4.1因式分解-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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4.1因式分解 同步分层作业
基础过关
1．下列变形是因式分解的是（　　）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x（a+b）＝ax+bx B．m2﹣4m＝（m﹣2）2﹣4
C．x2﹣4+y2＝（x+2）（x﹣2）+y2 D．x2﹣81y2＝（x+9y）（x﹣9y）
3．下列从左到右变形，是因式分解的是（　　）
A．2x3﹣4x2+4＝2x（x2﹣2x+2） B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
C．﹣2x3y+2xy3＝﹣2xy（x+y）（x﹣y） D．a（2a2+5ab﹣b2）＝2a3+5a2b﹣ab2
4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B．
C．a（a+1）＝a2+a D．9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y）
5．下列由左到右的变形是因式分解的打“√”，不是的打“×”：
（1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9． （　　）
（2）x2+2x+2＝（x+1）2+1．（　　）
（3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）． （　　）
（4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y）． （　　）
（5）1﹣＝（1+）（1﹣）． （　　）
（6）m2++2＝（m+）2．（　　）
（7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （　　）
6．下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？
（1）24x2y＝4x 6xy；
（2）（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25；
（3）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
（4）9x2﹣6x+1＝3x（3x﹣2）+1；
（5）x2+1＝x（x+）
能力提升
7．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　）
A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2
8．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　　．
10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是　 　．
11.若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝　　，b＝　　．
12.代数式x2﹣mx+6可因式分解为（x+a）（x+b）并且a，b为整数，则整数m＝　　．（只需填写一个答案）
培优拔尖
13．已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为（　　）
A．65 B．﹣65 C．90 D．﹣90
14．若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 　　．
15．若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2，则a+b的值为 　　．
16．关于x的多项式2x2﹣11x+m分解因式后有一个因式是2（x﹣3）（x﹣n），试求m、n的值．
17．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式．试求：m、n的值？
18.【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　；
（2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值；
（3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值．
答案与解析
基础过关
1．下列变形是因式分解的是（　　）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x（a+b）＝ax+bx B．m2﹣4m＝（m﹣2）2﹣4
C．x2﹣4+y2＝（x+2）（x﹣2）+y2 D．x2﹣81y2＝（x+9y）（x﹣9y）
【点拨】根据因式分解的定义进行判断即可．
【解析】解：A选项是多项式的乘法，不是因式分解，不合题意；
B选项中右边是不乘积的形式，不是因式分解，不合题意；
C选项中右边是不乘积的形式，不是因式分解，不合题意；
D选项是将整式分解成了两个因式乘积的形式，故D是因式分解．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的意义，正确记忆因式分解的定义是解题关键．
3．下列从左到右变形，是因式分解的是（　　）
A．2x3﹣4x2+4＝2x（x2﹣2x+2） B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
C．﹣2x3y+2xy3＝﹣2xy（x+y）（x﹣y） D．a（2a2+5ab﹣b2）＝2a3+5a2b﹣ab2
【点拨】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此逐项判断即可．
【解析】解：2x3﹣4x2+4与2x（x2﹣2x+2）不相等，则A不符合题意；
（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，它是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意；
﹣2x3y+2xy3＝﹣2xy（x+y）（x﹣y）符合因式分解的定义，则C符合题意；
a（2a2+5ab﹣b2）＝2a3+5a2b﹣ab2，它是乘法运算，不是因式分解，则D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 B．
C．a（a+1）＝a2+a D．9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y）
【点拨】将一个多项式化成几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解析】解：4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1中，等号右边不是积的形式，他不熟因式分解，则A不符合题意；
a2b2不是多项式，无法因式分解，则B不符合题意；
a（a+1）＝a2+a是乘法运算，不是因式分解，则C不符合题意；
9x2﹣25y2＝（3x﹣5y）（3x+5y）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．下列由左到右的变形是因式分解的打“√”，不是的打“×”：
（1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9． （　×　）
（2）x2+2x+2＝（x+1）2+1．（　×　）
（3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）． （　√　）
（4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y）． （　√　）
（5）1﹣＝（1+）（1﹣）． （　×　）
（6）m2++2＝（m+）2．（　×　）
（7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （　√　）
【点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】解：（1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，从左到右的变形不属于因式分解，
故答案为：×；
（2）x2+2x+2＝（x+1）2+1，从左到右的变形不属于因式分解，
故答案为：×；
（3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4），从左到右的变形属于因式分解，
故答案为：√；
（4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y），从左到右的变形属于因式分解，
故答案为：√；
（5）1﹣＝（1+）（1﹣），从左到右的变形不属于因式分解，
故答案为：×；
（6）m2++2＝（m+）2，从左到右的变形不属于因式分解，
故答案为：×；
（7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），从左到右的变形属于因式分解，
故答案为：√．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？
（1）24x2y＝4x 6xy；
（2）（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25；
（3）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
（4）9x2﹣6x+1＝3x（3x﹣2）+1；
（5）x2+1＝x（x+）
【点拨】根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式
【解析】解：（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不是因式分解；
（2）右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（3）是因式分解；
（4）右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（5）右边不是整式积的形式，不是因式分解；
则（1）（2）（4）（5）不是因式分解，（3）是因式分解．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．
能力提升
7．若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（　　）
A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2
【点拨】将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．
【解析】解：根据题意得：x2+mx﹣18＝（x﹣9）（x+n）＝x2+（n﹣9）x﹣9n，
∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n，
解得：m＝﹣7，n＝2．
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
8．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
【点拨】首先把2（x﹣3）（x+1），利用整式的乘法计算得出结果，与多项式ax2+bx+c的每一项相对应，求出a、b、c的数值即可．
【解析】解：2（x﹣3）（x+1）
＝2（x2﹣2x﹣3）
＝2x2﹣4x﹣6，
ax2+bx+c＝2x2﹣4x﹣6
所以a＝2，b＝﹣4，c＝﹣6．
故选：D．
【点睛】此题考查整式的乘法计算方法以及代数式中每一项的意义．
9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　15　．
【点拨】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
【解析】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，
∴b＝9，
因此a+b＝15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键．
10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是　（x+1）（x﹣6）　．
【点拨】根据已知分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），可求出a的值，进而因式分解即可．
【解析】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），
∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，
∴b＝﹣6，
∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），
∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，
∴a＝﹣5，
∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）．
故答案为：（x+1）（x﹣6）．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
11.若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝　5　，b＝　﹣4　．
【点拨】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据a＞b即可得到a、b的值．
【解析】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），
∵a＞b，
∴a＝5，b＝﹣4．
故答案为5，﹣4．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．
12.代数式x2﹣mx+6可因式分解为（x+a）（x+b）并且a，b为整数，则整数m＝　5　．（只需填写一个答案）
【点拨】此题可以先将（x+a）（x+b）展开，然后对照可得ab＝6，a+b＝﹣m，再确定一个符合题意的m值．
【解析】解：（x+a）（x+b），
＝x2+（a+b）x+ab，
＝x2﹣mx+6；
则m＝﹣a﹣b；6＝ab；
又由于a、b为整数且m为整数，
所以m可取±5；±7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，属于开放型题目，同学们要好好掌握解题技巧．
培优拔尖
13．已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为（　　）
A．65 B．﹣65 C．90 D．﹣90
【点拨】设多项式的另一个因式为2x+b，则（x﹣5）（2x+b）＝2x2+8x+a，然后先求得b的值，从而可得到a的值．
【解析】解：设多项式的另一个因式为2x+b．
则（x﹣5）（2x+b）＝2x2+（b﹣10）x﹣5b＝2x2+8x+a．
所以b﹣10＝8，解得b＝18．
所以a＝﹣5b＝﹣5×18＝﹣90．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的意义，确定多项式的另一个因式是解题的关键．
14．若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 　3　．
【点拨】由多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，可得当x＝﹣1时，多项式＝0，从而得出一个关于m的方程式，解得即可．
【解析】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，
∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0，
即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了因式分解和多项式的乘法，解决本题主要的关键是列出关于m的方程．
15．若多项式2x3+ax2+bx﹣8有两个因式x+1和x﹣2，则a+b的值为 　﹣6　．
【点拨】根据题意，可得2x3+ax2+bx﹣8＝（x+1）（x﹣2）（2x+k）（k为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得a+b．
【解析】解：由题意知：2x3+ax2+bx﹣8＝（x+1）（x﹣2）（2x+k）（k为任意实数）．
∴2x3+ax2+bx﹣8＝（x2﹣x﹣2）（2x+k）．
∴2x3+ax2+bx﹣8＝2x3+（k﹣2）x2+（﹣k﹣4）x﹣2k．
∴k﹣2＝a，﹣k﹣4＝b，﹣2k＝﹣8．
∴k＝4．
∴a＝2，b＝﹣8．
∴a+b＝2﹣8＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键．
16．关于x的多项式2x2﹣11x+m分解因式后有一个因式是2（x﹣3）（x﹣n），试求m、n的值．
【点拨】根据题意，可得：2x2﹣11x+m＝2（x﹣3）（x﹣n）＝2x2﹣2（n+3）x+6n，据此求出m、n的值各是多少即可．
【解析】解：2x2﹣11x+m＝2（x﹣3）（x﹣n）＝2x2﹣2（n+3）x+6n，
∴
解得，
∴m的值是15，n的值是2.5．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握．
17．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式．试求：m、n的值？
【点拨】首先利用多项式乘法去括号，进而得出对应同类项系数相同，进而求出即可．
【解析】解：∵（x+2y+m）（2x﹣y+n）
＝2x2﹣xy+nx+4xy﹣2y2+2yn+2mx﹣my+mn
＝2x2+3xy﹣2y2+（n+2m）x+（2n﹣m）y﹣6，
∴，
解得：．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，得出关于m，n的等式是解题关键．
18.【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）　；
（2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值；
（3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值．
【点拨】（1）将（x﹣1）（x+m）展开后求得m的值即可；
（2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a），将（x﹣2）（x+a）展开后求得a的值后即可求得2m﹣n的值；
（3）将（x+a）（x2+bx+c）展开后即可求得答案．
【解析】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m，
则m＝2，
则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣1）（x+2）；
（2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
则m＝a﹣2，n＝2a，
那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4；
（3）∵（x+a）（x2+bx+c）
＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac
＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac
＝x3+2x2﹣3，
∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．
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