请你从三种花材中任意挑选12支,包成一束,你会如何选择 ①你能用方程表示这个关系吗 ②你能确定每种花材的数量吗 生：可以用进行表示，每个人选择不同，无法确定花材数量。 【设计意图】沿着二元一次方程组的研究路径，经历三元一次方程的发生，感受三元一次方程解的不唯一性。 【探究2】老师包了一束花，其中稻穗的数量是莲蓬的数量4倍，共用了12支花材,刚好用去22元.问三种花材各购买了多少支 ①这个问题中有几个未知量 ②你能找出几个等量关系 生：三个未知量，三个等量关系。 【设计意图】列三元一次方程组解决实际问题虽然不是这节课的重点，不过它有助于学生理解为什么要学习一元高次方程组的解法以及数学与生活的密切联系。 根据三个未知量和三个等量关系得到三元一次方程组，并思考想要研究关于方程组的哪些内容？在方程得出的过程中，可能会出现部分学生采取二元一次方程组解决问题的情况，这时也可以将这种方法展示在旁边，经过课程学习后学生会发现，这种方法实际上就是代入法解三元一次方程组。 活动二 类比学习·归纳定义·消元转化 【探究3】自主学习课本第35-36页,并回答问题. ①你能得到三元一次方程组的定义吗 ②什么叫三元一次方程组的解 生：三元一次方程组的定义: 由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组；三元一次方程组的解:同时满足三元一次方程组中各个方程的解. 【设计意图】由于三元一次方程组与二元一次方程组长得很像，自然猜想可以通过二元一次方程组的定义与二元一次方程组的解类比得到三元。贯彻学为中心，利用类比思想鼓励学生自主学习得到问题的答案，展现学生的自学能力，提高学习新课的动力，帮助学生将知识串联。 【探究4】如何求解三元一次方程组 解方程组的基本思想是“消元”，我们已经在解二元一次方程组中学习体验过，类比得到解三元一次方程组的方法也是消元，先转化为二元一次方程组再转化为解一元一次方程. 生：当方程中出现二元一次方程或者未知数系数为“1”时，我们常采取“代入消元法”. 生：当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对值相等或成倍数关系时，可以用“加减消元法”，消去这个未知数． 需要注意的是，消元法运用过程中可能会出现以下问题：①有的同学消元目标不明确，为了消元而消元，并没有达到我们转化的目的。消元只是将三元一次方程组转化为二元或者一元的一种方式，要真正达到消元的目的，必须锁定一个元。②有的同学求出两个元后就停止了探究，而没有写成三元一次方程组的解的形式。 【设计意图】利用消元转化的思想，三元一次方程组的求解对学生而言并不是太困难。观察系数特点，尝试用代入消元法和加减消元法解决问题。这时候老师不必讲解，充分发挥学生的主观能动性，只需要在学生分享后加以点播和整理。最后借助三层楼房直观展示三元到二元到一元的转化过程。 尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多类似之处，毕竟三元一次方程组复杂得多，所以在学习的过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识，能将这种思想迁移到解决四元一次方程组、五元一次方程组……等问题中. 活动三 积累感悟·探寻解法·联系生活·回眸历史 【探寻解法】观察下列方程组的特点，如何消元最简单？为什么？ 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题可以利用代入、加减、整体思想等消元方式，要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 【联系生活】活动最后还剩花材33支,其中稻穗和蝴蝶兰数之比为 3:2,蝴蝶兰和莲蓬数之比为 5:4.请你算一算,稻穗、莲蓬和蝴蝶兰各剩余多少支 方法一： 方法二：（优化代入消元法） 【设计意图】通过两个问题，引导学生分享自己的观察和思考，通过不同的方式解三元一次方程组，巩固新学的知识，开拓学生解题的思维，了解解题方法选择的重要性。还在分享过程中欣喜发现，学生能够通过对系数的观察提出“整体思想”、“优化代入消元法”等，进一步强化三元一次方程组的解法以及思路． 在理解运用消元思想方法的同时，观察分析及运算能力也是这节课训练的重点内容，注意在应用的过程中培养学生的表达习惯. 【回眸历史】早在我国古代数学专著，《九章算术》的“方程”章中，就有记载。“偏乘直除法”就类似于现在方程组的加减消元法，它还可以用来解四元一次方程组和五元一次方程组。同学们课后可以继续阅读课本第53页阅读材料，品味数学文化的魅力。 【设计意图】通过数学文化的拓展，激发学生兴趣，拓宽学生知识面，并产生强烈的民族文化自豪感，在学习过程中提高阅读材料的能力和自主学习的能力。 归纳小结 课后作业 1.完成资源包中的作业练习 （分为必做题、选做题和拓展题） 2.阅读资料：课本53页阅读材料“《九章算术》中的‘方程’” 【设计意图】1.必做题中的2、3来自课本57页复习题，第4题来自课本53页阅读材料，形式多样（选择、填空、解答、数学小报），主要考察学生是否能够利用所学解简单的三元一次方程组，通过教师批改规范学生解题规范，通过数学小报了解数学发展史，提升数学学习兴趣。 2.选做题也来自课本57页复习题，考察用数学眼光看世界，利用方程思想解决问题。在方程的给出中，特别是单位换算很容易出现问题。 3.拓展题主要分成两方面，一方面是对课本53页阅读材料的深入和提高，利用问题来考察学生阅读水平和理解能力，另一方面是针对现实问题中两个三元一次方程解的不唯一性进行研究。