【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.1因式分解 同步练习
一、选择题
1．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【分析】先把（2x+1)（x-2)根据多项式乘多项式法则去括号，再比较即可。
【解答】∵2x2+mx-2=（2x+1)（x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2
∴m=-3，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
2．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2+3x﹣4=x（x+3）
C．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A．右边不是积的形式，故本选项错误；
B．右边不是整式的积的形式，故本选项错误；
C．右边不是积的形式，故本选项错误；
D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）是因式分解，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
3．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x﹣2）（x+b）=x2+（﹣2+b）x﹣2b，
∵x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），
∴﹣a=﹣2+b，﹣2b=﹣1，
∴a=，b=，
∴a+b=2，
故选D．
【分析】先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程﹣a=﹣2+b，﹣2b=﹣1，求出即可．
4．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（ ）
A．100 B．0 C．-100 D．50
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）（x2+ax+b），
则x4+mx3+nx﹣16=x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+2）x2+（2a﹣3b）x+2b．
比较系数得：
解得
所以mn=﹣5×20=﹣100．
故选：C．
【分析】根据待定系数法进行求解，因为多项式x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4次，所以要求的代数式的最高次数是3次，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解．
5．若多项式
可因式分解为
，则
的值为（ ）
A．-3 B．11 C．-11 D．3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵x2+mx-28=（x-4）（x+7），
∴x2+mx-28=x2+3x-28，
∴m=3.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算，再根据一元二次方程各项系数的关系，即可得出m的值.
6．（2022七下·港北期中）如果多项式可因式分解为，则a、b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：==x2+x-2，
∴a=1，b=-2，
故答案为：B.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则求出（x-1）（x+2）的积，进而根据多项式的性质与多项式x2+ax+b进行比较即可得出a、b的值.
7．已知多项式 因式分解的结果为 . ，则abc为（ ）
A．12 B．9 C．-9 D．-12
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得，ax2+bx+c=（x-1）（x+4），
∴ax2+bx+c=x2+3x-4，
∴a=1，b=3，c=-4，
∴abc=1×3×（-4）=-12.
故答案为：D.
【分析】由题意可列等式为ax2+bx+c=（x-1）（x+4），整理得ax2+bx+c=x2+3x-4，再根据等式性质，求得a=1，b=3，c=-4，即可求出abc的值.
8．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2﹣16=（x+4）（x﹣4），是因式分解；
②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16，不是因式分解；
③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16，是整式乘法；
④，不是因式分解．
故选：A．
【分析】直接利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而得出答案．
二、填空题
9．若因式分解的结果是，那么m=
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：将（x+）2展开得：x2+x+，
则与mx对应的项为：x．
所以m=1．
【分析】将（x+）2展开，找出和mx对应的项即可求出m的值．
10．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k= ．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】解：设另一个式子是（x+a），
则（x﹣2） （x+a），
=x2+（a﹣2）x﹣2a，
=x2+kx﹣6，
∴a﹣2=k，﹣2a=﹣6，
解得a=3，k=1．
故应填1．
【分析】多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
11．如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b= ．
【答案】21
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得到：x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解，
代入方程得：，即，
②﹣①得：a=7，
将a=7代入①得：b=14，
则a+b=7+14=21．
故答案为：21．
【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2，得到x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解，将两解代入得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
12．已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a= ；b= ．
【答案】16；3
【知识点】因式分解的定义；解一元一次方程；三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）
=2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n
则：
解得：
故答案是：16，3．
【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
三、解答题
13．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．
【答案】解：多项式的第一项是x2，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），
∵（x+ky+c）（x+ly+d）=x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，
∴cd=﹣24，c+d=﹣5，
∴c=3，d=﹣8，
∵cl+dk=43，
∴3l﹣8k=43，
∵k+l=7，
∴k=﹣2，l=9，
∴a=kl=﹣18，．
即当a=﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设原式可分解为（x+ky+c）（x+ly+d），展开后得出x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，推出cd=﹣24，c+d=﹣5，cl+dk=43，k+l=7，a=kl，求出即可．
14．如果多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，求k的值．
【答案】解：设另一个因式为（ax2+bx+c），
∵用多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，
∴设另一个因式为（ax2+bx+c）（2x+1）=2x3+x2﹣26x+k，
∴2ax3+（a+2b）x2+（b+2c）x+c=2x3+x2﹣26x+k，
∴2a=2，a+2b=1，b+2c=﹣26，c=k，
∴a=1，b=0，c=﹣13，k=﹣13，
∴k的值为﹣13．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据题意可设另一个因式为（ax2+bx+c），再把它与（2x+1）相乘，对应相等即可得出答案．
15．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义；解二元一次方程组
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.1因式分解 同步练习
一、选择题
1．如果2x2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
2．下列等式由左边向右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2+3x﹣4=x（x+3）
C．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
3．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
4．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（ ）
A．100 B．0 C．-100 D．50
5．若多项式
可因式分解为
，则
的值为（ ）
A．-3 B．11 C．-11 D．3
6．（2022七下·港北期中）如果多项式可因式分解为，则a、b的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知多项式 因式分解的结果为 . ，则abc为（ ）
A．12 B．9 C．-9 D．-12
8．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若因式分解的结果是，那么m=
10．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k= ．
11．如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b= ．
12．已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a= ；b= ．
三、解答题
13．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．
14．如果多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，求k的值．
15．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【分析】先把（2x+1)（x-2)根据多项式乘多项式法则去括号，再比较即可。
【解答】∵2x2+mx-2=（2x+1)（x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2
∴m=-3，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
2．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A．右边不是积的形式，故本选项错误；
B．右边不是整式的积的形式，故本选项错误；
C．右边不是积的形式，故本选项错误；
D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）是因式分解，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
3．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x﹣2）（x+b）=x2+（﹣2+b）x﹣2b，
∵x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），
∴﹣a=﹣2+b，﹣2b=﹣1，
∴a=，b=，
∴a+b=2，
故选D．
【分析】先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程﹣a=﹣2+b，﹣2b=﹣1，求出即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）（x2+ax+b），
则x4+mx3+nx﹣16=x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+2）x2+（2a﹣3b）x+2b．
比较系数得：
解得
所以mn=﹣5×20=﹣100．
故选：C．
【分析】根据待定系数法进行求解，因为多项式x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4次，所以要求的代数式的最高次数是3次，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解．
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵x2+mx-28=（x-4）（x+7），
∴x2+mx-28=x2+3x-28，
∴m=3.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算，再根据一元二次方程各项系数的关系，即可得出m的值.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：==x2+x-2，
∴a=1，b=-2，
故答案为：B.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则求出（x-1）（x+2）的积，进而根据多项式的性质与多项式x2+ax+b进行比较即可得出a、b的值.
7．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得，ax2+bx+c=（x-1）（x+4），
∴ax2+bx+c=x2+3x-4，
∴a=1，b=3，c=-4，
∴abc=1×3×（-4）=-12.
故答案为：D.
【分析】由题意可列等式为ax2+bx+c=（x-1）（x+4），整理得ax2+bx+c=x2+3x-4，再根据等式性质，求得a=1，b=3，c=-4，即可求出abc的值.
8．【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2﹣16=（x+4）（x﹣4），是因式分解；
②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16，不是因式分解；
③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16，是整式乘法；
④，不是因式分解．
故选：A．
【分析】直接利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而得出答案．
9．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义
【解析】【解答】解：将（x+）2展开得：x2+x+，
则与mx对应的项为：x．
所以m=1．
【分析】将（x+）2展开，找出和mx对应的项即可求出m的值．
10．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】解：设另一个式子是（x+a），
则（x﹣2） （x+a），
=x2+（a﹣2）x﹣2a，
=x2+kx﹣6，
∴a﹣2=k，﹣2a=﹣6，
解得a=3，k=1．
故应填1．
【分析】多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
11．【答案】21
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：由题意得到：x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解，
代入方程得：，即，
②﹣①得：a=7，
将a=7代入①得：b=14，
则a+b=7+14=21．
故答案为：21．
【分析】由多项式有两个因式为x+1与x+2，得到x=﹣1与x=﹣2为x3+ax2+bx+8=0的解，将两解代入得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
12．【答案】16；3
【知识点】因式分解的定义；解一元一次方程；三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）
=2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n
则：
解得：
故答案是：16，3．
【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
13．【答案】解：多项式的第一项是x2，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），
∵（x+ky+c）（x+ly+d）=x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，
∴cd=﹣24，c+d=﹣5，
∴c=3，d=﹣8，
∵cl+dk=43，
∴3l﹣8k=43，
∵k+l=7，
∴k=﹣2，l=9，
∴a=kl=﹣18，．
即当a=﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】设原式可分解为（x+ky+c）（x+ly+d），展开后得出x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，推出cd=﹣24，c+d=﹣5，cl+dk=43，k+l=7，a=kl，求出即可．
14．【答案】解：设另一个因式为（ax2+bx+c），
∵用多项式2x3+x2﹣26x+k有一个因式是2x+1，
∴设另一个因式为（ax2+bx+c）（2x+1）=2x3+x2﹣26x+k，
∴2ax3+（a+2b）x2+（b+2c）x+c=2x3+x2﹣26x+k，
∴2a=2，a+2b=1，b+2c=﹣26，c=k，
∴a=1，b=0，c=﹣13，k=﹣13，
∴k的值为﹣13．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据题意可设另一个因式为（ax2+bx+c），再把它与（2x+1）相乘，对应相等即可得出答案．
15．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的定义；解二元一次方程组
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
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