【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
2．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
3．若 是完全平方式，则 p的值为 （ ）
A．1 B．±2 C．±1 D．±4
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 是完全平方式，
∴
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式：据此计算即可.
4．已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
∴a+b=5；
∴a2b+ab2=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积及周长计算方法可得a+b=5，ab=5，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】用M-N，若最后结果为正数则M大，反之N大.
7．（2023七下·包河期末）将因式分解后得，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可得 ：
故答案为：B
【分析】根据平方差公式将原式进行化简即可求出答案。
8．（2023七下·台儿庄期中）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） B．a3-b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3-b3＝（a-b）（a2-ab+b2） D．a3-b3＝（a+b）（a2+ab-b2）
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，
∴ a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） ，
故答案为：A.
【分析】利用因式分解法分解因式即可。
二、填空题
9．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵；
；
；
······
；
故
；
故答案为：.
【分析】根据平方差公式可推得规律为，即可求解.
10．若多项式. 添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 .(写出一个即可).
【答案】2x(答案不唯一)
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，x2+1+=
∴ 添加的单项式可以是2x或.
故答案为：2x(答案不唯一).
【分析】根据a22ab+b2=(ab)2，据此判断即可.
11．已知长方形的面积是49a2-4b2，一边长是7a-2b，则长方形的周长是 .
【答案】28a
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：长方形的另一边长为：（ 49a2-4b2 ）÷（ 7a-2b ）=（ 7a-2b ）（ 7a+2b ）÷（ 7a-2b ）= 7a+2b，
∴该长方形的周长为2（7a-2b + 7a+2b）=28a.
故答案为：28a.
【分析】由长方形的面积等于两邻边之积，可得长方形的一条边长等于面积除以另一条边长，据此列出式子算出另一条边长，最后根据长方形的周长等于两邻边和的2倍列式计算可得答案.
12．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
【答案】3(x-3)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3(x-1)(x-9)=3(x2-10x+9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4) =3(x2-6x+8)=3x2-18x+24，
∴原多项式为3x2-18x+27，
∴3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
故答案为：3(x-3)2.
【分析】将3(x-1)(x-9)按多项式的乘法法则展开可得二次项及常数项；将3(x-2)(x-4)按多项式的乘法法则展开可得二次项及一次项，从而得出原多项式，进而将原多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解可得答案.
三、解答题
13．
（1）若是完全平方式，求k 的值.
（2）若是完全平方式，求k 的值.
（3）若 是完全平方式，则： ( ) .
【答案】（1）解：∵=x2-2×3x+k是完全平方式 ，
∴k=32=9.
（2）解：∵是完全平方式 ，
∴k=×1×2，
∴k=.
（3） 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（3）∵是完全平方式，
∴m2=4y2，
∴m=2y或-2y.
故答案为：2y或-2y.
【分析】（1）（2）（3）形如a22ab+b2的式子就是完全平方式，据此分别求解即可.
14．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
15．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
1 / 1【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
2．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
3．若 是完全平方式，则 p的值为 （ ）
A．1 B．±2 C．±1 D．±4
4．已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
6．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M7．（2023七下·包河期末）将因式分解后得，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023七下·台儿庄期中）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（ ）
A．a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） B．a3-b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3-b3＝（a-b）（a2-ab+b2） D．a3-b3＝（a+b）（a2+ab-b2）
二、填空题
9．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
10．若多项式. 添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 .(写出一个即可).
11．已知长方形的面积是49a2-4b2，一边长是7a-2b，则长方形的周长是 .
12．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
三、解答题
13．
（1）若是完全平方式，求k 的值.
（2）若是完全平方式，求k 的值.
（3）若 是完全平方式，则： ( ) .
14．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
15．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 是完全平方式，
∴
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式：据此计算即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
∴a+b=5；
∴a2b+ab2=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积及周长计算方法可得a+b=5，ab=5，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】用M-N，若最后结果为正数则M大，反之N大.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可得 ：
故答案为：B
【分析】根据平方差公式将原式进行化简即可求出答案。
8．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）恒成立，
∴ a3-b3＝（a-b）（a2+ab+b2） ，
故答案为：A.
【分析】利用因式分解法分解因式即可。
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：∵；
；
；
······
；
故
；
故答案为：.
【分析】根据平方差公式可推得规律为，即可求解.
10．【答案】2x(答案不唯一)
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+1+2x=（x+1）2，x2+1+=
∴ 添加的单项式可以是2x或.
故答案为：2x(答案不唯一).
【分析】根据a22ab+b2=(ab)2，据此判断即可.
11．【答案】28a
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：长方形的另一边长为：（ 49a2-4b2 ）÷（ 7a-2b ）=（ 7a-2b ）（ 7a+2b ）÷（ 7a-2b ）= 7a+2b，
∴该长方形的周长为2（7a-2b + 7a+2b）=28a.
故答案为：28a.
【分析】由长方形的面积等于两邻边之积，可得长方形的一条边长等于面积除以另一条边长，据此列出式子算出另一条边长，最后根据长方形的周长等于两邻边和的2倍列式计算可得答案.
12．【答案】3(x-3)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3(x-1)(x-9)=3(x2-10x+9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4) =3(x2-6x+8)=3x2-18x+24，
∴原多项式为3x2-18x+27，
∴3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
故答案为：3(x-3)2.
【分析】将3(x-1)(x-9)按多项式的乘法法则展开可得二次项及常数项；将3(x-2)(x-4)按多项式的乘法法则展开可得二次项及一次项，从而得出原多项式，进而将原多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解可得答案.
13．【答案】（1）解：∵=x2-2×3x+k是完全平方式 ，
∴k=32=9.
（2）解：∵是完全平方式 ，
∴k=×1×2，
∴k=.
（3） 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（3）∵是完全平方式，
∴m2=4y2，
∴m=2y或-2y.
故答案为：2y或-2y.
【分析】（1）（2）（3）形如a22ab+b2的式子就是完全平方式，据此分别求解即可.
14．【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
15．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
1 / 1
