4.3用乘法公式分解因式-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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4.3用乘法公式分解因式 同步分层作业
基础过关
1．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　）
A．b2﹣a2 B．x2﹣4x C．x2+4x+1 D．﹣x2﹣1
2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
3．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2
4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
（1）x2﹣4y2 （2）9a2b2﹣3ab+1 （3）﹣x2﹣2xy﹣y2 （4）x2+y2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a）
C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2
6．下列因式分解正确的是（　　）
A．3x﹣12x2＝3x（1﹣4x2） B．9m2﹣4n2＝（9m+4n）（9m﹣4n）
C．3y2+6y+3＝3（y+1）2 D．a（n﹣2）+b（2﹣n）＝（n﹣2）（a+b）
7．将a3b﹣ab3因式分解，正确的是（　　）
A．ab（a2﹣b2） B．a（a2b﹣b3） C．ab（a+b）（a﹣b） D．ab（a﹣b）2
8．因式分解2a2﹣4a+2＝　 　．
9．因式分解8x2﹣2y2＝ 　．
10．因式分解：﹣x2+xy﹣y2＝　 　．
11．分解因式：（1）ax+ay＝　 　；（2）＝　 　；
（3）＝　 ．
12．用平方差公式因式分解：
（1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2； （3）x2﹣16y2； （4）x2y2﹣z2；
（5）（x+2）2﹣9； （6）（x+a）2﹣（y+b）2； （7）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2；
（8）a4﹣16； （9）m4﹣16n4； （10）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
（11）5（x2+1）﹣20x2； （12）（a2+b2）2﹣4a2b2．
13．将下列多项式因式分解：
（1）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）； （2）（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
14．因式分解
（1）16x2﹣1； （2）2x2y﹣8xy+8y； （3）x2（x﹣3）+9（3﹣x）； （4）（m2﹣5）2+2（m2﹣5）+1．
题组B 能力提升练
15．在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝（y﹣3）（y+5）+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
例题中体现的主要思想方法是（　　）
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
16．若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（　　）
A．1 B． C． D．9
17．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
18．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
19．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
20．分解因式3y4﹣3x4的结果是（　　）
A．3（y2+x2）（y2﹣x2） B．3（y2+x2）（y﹣x）（y+x）
C．3（y2+x2）（y﹣x）2 D．3（y+x）2（y﹣x）2
21.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
22.因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝　 　．
23.计算：2021×512﹣2021×492的结果是 　 　．
24.把下列各式因式分解：
（1）7x2﹣63； （2）a3﹣a；（3）3a2﹣3b2；（4）y2﹣9（x+y）2；
（5）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）；（6）x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）；
（7）（x+y）2﹣16（x﹣y）2；（8）a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2；
（9）（x+y+z）2﹣（x﹣y﹣z）2；（10）（x+y）2﹣14（x+y）+49．
25.把下列各式分解因式：
（1）16x4﹣8x2y2+y4； （2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2； （4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
题组C 培优拔尖练
26．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
27．在实数范围内分解因式a4﹣64＝　 　．
28．先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
29.探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝　 　；x2﹣4x+4＝　　；4x2﹣20x+25＝　　；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 　　；
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
30.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．
②拆项法：
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；
②（拆项法）x2﹣6x+8；
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．
31．先阅读，后解答问题．
分解因式：x2﹣2xy+y2﹣z2
解：x2﹣2xy+y2﹣z2＝（x﹣y）2﹣z2＝（x﹣y+z）（x﹣y﹣z）．
（1）分解因式：①4x2﹣4xy+y2﹣z2；②1﹣m2﹣n2+2mm．
（2）若a，b，c为△ABC的三边长，判断代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值的正负．
答案与解析
基础过关
1．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　）
A．b2﹣a2 B．x2﹣4x C．x2+4x+1 D．﹣x2﹣1
【点拨】将各式因式分解后进行判断即可．
【解析】解：b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），则A符合题意；
x2﹣4x＝x（x﹣4），则B不符合题意；
x2+4x+1无法因式分解，则C不符合题意；
﹣x2﹣1无法因式分解，则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
【点拨】直接利用公式法分解因式得出答案．
【解析】解：A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
3．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2
【点拨】利用完全平方公式的结构特点，逐个判断得结论．
【解析】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝（2x﹣1）2，故该选项符合题意；
C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
（1）x2﹣4y2 （2）9a2b2﹣3ab+1 （3）﹣x2﹣2xy﹣y2 （4）x2+y2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】利用公式法逐个分解得结论．
【解析】解：（1）x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），能用平方差公式分解；
（2）9a2b2﹣3ab+1，不能用公式法分解；
（3）﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x2+2xy+y2）＝﹣（x+y）2，能用完全平方公式分解；
（4）x2+y2，不能用公式法分解．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a）
C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2
【点拨】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．
【解析】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意；
B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意；
C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意；
D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
6．下列因式分解正确的是（　　）
A．3x﹣12x2＝3x（1﹣4x2） B．9m2﹣4n2＝（9m+4n）（9m﹣4n）
C．3y2+6y+3＝3（y+1）2 D．a（n﹣2）+b（2﹣n）＝（n﹣2）（a+b）
【点拨】先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、3x﹣12x2＝3x（1﹣4x），故A不符合题意；
B、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），故B不符合题意；
C、3y2+6y+3＝3（y+1）2，故C符合题意；
D、a（n﹣2）+b（2﹣n）＝（n﹣2）（a﹣b），故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
7．将a3b﹣ab3因式分解，正确的是（　　）
A．ab（a2﹣b2） B．a（a2b﹣b3） C．ab（a+b）（a﹣b） D．ab（a﹣b）2
【点拨】先提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：a3b﹣ab3
＝ab（a2﹣b2）
＝ab（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
8．因式分解2a2﹣4a+2＝　2（a﹣1）2　．
【点拨】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【解析】解：2a2﹣4a+2
＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2，
故答案为：2（a﹣1）2．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
9．因式分解8x2﹣2y2＝　2（2x+y）（2x﹣y）　．
【点拨】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解析】解：8x2﹣2y2
＝2（4x2﹣y2）
＝2（2x+y）（2x﹣y）．
故答案为：2（2x+y）（2x﹣y）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．因式分解：﹣x2+xy﹣y2＝　﹣（x﹣y）2　．
【点拨】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解析】解：﹣x2+xy﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）
＝﹣（x﹣y）2，
故答案为：﹣（x﹣y）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．分解因式：（1）ax+ay＝　a（x+y）　；（2）＝　（a+）（a﹣）　；
（3）＝　　．
【点拨】（1）利用提公因式法解答即可；
（2）利用平方差公式解答即可；
（3）利用完全平方公式解答即可．
【解析】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；
（2）＝（a+）（a﹣）；
（3）＝．
故答案为：（1）a（x+y）；（2）（a+）（a﹣）；（3）．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和乘法公式是解答本题的关键．
12．用平方差公式因式分解：
（1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2； （3）x2﹣16y2； （4）x2y2﹣z2；
（5）（x+2）2﹣9； （6）（x+a）2﹣（y+b）2； （7）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2；
（8）a4﹣16； （9）m4﹣16n4； （10）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
（11）5（x2+1）﹣20x2； （12）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【点拨】根据提公因式，平方差公式，完全平方公式，可分解因式．
【解析】解：（1）原式＝（6+x）（6﹣x）；
（2）原式＝（b+a）（b﹣a）；
（3）原式＝（x+4y）（x﹣4y）；
（4）原式＝（xy+z）（xy﹣z）；
（5）原式＝[（x+2）+3][（x+2）﹣3]＝（x+5）（x﹣1）；
（6）原式＝[（x+a）+（y+b）][（x+a）﹣（y+b）]＝（x+a+y+b）（x+a﹣y﹣b）；
（7）原式＝[5（a+b）+2（a﹣b）][5（a+b）﹣2（a﹣b）]＝（7a+3b）（3a+7b）；
（8）原式＝（a+4）（a﹣4）；
（9）原式＝（m2+4n2）（m2﹣4n2）＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）；
（10）原式＝[（x2﹣2y）+（1﹣2y）][（x2﹣2y）﹣（1﹣2y）]＝（x2+1﹣4y）（x2﹣1）＝（x2+1﹣4y）（x+1）（x﹣1）；
（11）原式＝5x2+5﹣20x2＝﹣5（3x2﹣1）；
（12）原式＝a4+2a2b2+b4﹣4a2b2＝a4﹣2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、公式法分解因式，注意分解要彻底．
13．将下列多项式因式分解：
（1）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）； （2）（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
【点拨】（1）首先对各项提取公因式（x﹣2），再利用平方差公式进行因式分解，即可解答；
（2）将原式转化为（m﹣n）2+6（m﹣n）+9，然后结合完全平方公式进行因式分解，即可解答．
【解析】解：（1）x2（x﹣2）﹣16（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2﹣16）
＝（x﹣2）（x﹣4）（x+4）；
（2）（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9
＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9
＝[（m﹣n）+3]2
＝（m﹣n+3）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．因式分解
（1）16x2﹣1； （2）2x2y﹣8xy+8y； （3）x2（x﹣3）+9（3﹣x）； （4）（m2﹣5）2+2（m2﹣5）+1．
【点拨】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式利用完全平方公式分解即可．
【解析】解；（1）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2；
（3）原式＝x2（x﹣3）﹣9（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣9）
＝（x﹣3）2（x+3）；
（4）原式＝（m2﹣5+1）2
＝（m2﹣4）2
＝（m+2）2（m﹣2）2．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
题组B 能力提升练
15．在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．
解：设x2+2x＝y，
原式＝（y﹣3）（y+5）+16
＝y2+2y﹣15+16
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2+2x+1）2
＝[（x+1）2]2
＝（x+1）4．
例题中体现的主要思想方法是（　　）
A．函数思想 B．整体思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【点拨】根据例题的解题思路，即可解答．
【解析】解：例题中体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，理解例题的解题思路是解题的关键．
16．若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（　　）
A．1 B． C． D．9
【点拨】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解析】解：∵a+b＝3，a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝3×＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
17．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
【点拨】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可．
【解析】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n
＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把m+n＝2代入进行计算．
18．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
【点拨】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
19．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【点拨】利用完全平方公式可得结论．
【解析】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2，
∴k＝±12．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
20．分解因式3y4﹣3x4的结果是（　　）
A．3（y2+x2）（y2﹣x2） B．3（y2+x2）（y﹣x）（y+x）
C．3（y2+x2）（y﹣x）2 D．3（y+x）2（y﹣x）2
【点拨】先提取公因式3，再两次利用平方差公式分解即可得．
【解析】解：3y4﹣3x4＝3（y4﹣x4）
＝3（y2+x2）（y2﹣x2）
＝3（y2+x2）（y+x）（y﹣x），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．
21.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
【点拨】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
【解析】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：华、我、爱、中．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
22.因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝　4（2x+y）（x+2y）　．
【点拨】根据平方差公式分解因式即可．
【解析】解：原式＝[3（x+y）]2﹣（x﹣y）2
＝（3x+3y+x﹣y）（3x+3y﹣x+y）
＝（4x+2y）（2x+4y）
＝4（2x+y）（x+2y）．
故答案为：4（2x+y）（x+2y）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
23.计算：2021×512﹣2021×492的结果是 　404200　．
【点拨】先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答．
【解析】解：2021×512﹣2021×492
＝2021×（512﹣492）
＝2021×（51+49）×（51﹣49）
＝2021×100×2
＝404200，
故答案为：404200．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
24.把下列各式因式分解：
（1）7x2﹣63； （2）a3﹣a；（3）3a2﹣3b2；（4）y2﹣9（x+y）2；
（5）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）；（6）x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）；
（7）（x+y）2﹣16（x﹣y）2；（8）a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2；
（9）（x+y+z）2﹣（x﹣y﹣z）2；（10）（x+y）2﹣14（x+y）+49．
【点拨】（1）直接提取公因式7，进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可；
（4）直接利用平方差公式分解因式即可；
（5）直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式即可；
（6）直接提取公因式（m+n），进而分解因式即可；
（7）直接利用平方差公式分解因式即可；
（8）直接提取公因式（a﹣b）2，进而利用平方差公式分解因式即可；
（9）直接利用平方差公式分解因式即可；
（10）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：（1）7x2﹣63＝7（x2﹣9）
＝7（x+3）（x﹣3）；
（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（3）3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）；
（4）y2﹣9（x+y）2
＝[y﹣3（x+y）][y+3（x+y）]
＝（﹣3x﹣2y）（3x+4y）
＝﹣（3x+2y）（3x+4y）；
（5）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）
＝（x﹣y）（a+b+c）；
（6）x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）
＝（m+n）（x﹣y+1）；
（7）（x+y）2﹣16（x﹣y）2
＝[x+y+4（x﹣y）][x+y﹣4（x﹣y）]
＝（5x﹣3y）（﹣3x+5y）；
（8）a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（a2﹣b2）
＝（a﹣b）3（a+b）；
（9）（x+y+z）2﹣（x﹣y﹣z）2
＝（x+y+z+x﹣y﹣z）（x+y+z﹣x+y+z）
＝2x 2（y+z）
＝4x（y+z）；
（10）（x+y）2﹣14（x+y）+49
＝（x+y﹣7）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
25.把下列各式分解因式：
（1）16x4﹣8x2y2+y4； （2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2； （4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【点拨】（1）先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解析】解：（1）16x4﹣8x2y2+y4
＝（4x2﹣y2）2
＝（2x+y）2（2x﹣y）2；
（2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2
＝[3（3m+2n）+2（m﹣2n）][3（3m+2n）﹣2（m﹣2n）]
＝（11m+2n）（7m+10n）；
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]
＝（a﹣b）[3a+b+（a+3b）][3a+b﹣（a+3b）]
＝（a﹣b）（4a+4b）（2a﹣2b）
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
题组C 培优拔尖练
26．对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【点拨】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案．
【解析】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3），
∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，
∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除，
故选：B．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
27．在实数范围内分解因式a4﹣64＝　（a2+8）（a+2）（a﹣2）　．
【点拨】两次运用平方差公式因式分解即可．
【解析】解：原式＝（a2）2﹣82
＝（a2+8）（a2﹣8）
＝（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握平方差公式是解决本题的关键．
28．先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
【点拨】根据材料，找出规律，再解答．
【解析】解：x4+64，
＝x4+16x2+64﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣（4x）2，
＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）．
【点睛】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
29.探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝　（x+3）2　；x2﹣4x+4＝　（x﹣2）2　；4x2﹣20x+25＝　（2x﹣5）2　；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 　b2＝4ac　；
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【点拨】（1）可用完全平方公式进行分解因式；
（2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想b2＝4ac；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可得出[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），进而求出n的值．
【解析】（1）解：x2+6x+9＝（x+3）2；
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；
4x2﹣20x+25＝（2x﹣5）2．
故答案为：（x+3）2；（x﹣2）2；（2x﹣5）2．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2＝4ac．
故答案为：b2＝4ac．
（3）验证结论：可用x2+4x+4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴b2＝4ac．
（4）根据题意可得：[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），
4n2+24n+36＝4（n2+7n+6），
4n2+24n+36＝4n2+28n+24，
4n＝12，
解得n＝3．
【点睛】本题考查了完全平方公式的综合应用以及对因式分解的理解和应用，解题的关键是掌握二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
30.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．
②拆项法：
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；
②（拆项法）x2﹣6x+8；
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．
【点拨】通过给出的实例，理解分组分解法、拆项法因式分解的方法，即可解决问题．
【解析】
解：（1）①4x2+4x﹣y2+1
＝（4x2+4x+1）﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；
②x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）
＝（x﹣4）（x﹣2）；
（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴a+b+c＝2+2+3＝7．
故△ABC的周长为：7．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是理解分组分解法、拆项法的实质．
31．先阅读，后解答问题．
分解因式：x2﹣2xy+y2﹣z2
解：x2﹣2xy+y2﹣z2＝（x﹣y）2﹣z2＝（x﹣y+z）（x﹣y﹣z）．
（1）分解因式：①4x2﹣4xy+y2﹣z2；②1﹣m2﹣n2+2mm．
（2）若a，b，c为△ABC的三边长，判断代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值的正负．
【点拨】（1）①把前面三项分为一组，最后一项分为一组，再把前面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解；
②把前面一项分为一组，后面三项分为一组，再把后面一组利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解；
（2）先把a2﹣2ab+b2﹣c2利用前面的方法分解得到（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），再根据三角形三边的关系得到a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，所以（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0．
【解析】解：（1）①4x2﹣4xy+y2﹣z2
＝（2x﹣y）2﹣z2
＝（2x﹣y+z）（2x﹣y﹣z）；
②1﹣m2﹣n2+2mn
＝1﹣（m2﹣2mn+n2）
＝1﹣（m﹣n）2
＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）；
（2）a2﹣2ab+b2﹣c2
＝（a﹣b）2﹣c2
＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0，
即：a2﹣2ab+b2﹣c2＜0，
所以代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值的为负．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的定义是关键．
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