【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.2提取公因式 同步练习
一、选择题
1．若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．若A=10a2+3b2﹣5a+5，B=a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为（ ）
A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a
3．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
4．已知代数式 x2-2x+1 的值为9，则 2x2-4x+3 的值为（ ）
A．18 B．12 C．19 D．17
5．不改变多项式3b3-2ab2+4a2b-a3的值，把后三项放在前面是“-”号的括号中，以下正确的是（ ）
A．3b3-（2ab2+4a2b-a3) B．3b3-（2ab2+4a2b+a3)
C．3b3-（-2ab2+4a2b-a3） D．3b3-（2ab2-4a2b+a3）
6．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
7．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
8．（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）与下列哪一个式子相同？（ ）
A．（3x6﹣4x5）（2x+1） B．（3x6﹣4x5）（2x+3）
C．﹣（3x6﹣4x5）（2x+1） D．﹣（3x6﹣4x5）（2x+3）
二、填空题
9．（2022七下·鄞州期中）（2x-10）（x-2）-（x-2）（x-13）可分解因式为（x+a）（x+b），则的值是 .
10．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
12．设 ，则 与 的关系是 .
三、解答题
13．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．
14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
a2+6a+8=a2+6a+9﹣1
=（a+3）2﹣1
=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
=（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）x2﹣6x﹣27
（2）x2﹣2xy﹣3y2．
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴2a=±4，
解得：a=±2．
故选C．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
2．【答案】D
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A﹣B=9a2+3a，
A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为3a，
故选：D．
【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
3．【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
4．【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先由 x2-2x+1 的值为9，得到 x2-2x 的值，再整体代入2x2-4x+3 即可。
【解答】由 x2-2x+1 =9得 x2-2x=8，
则2x2-4x+3=2 (x2-2x)+3=2x8+3=19，
故选C.
【点评】解答本题的关键是由 x2-2x+1 的值得到 x2-2x 的值，同时要具备整体意识。
5．【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【分析】此题实质是添括号，根据添括号法则来具体分析．
【解答】因为3b3-2ab2+4a2b-a3=3b3-（2ab2-4a2b+a3)；
故选D．
【点评】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是”+“，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是”-“，添括号后，括号里的各项都改变符号
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（3x+2）（﹣x6+3x5﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）
=（3x+2）（﹣3x6+4x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）
=﹣（3x6﹣4x5）（3x+2﹣x﹣1）
=﹣（3x6﹣4x5）（2x+1）．
故选：C．
【分析】首先把前两项提取公因式（3x+2），再进一步提取公因式﹣（3x6﹣4x5）即可．
9．【答案】 8或
【知识点】因式分解﹣提公因式法；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：因为（2x 10）（x 2） （x 2）（x 13）
＝
＝（x 2）（x＋3）
＝（x＋a）（x＋b），
所以a＝ 2，b＝3或a＝3，b＝ 2，
当a＝ 2，b＝3时，，
当a＝3，b＝ 2时，，
故答案为： 8或.
【分析】对多项式因式分解可得(x 2)(x＋3)，结合已知条件可得a、b的值，然后根据有理数的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则进行计算.
10．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．【答案】P=Q
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵
=
= ，
.
∴P=Q.
故答案为：P=Q.
【分析】利用提取公因式将Q分解因式，对P在括号前添加负号，再比较结果，即可作答.
13．【答案】解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）
=（13x﹣17）[（19x﹣31）﹣（11x﹣23）]
=（13x﹣17）（8x﹣8）
∵（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=13﹣17﹣8=﹣12．
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式利用提取公因式法分解因式，进而得出a，b，c的值，进而得出答案．
14．【答案】解：（1）原式=x2﹣6x+9﹣36=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；
（2）原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=（x﹣y）2﹣4y2=（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）=（x+y）（x﹣3y）．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可；
（2）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可．
15．【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.2提取公因式 同步练习
一、选择题
1．若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴2a=±4，
解得：a=±2．
故选C．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值．
2．若A=10a2+3b2﹣5a+5，B=a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为（ ）
A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a
【答案】D
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A﹣B=9a2+3a，
A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为3a，
故选：D．
【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
3．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
【答案】A
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
4．已知代数式 x2-2x+1 的值为9，则 2x2-4x+3 的值为（ ）
A．18 B．12 C．19 D．17
【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先由 x2-2x+1 的值为9，得到 x2-2x 的值，再整体代入2x2-4x+3 即可。
【解答】由 x2-2x+1 =9得 x2-2x=8，
则2x2-4x+3=2 (x2-2x)+3=2x8+3=19，
故选C.
【点评】解答本题的关键是由 x2-2x+1 的值得到 x2-2x 的值，同时要具备整体意识。
5．不改变多项式3b3-2ab2+4a2b-a3的值，把后三项放在前面是“-”号的括号中，以下正确的是（ ）
A．3b3-（2ab2+4a2b-a3) B．3b3-（2ab2+4a2b+a3)
C．3b3-（-2ab2+4a2b-a3） D．3b3-（2ab2-4a2b+a3）
【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【分析】此题实质是添括号，根据添括号法则来具体分析．
【解答】因为3b3-2ab2+4a2b-a3=3b3-（2ab2-4a2b+a3)；
故选D．
【点评】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是”+“，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是”-“，添括号后，括号里的各项都改变符号
6．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
7．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
8．（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）与下列哪一个式子相同？（ ）
A．（3x6﹣4x5）（2x+1） B．（3x6﹣4x5）（2x+3）
C．﹣（3x6﹣4x5）（2x+1） D．﹣（3x6﹣4x5）（2x+3）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=（3x+2）（﹣x6+3x5﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）
=（3x+2）（﹣3x6+4x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）
=﹣（3x6﹣4x5）（3x+2﹣x﹣1）
=﹣（3x6﹣4x5）（2x+1）．
故选：C．
【分析】首先把前两项提取公因式（3x+2），再进一步提取公因式﹣（3x6﹣4x5）即可．
二、填空题
9．（2022七下·鄞州期中）（2x-10）（x-2）-（x-2）（x-13）可分解因式为（x+a）（x+b），则的值是 .
【答案】 8或
【知识点】因式分解﹣提公因式法；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：因为（2x 10）（x 2） （x 2）（x 13）
＝
＝（x 2）（x＋3）
＝（x＋a）（x＋b），
所以a＝ 2，b＝3或a＝3，b＝ 2，
当a＝ 2，b＝3时，，
当a＝3，b＝ 2时，，
故答案为： 8或.
【分析】对多项式因式分解可得(x 2)(x＋3)，结合已知条件可得a、b的值，然后根据有理数的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则进行计算.
10．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．设 ，则 与 的关系是 .
【答案】P=Q
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵
=
= ，
.
∴P=Q.
故答案为：P=Q.
【分析】利用提取公因式将Q分解因式，对P在括号前添加负号，再比较结果，即可作答.
三、解答题
13．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．
【答案】解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）
=（13x﹣17）[（19x﹣31）﹣（11x﹣23）]
=（13x﹣17）（8x﹣8）
∵（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=13﹣17﹣8=﹣12．
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式利用提取公因式法分解因式，进而得出a，b，c的值，进而得出答案．
14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
a2+6a+8=a2+6a+9﹣1
=（a+3）2﹣1
=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
=（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）x2﹣6x﹣27
（2）x2﹣2xy﹣3y2．
【答案】解：（1）原式=x2﹣6x+9﹣36=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；
（2）原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=（x﹣y）2﹣4y2=（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）=（x+y）（x﹣3y）．
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可；
（2）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可．
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
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