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3.4 乘法公式 第2课时 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容是整式乘法的完全平方公式。完全平方公式是初中数学中的重要公式，在初中数学中有着广泛的应用，解一元二次方程中的“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中都起着十分重要的作用。
学习者分析 在学习本节课之前学生已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式，为本课的学习做好了准备；同时在本课学生学习过程中，要注重由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标 1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算； 2.能运用完全平方公式解决有关问题．
教学重点 完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
教学难点 从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推导及完全平方公式的应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 教师出示问题。 一、平方差公式 预设：(a＋b)(a－b)＝a2 － b2． 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差． 二、平方差公式适用的条件 预设：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平方差公式并回想探究的思路和方法，为探究完全平方式做好铺垫。环节二：探究完全平方公式 教师活动2： 教师出示问题. 问题：如图所示，大正方形的边长为a＋b.请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积.你发现了什么代数公式？你能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这一代数公式？ 预设：发现(a+b)2=a2+2ab+b2 (a＋b)2 ＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ab＋b2 ＝a2＋2ab＋b2 归纳：两数和的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍. 做一做：用两数和的完全平方公式计算(填空): (1)(a+1)2=( )2+2.( ).( )+( )2=____________ (2)(2a+3b)2=( )2+2.( ).( )+( )2=____________ 答案：a，a，1，1，a2+2a+1 2a，2a，3b，3b，4a2+12ab+9b2 归纳：公式特点： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。 试一试：如果把(a－b)2写成[a＋(－b)]2，你能用两数和的完全平方公式进行计算吗？ 预设：[a＋(－b)]2＝a2+2.a.(－b)+(－b)2＝a2－2ab+b2 即：(a-b)2=a2-2ab+b2 归纳：两数差的完全平方公式 (a－b)2=a2－2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍. 公式特点： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。 归纳：两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式，统称完全平方公式. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2 口诀：首平方+尾平方，首尾两倍中间放 指出：平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.学生活动2： 学生积极思考问题，并尝试探究 小组讨论交流，归纳两数和的完全平方公式 学生运用两数和的完全平方公式进行填空，然后组内交流，派代表班内汇报交流 学生尝试计算，然后组内合作交流，归纳两数差的完全平方公式 学生认真听教师的梳理和总结 活动意图说明： 通过问题串，在几何图形的背景下引导学生探究两数和及差的完全平方公式，在探究中引导学生运用已获得的知识来解决问题的方法，渗透转化的数学思想，并有意识培养学生合作探究的能力及有条理的思考和语言表达能力。环节三：运用完全平方公式 教师活动3： 例1：用完全平方公式计算 ；； ；. 解 例2：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少平方米. 解：设原正方形苗圃的边长为a(m),边长都增加1.5m，新正方形的边长为(a+1.5)m， (a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25 当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75 答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2..学生活动3： 四名学生代表板演，其他学生独立完成，完成后学生讲解，然后听老师的点评 学生独立完成后，组内交流，班内汇报 活动意图说明： 在例题的应用过程中，强化完全平方公式的运用和公式中字母的广泛性及培养学生应用完全平方公式解决实际问题的能力。
板书设计 课题： 3.4 乘法公式 第2课时 一、完全平方公式 二、平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，则的值为（ ） A．1 B． C． D．3 答案：B 2．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）． A． B． C． D． 答案：C 3．运用完全平方公式计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 4．用完全平方公式计算： (1) ；(2) 解：（1） = = = = （2） = = = = 选做题： 5．将完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 若，，则的值为 ． 答案： 解：∵，， ∴． 【综合实践类作业】 6．化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …
乙同学 解：原式 …
(1)甲同学的依据是________，乙同学的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②乘法公式；③乘法分配律：④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：（1）由题意可得：甲同学的依据是②；乙同学的依据是③； （2）选择甲同学的解法： 原式 ． 选择乙同学的解法： 原式 ．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．下列各式利用完全平方公式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．利用乘法公式简便计算 (1)；(2) 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 4．计算． (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 5．先化简，再求值：，其中． 解：原式 ， 当时，原式． 【综合实践类作业】 6．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 解：阴影部分面积， 当，时，原式； 答：绿化的面积是平方米，当，时的绿化面积是63平方米．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 一、完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放 二、在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2. 三、平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
教学反思 本节课以探究式教学活动为主，让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等，构建对知识的形成和运用。在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习。有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示)。2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3理解乘法公式(a+b)(a—b)= a2—b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数)。5.会进行同底数幂相除的运算.6.会进行单项式除以单项式，多项式除以单项式的计算.7.会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题.
内容分析 整式的乘除是在学生学习了有理数的运算、列简单的代数式、一元一次方程及整式的加减等知识的基础上安排的。主要内容包括幂的运算法则、整式的乘法、乘法公式以及整式除法。这些知识是初中数学的重要内容，是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，是今后将要学习分式、一元二次方程、函数等内容的基础。学习本章重要的是通过探究公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析 一、知识经验基础:之前学生学过有理数的运算、整式及整式的加减运算，为学习本章内容奠定基础。二、活动经验基础:学习本章时，学生已经掌握了有理数的运算，会用代数式表示一些简单问题中的数量关系；能进行简单的整式加减运算；特别是对有理数乘方的认识为学习幂的运算性质打下基础，在前面的学习中经历了探索有理数运算法则、整式的加减的活动过程，积累了一定的数学活动经验，具有了一定抽象概括能力，能比较有条理地表达自己的思考，这些都为学习整式的乘除运算提供了条件。三、学生学习困难：七年级学生，善于观察、发现、猜想，合情推理能力较强，但演绎推理能力不足对幂的运算性质的一般性结论的推导存在一定困难；本章运算法则繁多，学生易出现运算法则的混淆问题.
单元目标 （一）教学目标1.经历推导正整数指数幂的运算性质的过程，能说出整数指数幂的意义、并能运用它们进行简单计算.2.经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.会进行简单的整式加减乘除运算(其中整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式).3.会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，（a±b)2=a2±2ab+b2,能解释公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养.（二）教学重点、难点重点：1.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.2.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验。3.进一步用科学记数法表示0到1之间的数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.推导平方差公式和完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算，了解公式的几何背景，发展几何直观。难点：1.能熟练的运用运算法则进行运算.2.正确理解乘法公式的意义，认识乘法公式的结构以及明确字母的广泛意义。3.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法13.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够发现运算法则。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，学生可以进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算。理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。单项式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够理解单项式的乘法法则。多项式的乘法1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，学生能够体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。整式的化简1.能利用加、减、乘、乘方将整式化简；2.能利用整式运算解决简单的实际问题．掌握整式化简的运算顺序，应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。通过计算掌握整式化简的运算顺序。同底数幂的除法1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；3.会进行简单的乘除混合运算．理解并掌握单项式除以单项式的法则及多项式除以单项式法则并能运用通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。
《整式的乘除》 单元教学设计
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3.4 乘法公式
第2课时
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；
2.能运用完全平方公式解决有关问题．
复习回顾
一、平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2 － b2．
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
二、平方差公式适用的条件
左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．
新知讲解
如图所示，大正方形的边长为 a＋b. 请用两种不同 的方法计算这个大正方形的面积. 你发现了什么代数公式？你能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这一代数公式？
(a＋b)2
a2＋2ab＋b2
相等
(a＋b)2
＝ (a＋b) (a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋ b2
＝a2＋2ab＋b2
新知讲解
(a+b)2 =a2 +2ab+ b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
两数和的完全平方公式
新知讲解
做一做：用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1) 2 =( )2 +2 . ( ) . ( ) +( )2 =____________
(2) (2a+3b)2 =( )2 +2 . ( ) . ( ) +( )2 =____________
a
a
1
1
a2+2a+1
2a
3b
3b
2a
4a2+12ab+9b2
公式特点：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
(a+b)2 =a2 +2ab+ b2
新知讲解
试一试：如果把(a－b)2写成[a＋(－b)]2 ，你能用两数和的完全平方公式进行计算吗？
[a＋(－b)]2 ＝ a2 +2 . a . (－b)+ (－b)2 ＝ a2－2ab+ b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
新知讲解
(a－b)2 =a2 －2ab+ b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
两数差的完全平方公式
公式特点：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
新知讲解
归纳
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方+尾平方，首尾两倍中间放
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式，统称完全平方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
新知讲解
解
例1：用完全平方公式计算
； ； ； .
新知讲解
例2：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少平方米.
解：设原正方形苗圃的边长为a(m),边长都增加1.5m，新正方形的边长为(a+1.5)m，
(a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
B
课堂练习
2．如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
C
课堂练习
3．运用完全平方公式计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
课堂练习
4．用完全平方公式计算：(1) ；(2)
解：（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=
=
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5．将完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
若，，则的值为 ．
解：∵，，
∴．
12
课堂练习
【综合实践类作业】
6.化简.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
甲同学
乙同学
解：原式
…
解：原式
…
(1)甲同学的依据是________，乙同学的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②乘法公式；③乘法分配律：④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
②
③
．
．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
一、完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式
二、在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.
三、平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
板书设计
课题：3.4 乘法公式 第2课时
教师板演区
学生展示区
一、完全平方公式
二、平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
D
作业布置
2．下列各式利用完全平方公式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
作业布置
3．利用乘法公式简便计算：(1)；(2)
解：（1）原式
；
（2）原式
．
作业布置
4．计算．
(1) (2)
解：（1）
；
（2）
．
作业布置
选做题：
5．先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，原式．
作业布置
【综合实践类作业】
6．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形土地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．
解：阴影部分面积
，
当，时，
原式；
答：绿化的面积是平方米，当，时的绿化面积是63平方米．
谢谢
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