(共27张PPT)
3.4 乘法公式
第1课时
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.掌握平方差公式，会利用平方差公式进行简单计算；
2.能运用平方差公式进行简便计算．
复习回顾
一、多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、请用字母描述多项式乘以多项式法则
(a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋nb＋nm
情境引入
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫. 图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？
新知讲解
计算：(a＋b)(a－b)＝ ___________.
探究：比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2 ＝a2－b2
a2－b2
左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
右边是乘式中二项式中的两项的平方差。
新知讲解
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
平方差公式
新知讲解
试一试：请用两种方法进行试算。
（1）(a＋2)(a－2)（2）(3－x)(3＋x)（3）(2m＋n)(2m－n)
解：（1）(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4
(a＋2)(a－2)＝a2－2a＋2a－22＝a2－4
（2）(3－x)(3＋x)＝32－x2＝9－x2
(3－x)(3＋x)＝32＋3x－3x－x2＝9－x2
（3）(2m＋n)(2m－n)＝(2m)2－n2＝4m2－n2
(2m＋n)(2m－n)＝(2m)2－2mn＋2mn－n2＝4m2－n2
新知讲解
做一做：将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？
(a＋b)(a－b)
a2－b2
相等
新知讲解
例1：运用平方差公式进行计算。
解：(1)(3x+5y)(3x-5y)
=（3x)2–(5y)2
=9x2–25y2
新知讲解
例2：利用平方差公式计算:
（1）103×97 ； （2）59.8×60.2
解:=(100+3)(100-3)
=1002-32
=10000-9
=9991
=(60-0.2)(60+0.2)
=602-0.22
=3600-0.04
=3599.96
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
D
课堂练习
2．如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多4平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．4米 B．6米
C．8米 D．10米
C
课堂练习
3．运用平方差公式计算：
(1)； (2)
解：（1）
（2）
课堂练习
4．用简便方法计算：．
解：
．
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5．运用平方差公式计算：
(1) (2)．
解：（1）
；
（2）
．
课堂练习
【综合实践类作业】
6．先化简，再求值：，其中．
解：原式，
当时，
原式
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2 － b2．
文字表述：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
适用条件：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．
注意：公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，甚至更复杂的代数式．
板书设计
课题：3.4 乘法公式 第1课时
教师板演区
学生展示区
平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2 － b2两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．下列各式，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
D
2．如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是( )
A． B．
C． D．
作业布置
D
作业布置
3．用平方差公式计算：
(1)； (2) ；
(3)； (4)．
解：（1）原式＝；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式＝＝．
作业布置
4．运用平方差公式计算：
（1）； （2）．
解：（1）2001×1999
＝（2000＋1）×（2000 1）
＝
＝4000000 1
＝3999999
（2）998×1002
＝（1000 2）×（1000＋2）
＝
＝1000000 4
＝999996．
作业布置
选做题：
5．下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能
（1）； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
答案：（2）、（3）、（4）、（5）可以用平方差公式计算，
（1）、（6）不能用平方差公式计算。
作业布置
【综合实践类作业】
6．解答下列问题．
(1)观察下列各式并填空：
；
；
①______；
②______2；
③_______；
④___ _______；
(2)通过观察、归纳，请你用含字母（为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；
(3)你能运用平方差公式来说明（）中你所写规律的正确性吗？
3
7
112
6
解：（3）能．证明如下，
.
=
=
∴．
112
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示)。2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3理解乘法公式(a+b)(a—b)= a2—b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数)。5.会进行同底数幂相除的运算.6.会进行单项式除以单项式，多项式除以单项式的计算.7.会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题.
内容分析 整式的乘除是在学生学习了有理数的运算、列简单的代数式、一元一次方程及整式的加减等知识的基础上安排的。主要内容包括幂的运算法则、整式的乘法、乘法公式以及整式除法。这些知识是初中数学的重要内容，是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，是今后将要学习分式、一元二次方程、函数等内容的基础。学习本章重要的是通过探究公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析 一、知识经验基础:之前学生学过有理数的运算、整式及整式的加减运算，为学习本章内容奠定基础。二、活动经验基础:学习本章时，学生已经掌握了有理数的运算，会用代数式表示一些简单问题中的数量关系；能进行简单的整式加减运算；特别是对有理数乘方的认识为学习幂的运算性质打下基础，在前面的学习中经历了探索有理数运算法则、整式的加减的活动过程，积累了一定的数学活动经验，具有了一定抽象概括能力，能比较有条理地表达自己的思考，这些都为学习整式的乘除运算提供了条件。三、学生学习困难：七年级学生，善于观察、发现、猜想，合情推理能力较强，但演绎推理能力不足对幂的运算性质的一般性结论的推导存在一定困难；本章运算法则繁多，学生易出现运算法则的混淆问题.
单元目标 （一）教学目标1.经历推导正整数指数幂的运算性质的过程，能说出整数指数幂的意义、并能运用它们进行简单计算.2.经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.会进行简单的整式加减乘除运算(其中整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式).3.会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，（a±b)2=a2±2ab+b2,能解释公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养.（二）教学重点、难点重点：1.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.2.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验。3.进一步用科学记数法表示0到1之间的数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.推导平方差公式和完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算，了解公式的几何背景，发展几何直观。难点：1.能熟练的运用运算法则进行运算.2.正确理解乘法公式的意义，认识乘法公式的结构以及明确字母的广泛意义。3.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法13.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够发现运算法则。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，学生可以进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算。理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。单项式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够理解单项式的乘法法则。多项式的乘法1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，学生能够体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。整式的化简1.能利用加、减、乘、乘方将整式化简；2.能利用整式运算解决简单的实际问题．掌握整式化简的运算顺序，应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。通过计算掌握整式化简的运算顺序。同底数幂的除法1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；3.会进行简单的乘除混合运算．理解并掌握单项式除以单项式的法则及多项式除以单项式法则并能运用通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。
《整式的乘除》 单元教学设计
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3.4 乘法公式 第1课时 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要教学内容是平方差公式，是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。
学习者分析 在学习平方差公式之前，学生已经学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识，特别是学生掌握了多项式乘法法则，这为本节课学习平方差公式奠定了基础。
教学目标 1.掌握平方差公式，会利用平方差公式进行简单计算； 2.能运用平方差公式进行简便计算。
教学重点 平方差公式的推导和应用。
教学难点 利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 教师提出问题。 一、多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 二、请用字母描述多项式乘以多项式法则 (a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋nb＋nm 三、靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫. 图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？ 学生活动1： 学生积极思考并回答问题活动意图说明： 通过复习多项式乘法法则，为特殊形式的多项式乘法做好铺垫，同时出示靠垫图片，引发学生思考。环节二：探究平方差公式教师活动2： 教师出示相关问题。 计算：(a＋b)(a－b)＝___________. 预设：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2 即：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 探究：比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？ 预设：左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。 右边是乘式中二项式中的两项的平方差。 归纳：平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 试一试：请用两种方法进行试算。 （1）(a＋2)(a－2)（2）(3－x)(3＋x)（3）(2m＋n)(2m－n) 解：（1）(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4 (a＋2)(a－2)＝a2－2a＋2a－22＝a2－4 （2）(3－x)(3＋x)＝32－x2＝9－x2 (3－x)(3＋x)＝32＋3x－3x－x2＝9－x2 （3）(2m＋n)(2m－n)＝(2m)2－n2＝4m2－n2 (2m＋n)(2m－n)＝(2m)2－2mn＋2mn－n2＝4m2－n2 做一做：将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？ 预设：(a＋b)(a－b)＝a2－b2学生活动2： 学生独立完成计算 学生小组合作探究，归纳出平方差公式的规律 尝试用文字语言描述平方差公式 学生独立完成，并在小组内交流，然后班内汇报 学生积极思考，小组讨论，充分发表自己的意见活动意图说明： 通过计算和图形推导，让学生理解平方差公式的内容及推导过程，并在图形推导过程中体会数形思想，掌握平方差公式。环节三：运用平方差公式进行计算教师活动3： 例1：运用平方差公式进行计算。 解：(1)(3x+5y)(3x-5y) =（3x)2–(5y)2 =9x2–25y2 例2：利用平方差公式计算: （1）103×97； （2）59.8×60.2 解:（1）103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =10000-9 =9991 （2）59.8×60.2 =(60-0.2)(60+0.2) =602-0.22 =3600-0.04 =3599.96 .学生活动3： 两名学生板演，其他学生独立完成后讲评 学生独立思考后，小组讨论交流，然后班内汇报，最后听老师的点评。 活动意图说明： 通过两道例题，让学生在应用练习的过程中及时巩固平方差公式，并学会利用平方差公式解决实际问题。
板书设计 课题：3.4 乘法公式 第1课时 平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2 － b2 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多4平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 答案：C 3．运用平方差公式计算： (1)； (2)； 解：（1） ； （2） ； 4．用简便方法计算：． 解： ． 选做题： 5．运用平方差公式计算： (1) (2)． 解：（1） ； （2） ． 【综合实践类作业】 6．先化简，再求值：，其中． 解：原式， 当时，原式
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．下列各式，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是( ) A． B． C． D． 答案：D 3．用平方差公式计算： (1)； (2) ； (3)； (4)． 解：（1）原式＝； （2）原式； （3）原式； （4）原式＝ ＝． 4．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 解：（1）2001×1999 ＝（2000＋1）×（2000 1） ＝ ＝4000000 1 ＝3999999 （2）998×1002 ＝（1000 2）×（1000＋2） ＝ ＝1000000 4 ＝999996． 选做题： 5．下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能 （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 答案：（2）、（3）、（4）、（5）可以用平方差公式计算，（1）、（6）不能用平方差公式计算， 【综合实践类作业】 6．解答下列问题． (1)观察下列各式并填空： ； ； ①______； ②______2； ③_______； ④____ _______； (2)通过观察、归纳，请你用含字母（为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律； (3)你能运用平方差公式来说明（）中你所写规律的正确性吗？ 解：（1）观察下列算式：； ； ①； ②； ③； ④； … 故答案为：3，7，，11，6； （2）通过观察归纳，猜想第n个式子为； （3）能．证明如下， . = = ∴．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 文字表述：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差． 适用条件：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差． 注意：公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，甚至更复杂的代数式．
教学反思 本节课从知识和数学思想两个方面加以引导学生探究乘法的平方差公式，在探究的过程中，留给学生充分探索与交流的时间和空间，让学生经历从多项式乘法到具有特殊形式的多项式乘法，感受平方差公式带来的计算的简洁性。在课堂练习和作业布置中，体现知识的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。
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