【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
2．（2023七下·高邑期末）若，则n的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
解：∵
又∵
∴
即：
∴n=2020
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，在运用平方差公式进行计算即可。
3．（2023七下·义乌期中）若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可将已知条件变形为(c+a+b)(c-a-b)=10，结合已知条件可求出c-a-b的值，据此求解.
4．（2023七下·石家庄期中）已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 的值为 （ ）
A．35 B．70 C．140 D．280
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×10=70.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=7，ab=10，再把原式变形为a2b+ab2=ab（a+b），代入进行计算，即可得出答案.
7．（2023七下·上虞期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取，时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式＝x（4x2-y2）=x（2x-y）（2x+y），
当x=10，y=10时，2x-y=10，2x+y=30，
则这个密码是101030.
故答案为：C.
【分析】把多项式利用提取公因式法及平方差公式法分解因式后，将x、y的值代入各个因式算出各个式子的值，可得答案.
8．（2022七下·文山期末）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
二、填空题
9．设多项式x3﹣x﹣a与多项式x2+x﹣a有公因式，则a＝ ．
【答案】0或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：假设x3﹣x﹣a＝A（x+p）；x2+x﹣a＝B（x+p）
则x＝﹣p时，x+p＝0，
则﹣p3+p﹣a＝0，（1）
p2﹣p﹣a＝0，（2）
（ 2 ）﹣（1）得
p3+p2﹣2p＝0，
∴p（p+2）（p﹣1）＝0，
p＝0，p＝﹣2，p＝1，
分别代入﹣p3+p﹣a＝0，得
p＝0，a＝0，
p＝﹣2，a＝6，
p＝1，a＝0，
所以a＝0或6．
【分析】假设x3﹣x﹣a＝A（x+p）；x2+x﹣a＝B（x+p），则两多项式有公因式x+p，当x＝﹣p时，x+p＝0，根据整式乘法的意义可得，将x=-p代入两多项式得出﹣p3+p﹣a＝0，（1），p2﹣p﹣a＝0，（2），用（ 2 ）﹣（1）得p3+p2﹣2p＝0，即p（p+2）（p﹣1）＝0，根据几个因式的乘积为0，则这几个因式中至少有一个为0，从而求出p的值，将p的值代入（1）即可算出a的值，从而得出答案。
10．如果多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是 (应写尽写)
【答案】或±6x
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①若9x2是乘积二倍项，
则，
∴加上的单项式为，
②若9x2和平方项，
则9x2±6x+1=（3x±1）2，
∴加上的单项式为±6x；
综上所述，加上的单项式是或±6x.
故答案为：或±6x.
【分析】根据完全平方公式将9x2是分类乘积二倍项和平方项分别进行求解即可.
11．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
12．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，当取x=4，y=4时，各个因式的值是：x-y=0，x+y=8x2+y2=32，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，对于多项式xy+xy4因式分解的结果是xy(x+y)(x2-xy+y2)，当它的第一位因式码xy和第二位因式码(x+y)构成的数是“127”时，它的第三位因式码(x2-xy+y2)是 .
【答案】13或726
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵第一位因式码xy和第二位因式码（x+y）构成的数是“127”，
∴xy=12，x+y=7或xy=1，x+y=27，
当xy=12，x+y=7时，
x2-xy+y2=（x+y）2-3xy
将xy=12，x+y=7代入可求得x2-xy+y2=13；
当xy=1，x+y=27时，
x2-xy+y2=（x+y）2-3xy
将xy=1，x+y=27代入可求得x2-xy+y2=726．
故答案为：13或726.
【分析】结合题意分为xy=1，x+y=27和xy=12，x+y=7两种情况讨论，将代数式x2-xy+y2根据完全平方公式整理为（x+y）2-3xy，分别代入计算求得答案即可.
三、解答题
13．（2019七下·梅江月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
【答案】（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012，
8m+4=2012，
m=501，
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
（2）解：是；理由如下：
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
（3）解：由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，
∵2n-1是奇数，
∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.
14．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
15．（2023七下·金东期末）【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
（1）【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
（2）【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
（3）【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果．
【答案】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
∴图3的面积为 ，
又∵图3的面积又等于一个长为 ，宽为 的长方形面积，
∴ ；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴同理可得 ；
（3）解：观察可知 ，
∴我们可以把 看做是一个高为a，底面积为 的长方体的体积，
如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴ ，
∴ ．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）图3的面积有两种表示方法，第一种看成由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成；第二种看成一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到一个等式；
（2）多项式2a2+5ab+3b2可以看成一个图形的面积，有两种表示方法，第一种看成由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(2a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案；
（3）先对多项式a3+4a2b+3ab2进行因式分解，提取公因式a，多项式a3+4a2b+3ab2就可以看成一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积，然后把底面积用两种方法表示，第一种看成由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （ ）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
2．（2023七下·高邑期末）若，则n的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
3．（2023七下·义乌期中）若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
4．（2023七下·石家庄期中）已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
6．已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 的值为 （ ）
A．35 B．70 C．140 D．280
7．（2023七下·上虞期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取，时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
8．（2022七下·文山期末）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
9．设多项式x3﹣x﹣a与多项式x2+x﹣a有公因式，则a＝ ．
10．如果多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的平方，那么加上的多项式可以是 (应写尽写)
11．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
12．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，当取x=4，y=4时，各个因式的值是：x-y=0，x+y=8x2+y2=32，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，对于多项式xy+xy4因式分解的结果是xy(x+y)(x2-xy+y2)，当它的第一位因式码xy和第二位因式码(x+y)构成的数是“127”时，它的第三位因式码(x2-xy+y2)是 .
三、解答题
13．（2019七下·梅江月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
14．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
15．（2023七下·金东期末）【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
（1）【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
（2）【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．
（3）【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
解：∵
又∵
∴
即：
∴n=2020
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，在运用平方差公式进行计算即可。
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可将已知条件变形为(c+a+b)(c-a-b)=10，结合已知条件可求出c-a-b的值，据此求解.
4．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×10=70.
故答案为：B.
【分析】根据题意得出a+b=7，ab=10，再把原式变形为a2b+ab2=ab（a+b），代入进行计算，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式＝x（4x2-y2）=x（2x-y）（2x+y），
当x=10，y=10时，2x-y=10，2x+y=30，
则这个密码是101030.
故答案为：C.
【分析】把多项式利用提取公因式法及平方差公式法分解因式后，将x、y的值代入各个因式算出各个式子的值，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
9．【答案】0或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：假设x3﹣x﹣a＝A（x+p）；x2+x﹣a＝B（x+p）
则x＝﹣p时，x+p＝0，
则﹣p3+p﹣a＝0，（1）
p2﹣p﹣a＝0，（2）
（ 2 ）﹣（1）得
p3+p2﹣2p＝0，
∴p（p+2）（p﹣1）＝0，
p＝0，p＝﹣2，p＝1，
分别代入﹣p3+p﹣a＝0，得
p＝0，a＝0，
p＝﹣2，a＝6，
p＝1，a＝0，
所以a＝0或6．
【分析】假设x3﹣x﹣a＝A（x+p）；x2+x﹣a＝B（x+p），则两多项式有公因式x+p，当x＝﹣p时，x+p＝0，根据整式乘法的意义可得，将x=-p代入两多项式得出﹣p3+p﹣a＝0，（1），p2﹣p﹣a＝0，（2），用（ 2 ）﹣（1）得p3+p2﹣2p＝0，即p（p+2）（p﹣1）＝0，根据几个因式的乘积为0，则这几个因式中至少有一个为0，从而求出p的值，将p的值代入（1）即可算出a的值，从而得出答案。
10．【答案】或±6x
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①若9x2是乘积二倍项，
则，
∴加上的单项式为，
②若9x2和平方项，
则9x2±6x+1=（3x±1）2，
∴加上的单项式为±6x；
综上所述，加上的单项式是或±6x.
故答案为：或±6x.
【分析】根据完全平方公式将9x2是分类乘积二倍项和平方项分别进行求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
12．【答案】13或726
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵第一位因式码xy和第二位因式码（x+y）构成的数是“127”，
∴xy=12，x+y=7或xy=1，x+y=27，
当xy=12，x+y=7时，
x2-xy+y2=（x+y）2-3xy
将xy=12，x+y=7代入可求得x2-xy+y2=13；
当xy=1，x+y=27时，
x2-xy+y2=（x+y）2-3xy
将xy=1，x+y=27代入可求得x2-xy+y2=726．
故答案为：13或726.
【分析】结合题意分为xy=1，x+y=27和xy=12，x+y=7两种情况讨论，将代数式x2-xy+y2根据完全平方公式整理为（x+y）2-3xy，分别代入计算求得答案即可.
13．【答案】（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012，
8m+4=2012，
m=501，
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
（2）解：是；理由如下：
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
（3）解：由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，
∵2n-1是奇数，
∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.
14．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
15．【答案】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
∴图3的面积为 ，
又∵图3的面积又等于一个长为 ，宽为 的长方形面积，
∴ ；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴同理可得 ；
（3）解：观察可知 ，
∴我们可以把 看做是一个高为a，底面积为 的长方体的体积，
如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴ ，
∴ ．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）图3的面积有两种表示方法，第一种看成由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成；第二种看成一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到一个等式；
（2）多项式2a2+5ab+3b2可以看成一个图形的面积，有两种表示方法，第一种看成由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(2a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案；
（3）先对多项式a3+4a2b+3ab2进行因式分解，提取公因式a，多项式a3+4a2b+3ab2就可以看成一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积，然后把底面积用两种方法表示，第一种看成由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案.
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