【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第3章整式的乘除 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
2．（2023七下·兰州期中）若，则，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除 达标检测卷 ）若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023七下·槐荫期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．3
5．（2023七下·杭州期中）如果a＝（-2023）0，b＝（- ）， ，那么它们的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．（2019七下·宿豫期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B．16 C．9 D．8
8．（2023七下·东阳期末）已知，，求的值，这个问题我们可以用边长分别为和的两种正方形组成一个图形来解决，其中，能较为简单地解决这个问题是图形是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（ ）
A．20 B．25 C． D．
10．（2023七下·佛冈期中）下列计算中①；②；③；④；⑤；正确的个数有…（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七下·安乡县期中）计算： ．
12．（2023七下·桐城期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ．
13．（2023七下·海曙期末）已知，，则的值为 ．
14．（2023七下·泗阳期中）已知，则代数式的值为 .
15．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
16．（2023七下·全椒期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，．
（1）与的大小关系为： （填“>”“=”或“<”）；
（2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知（a+b≠0或±1)，且或，求的值.
18．（2023七下·霍邱期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．
（1）请写出图②所表示的代数恒等式．
（2）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式．
19．（2023七下·惠来期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区结果需要化简
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
20．（2023七下·成都期末）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A，B）的面积；
（2）若，，求卧室（含卧室A，B）比客厅大多少平方米．
21．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
22．（2023七下·东源期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
23．若x满足(9-x)(x-4)=4，求的值.
解：设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若x满足(x-10)(x-20)=15，求的值.
（2）若x满足(求(x-2023)(x-2024)的值.
（3）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积.
24．（2023七下·南海期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
2．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴，，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出a、b的值即可。
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴=1，
故答案为：C
【分析】先根据平方差和完全平方公式化简代数式，进而即可得到，接着根据题意进行转化即可求解。
5．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵a=(-2023)0=1，b=，c=()2=，
∴c>a>b.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可得a=1，根据有理数的乘方法则可得c=，据此进行比较.
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为：
（2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽，可得大长方形的面积为（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，由A类卡片的面积a2，B类卡片的面积b2，A类卡片的面积ab，从而可判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由图形可得阴影部分面积为
整理得：
变形得：
a+b=7，ab=11，
故答案为：D.
【分析】先结合图形表示出阴影部分的面积的式子，再对式子进行变形将已知条件代入计算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵(x+2y)2=x2+4xy+4y2
∴B选项的图形符合题意
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式(x+2y)2=x2+4xy+4y2，及其几何意义即可判断.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： ∵重合部分小正方形的面积为5，
∴重合部分小正方形的边长为，
∴BE=AB-AE=6-a=b-，BI=AG-=a-.
∴a+b=6+，
∴S1=（a-）（b-）
=ab-6，
∵S2=4S1，
∴S2=4ab-24，
∴a2+b2-5+S1+S2=6×10，
∴a2+b2+5ab=65+30，
∴（a+b）2+3ab=65+30
，
∴（6+）2+3ab=65+30
∴3ab=24+18
∴ab=8+6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（6+）2-2（8+6）
=36+12+5-16-12
=25．
故答案为：B.
【分析】先根据重合部分小正方形的面积，求得重合部分小正方形的边长，再用a，b表示BE，从中找出a，b之间的关系，然后后a，b表示出S1，进而分别求得a+b与ab，最后求得a2+b2即可.
10．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x（2x2-x+1）=2x3-x2+x，故①错误；
（a+b）2=a2+b2+2ab，故②错误；
（x-4）2=x2-8x+16，故③错误；
（5a-1）（-5a-1）=-25a2+1，故④错误；
（-a-b）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，故⑤正确；
∴正确结论的个数有1个.
故答案为：A
【分析】利用单项式乘以多项式的法则去括号，可对①作出判断；利用完全平方公式进行计算，可对②③⑤作出判断；利用平方差公式看，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= ，
=4（1-）+
=4-+=4；
故答案为：14.
【分析】将原式变形为，利用平方差公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：=2x3+mx2-4x+6x2+3mx-12=2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，
∵展开式中不含项 ，
∴m+6=0，
∴m=-6.
故第1空答案为：-6.
【分析】根据多项式乘多项式法则，得出多项式相乘所得的积为2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，再根据展开式不含二次项，可得二次项系数为0，从而得到m=-6.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减；
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
14．【答案】2023
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式.
故答案为：2023.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(2x+1)(4x-3)=8x2-2x-3，由已知条件可得8x2-2x=2026，然后代入进行计算.
15．【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
16．【答案】（1）
（2）1011
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据图示知：S1=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，S2=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，
∴S1-S2=（m2+6m+8）-（m2+8m+7）=-2m+1，
∵m为正整数，
∴m≥1，
∴-2m≤-2，
∴-2m+1≤-2+1，
∴-2m+1＜0，
∴S1-S2＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：＜；
（2）由（1）知：丨S2-S1丨=丨-2m+1丨=2m-1，
∵丨S2-S1丨＜n≤2023的整数n只有两个，
∴整数n为：2022，2023，
∴丨S2-S1丨=2021，
∴2m-1=2021，
∴m=1011，
故答案为：1011.
【分析】（1）首先根据长方形的面积计算公式求得S1=m2+6m+8和S2=m2+8m+7，然后计算S1-S2=-2m+1，根据m为正整数，可判断S1-S2＜0，进而得出S1＜S2的结论；
（2）由（1）知，-2m+1＜0，可得丨S2-S1丨=2m-1，根据S2-S1丨＜n≤2023的整数n只有两个，可得整数n为：2022，2023，故而得出丨S2-S1丨=2021，即2m-1=2021，解方程，即可求出m的值。
17．【答案】解：解：∵，
∴，
∴，
解得；
∴=256.
【知识点】同底数幂的乘法；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】先根据同底数幂指数相乘，底数不变，指数相加将两个等式进行化简，再根据等式的性质，等式两边底数相等，指数相等，列二元一次方程组，解得a和b的值；将a和b的值代入代数式，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
18．【答案】（1）解：由题意得；
（2）解：如图所示，即为所求；
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案；
（2）方法同（1），再利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可.
19．【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米
（2）解：长方形空地的面积为：
平方米，
休息区面积
平方米
（3）解：，
休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】 （1）根据长方形的面积公式即可得出答案；
（2）根据休息区面积=空地的面积-长方形游泳池的面积，即可得出答案；
（3）将休息区面积-游泳池面积，判断该值与0的关系，即可得出答案.
20．【答案】（1）解：结合图形可得：客厅面积为（平方米），卧室的面积为：（平方米），
客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米．
（2）解：
.
把，代入，原式．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）客厅是一个长方形，直接根据面积计算公式，列式为x（x+y），然后进行乘法运算即可；两个卧室组成一个长方形，长为（2x+y），宽为【2x-（x-y）】，然后根据长方形面积公式，列式并计算即可；
（2）用（1）的结论，直接用卧室面积减去客厅面积，列式并整理成含有（x-y）和xy的式子，然后整体代入求值即可。
21．【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
22．【答案】（1）；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2
（3）解：应用乘法公式得：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
；
图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b），
.
故答案为：；；
（2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积；
（2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式
（3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案.
23．【答案】（1）解：设x-10=a，x-20=b，
则 (x-10)(x-20)=ab=15， (x-10)-(x-20)=a-b=10，
∴（x-10）2+(x-20)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=102+2×15=130.
（2）解：设x-2023=a，x-2024=b，
则 (x-2023)2+(x-2024)2=a2+b2=33， (x-2023)-(x-2024)=a-b=1，
∴（a-b）2=12，
∴a2-2ab+b2=1，
∴33-2ab=1，解得：ab=16，
故(x-2023)(x-2024)=ab=16.
（3）解：∵正方形的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x-1，DF=x-3，
∴（x-1）(x-3)=48，
∴(x-1)-(x-3)=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-(x-3)2，
设x-1=a，x-3=b，则（x-1）(x-3）=ab=48，a-b=(x-1）-（x-3）=2，
∴（a+b）2=(a-b)2+4ab=4+192=196，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2
=a2-b2
=(a+b)(a-b)
=14×2=28.
即阴影部分的面积为28.
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)设x-2023=a，x-2024=b，由已知条件得ab=1，a-b=10，根据a2+b2=(a-b)2+2ab即可求解；
（2）设x-2023=a，x-2024=b，结合已知可得a2+b2=33，a-b=2，将a-b=2两边分别平方，然后整体代换即可求解；
（3）观察图形，根据线段的构成将FM=DE，DF用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-(x-3)2，根据（2）的方法计算即可求解.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（4）解：由题意可知，阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2面积=大长方形的面积=两个小长方形的面积和，
∴a（b+c）=ab+ac，
故答案为：a（b+c）=ab+ac，
（2）解：根据题意可知：图形的面积为，
图形的面积也可以表示为，
所以；
故答案为：；
【分析】（1）根据图形的面积=大长方形的面积=2个小长方形的面积和，即可得解；
（2）图3的面积=大正方形的面积=四个小长方形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（3）由（2）可得，再整体代入计算即可；
（4）阴影部分的面积为，整理为，然后整体代入计算即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第3章整式的乘除 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
2．（2023七下·兰州期中）若，则，的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵，，
∴，，
故答案为：A.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出a、b的值即可。
3．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除 达标检测卷 ）若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
4．（2023七下·槐荫期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵，
∴=1，
故答案为：C
【分析】先根据平方差和完全平方公式化简代数式，进而即可得到，接着根据题意进行转化即可求解。
5．（2023七下·杭州期中）如果a＝（-2023）0，b＝（- ）， ，那么它们的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵a=(-2023)0=1，b=，c=()2=，
∴c>a>b.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可得a=1，根据有理数的乘方法则可得c=，据此进行比较.
6．（2019七下·宿豫期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为：
（2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽，可得大长方形的面积为（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，由A类卡片的面积a2，B类卡片的面积b2，A类卡片的面积ab，从而可判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张.
7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为 （ ）
A．24 B．16 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由图形可得阴影部分面积为
整理得：
变形得：
a+b=7，ab=11，
故答案为：D.
【分析】先结合图形表示出阴影部分的面积的式子，再对式子进行变形将已知条件代入计算即可求解.
8．（2023七下·东阳期末）已知，，求的值，这个问题我们可以用边长分别为和的两种正方形组成一个图形来解决，其中，能较为简单地解决这个问题是图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵(x+2y)2=x2+4xy+4y2
∴B选项的图形符合题意
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式(x+2y)2=x2+4xy+4y2，及其几何意义即可判断.
9．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（ ）
A．20 B．25 C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解： ∵重合部分小正方形的面积为5，
∴重合部分小正方形的边长为，
∴BE=AB-AE=6-a=b-，BI=AG-=a-.
∴a+b=6+，
∴S1=（a-）（b-）
=ab-6，
∵S2=4S1，
∴S2=4ab-24，
∴a2+b2-5+S1+S2=6×10，
∴a2+b2+5ab=65+30，
∴（a+b）2+3ab=65+30
，
∴（6+）2+3ab=65+30
∴3ab=24+18
∴ab=8+6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（6+）2-2（8+6）
=36+12+5-16-12
=25．
故答案为：B.
【分析】先根据重合部分小正方形的面积，求得重合部分小正方形的边长，再用a，b表示BE，从中找出a，b之间的关系，然后后a，b表示出S1，进而分别求得a+b与ab，最后求得a2+b2即可.
10．（2023七下·佛冈期中）下列计算中①；②；③；④；⑤；正确的个数有…（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x（2x2-x+1）=2x3-x2+x，故①错误；
（a+b）2=a2+b2+2ab，故②错误；
（x-4）2=x2-8x+16，故③错误；
（5a-1）（-5a-1）=-25a2+1，故④错误；
（-a-b）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，故⑤正确；
∴正确结论的个数有1个.
故答案为：A
【分析】利用单项式乘以多项式的法则去括号，可对①作出判断；利用完全平方公式进行计算，可对②③⑤作出判断；利用平方差公式看，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七下·安乡县期中）计算： ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= ，
=4（1-）+
=4-+=4；
故答案为：14.
【分析】将原式变形为，利用平方差公式计算即可.
12．（2023七下·桐城期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：=2x3+mx2-4x+6x2+3mx-12=2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，
∵展开式中不含项 ，
∴m+6=0，
∴m=-6.
故第1空答案为：-6.
【分析】根据多项式乘多项式法则，得出多项式相乘所得的积为2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，再根据展开式不含二次项，可得二次项系数为0，从而得到m=-6.
13．（2023七下·海曙期末）已知，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减；
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
14．（2023七下·泗阳期中）已知，则代数式的值为 .
【答案】2023
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式.
故答案为：2023.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(2x+1)(4x-3)=8x2-2x-3，由已知条件可得8x2-2x=2026，然后代入进行计算.
15．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
16．（2023七下·全椒期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，．
（1）与的大小关系为： （填“>”“=”或“<”）；
（2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 ．
【答案】（1）
（2）1011
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据图示知：S1=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，S2=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，
∴S1-S2=（m2+6m+8）-（m2+8m+7）=-2m+1，
∵m为正整数，
∴m≥1，
∴-2m≤-2，
∴-2m+1≤-2+1，
∴-2m+1＜0，
∴S1-S2＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：＜；
（2）由（1）知：丨S2-S1丨=丨-2m+1丨=2m-1，
∵丨S2-S1丨＜n≤2023的整数n只有两个，
∴整数n为：2022，2023，
∴丨S2-S1丨=2021，
∴2m-1=2021，
∴m=1011，
故答案为：1011.
【分析】（1）首先根据长方形的面积计算公式求得S1=m2+6m+8和S2=m2+8m+7，然后计算S1-S2=-2m+1，根据m为正整数，可判断S1-S2＜0，进而得出S1＜S2的结论；
（2）由（1）知，-2m+1＜0，可得丨S2-S1丨=2m-1，根据S2-S1丨＜n≤2023的整数n只有两个，可得整数n为：2022，2023，故而得出丨S2-S1丨=2021，即2m-1=2021，解方程，即可求出m的值。
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知（a+b≠0或±1)，且或，求的值.
【答案】解：解：∵，
∴，
∴，
解得；
∴=256.
【知识点】同底数幂的乘法；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】先根据同底数幂指数相乘，底数不变，指数相加将两个等式进行化简，再根据等式的性质，等式两边底数相等，指数相等，列二元一次方程组，解得a和b的值；将a和b的值代入代数式，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
18．（2023七下·霍邱期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．
（1）请写出图②所表示的代数恒等式．
（2）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式．
【答案】（1）解：由题意得；
（2）解：如图所示，即为所求；
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案；
（2）方法同（1），再利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可.
19．（2023七下·惠来期末）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区结果需要化简
（1）求长方形游泳池面积；
（2）求休息区面积；
（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．
【答案】（1）解：长方形游泳池面积为：
平方米
（2）解：长方形空地的面积为：
平方米，
休息区面积
平方米
（3）解：，
休息区的面积大于游泳池面积．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】 （1）根据长方形的面积公式即可得出答案；
（2）根据休息区面积=空地的面积-长方形游泳池的面积，即可得出答案；
（3）将休息区面积-游泳池面积，判断该值与0的关系，即可得出答案.
20．（2023七下·成都期末）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A，B）的面积；
（2）若，，求卧室（含卧室A，B）比客厅大多少平方米．
【答案】（1）解：结合图形可得：客厅面积为（平方米），卧室的面积为：（平方米），
客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米．
（2）解：
.
把，代入，原式．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）客厅是一个长方形，直接根据面积计算公式，列式为x（x+y），然后进行乘法运算即可；两个卧室组成一个长方形，长为（2x+y），宽为【2x-（x-y）】，然后根据长方形面积公式，列式并计算即可；
（2）用（1）的结论，直接用卧室面积减去客厅面积，列式并整理成含有（x-y）和xy的式子，然后整体代入求值即可。
21．（2023七下·即墨期末）
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
22．（2023七下·东源期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
【答案】（1）；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2
（3）解：应用乘法公式得：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
；
图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b），
.
故答案为：；；
（2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积；
（2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式
（3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案.
23．若x满足(9-x)(x-4)=4，求的值.
解：设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若x满足(x-10)(x-20)=15，求的值.
（2）若x满足(求(x-2023)(x-2024)的值.
（3）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设x-10=a，x-20=b，
则 (x-10)(x-20)=ab=15， (x-10)-(x-20)=a-b=10，
∴（x-10）2+(x-20)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=102+2×15=130.
（2）解：设x-2023=a，x-2024=b，
则 (x-2023)2+(x-2024)2=a2+b2=33， (x-2023)-(x-2024)=a-b=1，
∴（a-b）2=12，
∴a2-2ab+b2=1，
∴33-2ab=1，解得：ab=16，
故(x-2023)(x-2024)=ab=16.
（3）解：∵正方形的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x-1，DF=x-3，
∴（x-1）(x-3)=48，
∴(x-1)-(x-3)=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-(x-3)2，
设x-1=a，x-3=b，则（x-1）(x-3）=ab=48，a-b=(x-1）-（x-3）=2，
∴（a+b）2=(a-b)2+4ab=4+192=196，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2
=a2-b2
=(a+b)(a-b)
=14×2=28.
即阴影部分的面积为28.
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)设x-2023=a，x-2024=b，由已知条件得ab=1，a-b=10，根据a2+b2=(a-b)2+2ab即可求解；
（2）设x-2023=a，x-2024=b，结合已知可得a2+b2=33，a-b=2，将a-b=2两边分别平方，然后整体代换即可求解；
（3）观察图形，根据线段的构成将FM=DE，DF用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-(x-3)2，根据（2）的方法计算即可求解.
24．（2023七下·南海期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．
（1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ；
（2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ；
（3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值；
（4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（4）解：由题意可知，阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2面积=大长方形的面积=两个小长方形的面积和，
∴a（b+c）=ab+ac，
故答案为：a（b+c）=ab+ac，
（2）解：根据题意可知：图形的面积为，
图形的面积也可以表示为，
所以；
故答案为：；
【分析】（1）根据图形的面积=大长方形的面积=2个小长方形的面积和，即可得解；
（2）图3的面积=大正方形的面积=四个小长方形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（3）由（2）可得，再整体代入计算即可；
（4）阴影部分的面积为，整理为，然后整体代入计算即可.
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