【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第4章因式分解 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
2．（2021七下·余姚竞赛）已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．设n为整数，则一定能被 （ ）
A．3 整除 B．4整除 C．6 整除 D．8整除
4．（2022七下·怀宁期中）已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
5．（2021七下·普陀期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
6．（2023七下·义乌期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”.则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个 B．15个 C．26个 D．60个
7．（2023七下·娄星期中）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：底，爱，我，数，学，娄，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱娄底 C．我爱娄底 D．娄底数学
8．（2023七下·青岛期末）下列计算不正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．是一个完全平方式，则为
D．
9．（2022七下·沧州期末）如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）
二、填空题（每题4分，共24分）
11．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
12．（2020七下·江阴期中）多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
13．（2023七下·新都期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ．
14．（2023七下·上城期末）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则 ．
15．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
16．（2023七下·曲阳期末）两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成；乙同学因看错了常数项而分解成，请你将原多项式写出 并把因式分解正确的结果写出来： ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．化简：.
19．（2023七下·梁平期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.
（1）求，；
（2）已知，（，，为整数），若、均为“真知数”，且可被7整除，求的值.
20．（2023七下·慈溪期末）[阅读材料]分解因式：
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设为常数)，通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：
； ；
（2）请你用“试根法”分解因式：；
（3）①若多项式为常数)分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求mn的值.
21．【发现】
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
（1）的结果是5的几倍
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数.
（3）【延伸】
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几 请说明理由.
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
23．（2023七下·滨海期中）若x满足，求的值.
解：设，则，
所以.
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（x+2） （x-7）＝6，求（x+2）2+（x－7）2的值.
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.
24．（2023七下·平遥月考）综合与实践
图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：
（1）用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式，，之间的等量关系 ；
（2）将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积，你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立；
（3）现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个请你用这些图形拼成一个长方形（不重叠），使其面积为．画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
2．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出结果。
3．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），
∵n+3和n-2一个是奇数一个是偶数，
∴（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，
∴（2n+1）2-12.5一定能被4整除，
故答案为：B.
【分析】把原式变形为（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），再根据n+3和n-2一个是奇数一个是偶数得出（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】因为，
所以，
整理，得，
则，
即．
因为，
所以，
即．
由，得，
所以．
故答案为：A．
【分析】将整式化为，求出，再求解即可。
5．【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设两个自然数分别为、，
则，
小于200且不重复的''完全数 ''可以是：
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，
共15个，
故答案为：B.
【分析】根据新定义所给的计算公式可知，完全数等于某个自然数的平方.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵
，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱娄底，故C正确.
故答案为：C.
【分析】首先提取3(x2-1)，然后利用平方差公式分解可得原式=3(x+1)(x-1)(a-b)，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；完全平方式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，正确，故不符合题意；
B、∵，
∴n=-2，正确，故不符合题意；
C、∵是一个完全平方式 ，
∴ax=2·x·11，
∴a=22，正确，故不符合题意；
D、原式=20152-（2015-1）（2015+1）=20152-(20152-1）=1，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、多项式乘多项式、完全平方公式及平方差公式分别计算，再判断即可.
9．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，
，，
，
．
故答案为： A．
【分析】由边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，可推出，，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°，
则四边形ADFE是矩形，
∴AD=EF，BE=CF=（a-b)，
由图形可知：∠B=45°，
∴AE=BE=（a-b)，
∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积，是（a+b)×（a-b)×2=（a+b)（a-b)，
第二个图形阴影部分的面积是a2-b2，
∴a2-b2=（a+b)（a-b)，
故选A．
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出BE值，求出高AE，根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积，根据阴影部分的面积相等即可得出答案．本题考查了对平方差公式的几何图形的运用，表示出阴影部分的面积是解此题的关键．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
12．【答案】-4a2或-9或12a或-12a
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：完全平方公式是指： .
；
；
；
.
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
【分析】一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。
13．【答案】；
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
14．【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
15．【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
16．【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18，
又∵甲同学看错了一次项系数，
∴原多项式的二次项是2x2，常数项是18，
∵2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16，
又∵乙同学看错了常数项，
∴原多项式的一次项是-12x，
∴原多项式是 ，
∴，
故答案为： ；2(x-3)2.
【分析】将看错了一次项系数的分解结果展开，得到原多项式的二次项系数和常数项，再由看错了常数项的分解结果2(x-2)(x-4)展开，得到原多项式的一次项，从而得出原多项式；再对原多项式进行提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可.
17．【答案】（1）解：原式=3（a2-2a+1）
=3（a-1）2.
（2）解：原式=（a+b）2-（2a）2，
=（a+b+2a）（a+b-2a）
=（3a+b）（b-a）.
（3）解：原式=3（m+n）2 -（m-n）2
=3（m+n）+（m-n） 3（m+n）-（m-n） =（4m+2n）（2m+4n）
=4（2m+n）（m+2n）
=4（m+2n）（2m+n）.
（4）解：原式=-3a2（x2-8x+16）
=-3a2（x-4）2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再观察括号里面的式子符合完全平方公式，再利用完全平方公式分解因式即可.
（2）先把a+b看成一个整体，4a2=（2a）2，所以综合来看符合平方差公式，用平方差公式分解因式即可得.
（3）把9（m+n）2化为2，（m-n）看做一个整体，综合来看符合平方差公式，用平方差公式分解因式即可得.
（4）先提取公因式-3a2，再观察括号里面的式子，可以发现括号里面符合完全平方公式，用完全平方公式分解因式即可得.
18．【答案】解：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）+a（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）2+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）2（a+1）+...+a（a+1）99，
=（a+1）3+...+a（a+1）99，
=（a+1）100.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题先观察前面两项和第三项有公因式，于是提取公因式；再观察后面的一项和前面的又有公因式，继续提取公因式。这样下去采用逐步提取公因式，就可以找到规律，得出结果.
19．【答案】（1）解：由题意，=，
；
（2）解：∵s为“真知数”，
∴x≠1，x≠2，
∵t为“真知数”，且6+4=10，6+6=12，
∴y≠4，y≠6，
由题意，将百位调换后的数为210+x，100+10x+2，
∴，
当1≤y≤3时，
∵，，为整数，x≠1，x≠2，1≤y≤3，
∴x=y=3，
∴=，
=6，
∴+=22不被7整除，
∴x≠3，y≠3；
当y=5，7，8，9时，将百位调换后的数为600+10（y-4）+2，100（y-4）+26，
∴，
∴+=x+y+7，
∵+可被7整除，且，，为整数，x≠1，x≠2，y=5，7，8，9，
∴x+y=14，
∴x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7，
∴t=265或264或263.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题干提供的例子分别计算即可；
（2）首先根据真知数的定义判断出x≠1，x≠2， y≠4，y≠6， 进而求出F（s）=x+3，然后分类讨论：①当1≤y≤3时，可得x=y=3，从而求出F（t）、F（s） 代入根据F（t）+F（s）能被7整除进行检验得出答案；② 当y=5，7，8，9时， 求出F（t），则F（t）+F（s）=x+y+7，进而根据F（t）+F（s）能被7整除可得x+y=14，从而得出 x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7， 此题得解.
20．【答案】（1）；
（2）当时，
（3）①根据题意得，x=2时，
把代入
得
②根据题意得，和时
把和代入得
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）第一空：当x=1时，x2+x-2=0，
设x2+x-2=（x-1）（x+m），
x2+x-2=x2+mx-x-m=x2+(m-1)-m，
∴m-1=1，解得m=2，
即x2+x-2=（x-1）（x+2）；
故答案为：（x-1）（x+2）.
第二空：当x=-1时，2x2-5x-7=0，
设2x2-5x-7=（x+1）(2x+m)，
2x2-5x-7=2x2+mx+2x+m=2x2+（m+2）x+m，
∴m+2=-5，解得m=-7，
即2x2-5x-7=（x+1）(2x-7)；
故答案为：（x+1）(2x-7).
【分析】（1）第一空：根据阅读材料和已知的多项式可知：当x=1时，x2+x-2=0，设x2+x-2=（x-1）（x+m），根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，由恒等式的意义可得关于m的方程，解方程求得m的值，写出结论即可；
第二空：根据阅读材料和已知的多项式可知：当x=-1时，2x2-5x-7=0，设2x2-5x-7=（x+1）(2x+m)，同理哦可求解；
（2）当x=1时，x3+3x2-4=0，设x3+3x2-4=（x-1）（x2+ax+b），根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，由恒等式的意义可得关于a、b的方程组，解这个方程组即可求解；
（3）①由题意可得：当x=2时，x2+mx-n=0，把x=2代入x2+mx-n得：2m-n=-4，则=32m-n，然后整体代换即可求解；
②由题意可知：当x=2和x=-1时，x4+mx3+nx-16=0，把x=2和x=-1代入可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，则mn可求解.
21．【答案】（1）解：（-1）2+02+12+22+32
=1+0+1+4+9
=15，
15÷5=3，
∴（-1）2+02+12+22+32 的结果是5的3倍.
（2）解：平方和为5n2+10，五个连续整数的平方和是5的倍数，理由如下：
设五个连续整数的中间一个为n， 则第一个整数为n-2，第二个整数为n+1，第四个整数为n+1，第五个整数为n+2，
∴(n-2)2+(n+1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2-4n+4+n2+2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10=5（n2+2），
∵n为整数，
∴（n2+2）为整数，
故五个连续整数的平方和是5的倍数.
（3）解：2.理由如下：
设中间的一个数为n，则第一个数为n-1，第三个数为n+1，
（n-1）2+n2+(n+1)2
=3n2+2，
∵n为整数，
∴3n2是3的倍数，
故3n2+2被3除的余数是2，即：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将代数式根据有理数的混合运算法则计算可得原式=15，用15除以5即可判断求解；
（2）设五个连续整数的中间一个为n， 则第一个整数为n-2，第二个整数为n+1，第四个整数为n+1，第五个整数为n+2，计算这5个数的平方和并整理即可判断求解；
（3）设中间的一个数为n，则第一个数为n-1，第三个数为n+1，计算这3个数的平方和并整理即可判断求解.
22．【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
23．【答案】（1）解：设，，则，，
∴
（2）解：由题意得：，，
则，
∵阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
∴阴影部分的面积为：，
设，，
则，，
∴，
∴或（不符题意，舍去），
∴
故阴影部分的面积为24.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）设x+2=a，x-7=b，则ab=6，a-b=9，进而根据a2+b2=（a-b）2+2ab，整体代入计算即可；
（2）由题意得MF=DE=x-1，DF=x-3，则DE·DF=（x-1）（x-3）=35，进而根据阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，可得MF2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，设x-1=m，x-3=n，则mn=35，m-n=2，进而根据完全平方公式可得（m+n）2=（m-n）2+4mn，代入计算后再开平方可求出m+n的值，最后根据m2-n2=（m-n）（m+n）整体代入计算即可.
24．【答案】（1）
（2）解：整个矩形面积为：，1个长方形面积为，
阴影部分矩形的面积为：，
∴，
证明：左边，
右边，
∵左边=右边，
∴．
（3）解：∵，
∴画出的图形如图所示：
该长方形的长为，宽为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的边长为，小正方形的边长为，1个长方形面积为，
∴；
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长为a，宽为b的长方形的面积即得结论；
（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个长为a，宽为b的长方形的面积列出等式，再用整式的乘法进行证明即可；
（3）先分解因式， 据此拼成一个长为2a+b，a+2b的长方形即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第4章因式分解 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
2．（2021七下·余姚竞赛）已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出结果。
3．设n为整数，则一定能被 （ ）
A．3 整除 B．4整除 C．6 整除 D．8整除
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），
∵n+3和n-2一个是奇数一个是偶数，
∴（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，
∴（2n+1）2-12.5一定能被4整除，
故答案为：B.
【分析】把原式变形为（2n+1）2-12.5=2（n+3）（n-2），再根据n+3和n-2一个是奇数一个是偶数得出（2n+1）2-12.5一定是4的倍数，即可得出答案.
4．（2022七下·怀宁期中）已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】因为，
所以，
整理，得，
则，
即．
因为，
所以，
即．
由，得，
所以．
故答案为：A．
【分析】将整式化为，求出，再求解即可。
5．（2021七下·普陀期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
6．（2023七下·义乌期末）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”.则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．14个 B．15个 C．26个 D．60个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设两个自然数分别为、，
则，
小于200且不重复的''完全数 ''可以是：
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，
共15个，
故答案为：B.
【分析】根据新定义所给的计算公式可知，完全数等于某个自然数的平方.
7．（2023七下·娄星期中）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：底，爱，我，数，学，娄，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱娄底 C．我爱娄底 D．娄底数学
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵
，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱娄底，故C正确.
故答案为：C.
【分析】首先提取3(x2-1)，然后利用平方差公式分解可得原式=3(x+1)(x-1)(a-b)，据此解答.
8．（2023七下·青岛期末）下列计算不正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．是一个完全平方式，则为
D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；完全平方式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，正确，故不符合题意；
B、∵，
∴n=-2，正确，故不符合题意；
C、∵是一个完全平方式 ，
∴ax=2·x·11，
∴a=22，正确，故不符合题意；
D、原式=20152-（2015-1）（2015+1）=20152-(20152-1）=1，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、多项式乘多项式、完全平方公式及平方差公式分别计算，再判断即可.
9．（2022七下·沧州期末）如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，
，，
，
．
故答案为： A．
【分析】由边长为a、b的长方形周长为10，面积为8，可推出，，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
10．比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°，
则四边形ADFE是矩形，
∴AD=EF，BE=CF=（a-b)，
由图形可知：∠B=45°，
∴AE=BE=（a-b)，
∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积，是（a+b)×（a-b)×2=（a+b)（a-b)，
第二个图形阴影部分的面积是a2-b2，
∴a2-b2=（a+b)（a-b)，
故选A．
【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出BE值，求出高AE，根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积，根据阴影部分的面积相等即可得出答案．本题考查了对平方差公式的几何图形的运用，表示出阴影部分的面积是解此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
12．（2020七下·江阴期中）多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
【答案】-4a2或-9或12a或-12a
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：完全平方公式是指： .
；
；
；
.
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
【分析】一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。
13．（2023七下·新都期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ．
【答案】；
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
14．（2023七下·上城期末）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则 ．
【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
15．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
16．（2023七下·曲阳期末）两名同学将一个二次三项式因式分解，甲同学因看错了一次项系数而分解成；乙同学因看错了常数项而分解成，请你将原多项式写出 并把因式分解正确的结果写出来： ．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18，
又∵甲同学看错了一次项系数，
∴原多项式的二次项是2x2，常数项是18，
∵2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16，
又∵乙同学看错了常数项，
∴原多项式的一次项是-12x，
∴原多项式是 ，
∴，
故答案为： ；2(x-3)2.
【分析】将看错了一次项系数的分解结果展开，得到原多项式的二次项系数和常数项，再由看错了常数项的分解结果2(x-2)(x-4)展开，得到原多项式的一次项，从而得出原多项式；再对原多项式进行提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=3（a2-2a+1）
=3（a-1）2.
（2）解：原式=（a+b）2-（2a）2，
=（a+b+2a）（a+b-2a）
=（3a+b）（b-a）.
（3）解：原式=3（m+n）2 -（m-n）2
=3（m+n）+（m-n） 3（m+n）-（m-n） =（4m+2n）（2m+4n）
=4（2m+n）（m+2n）
=4（m+2n）（2m+n）.
（4）解：原式=-3a2（x2-8x+16）
=-3a2（x-4）2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再观察括号里面的式子符合完全平方公式，再利用完全平方公式分解因式即可.
（2）先把a+b看成一个整体，4a2=（2a）2，所以综合来看符合平方差公式，用平方差公式分解因式即可得.
（3）把9（m+n）2化为2，（m-n）看做一个整体，综合来看符合平方差公式，用平方差公式分解因式即可得.
（4）先提取公因式-3a2，再观察括号里面的式子，可以发现括号里面符合完全平方公式，用完全平方公式分解因式即可得.
18．化简：.
【答案】解：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）+a（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）（a+1）+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）2+a（a+1）2+...+a（a+1）99，
=（a+1）2（a+1）+...+a（a+1）99，
=（a+1）3+...+a（a+1）99，
=（a+1）100.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题先观察前面两项和第三项有公因式，于是提取公因式；再观察后面的一项和前面的又有公因式，继续提取公因式。这样下去采用逐步提取公因式，就可以找到规律，得出结果.
19．（2023七下·梁平期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为.例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则.
（1）求，；
（2）已知，（，，为整数），若、均为“真知数”，且可被7整除，求的值.
【答案】（1）解：由题意，=，
；
（2）解：∵s为“真知数”，
∴x≠1，x≠2，
∵t为“真知数”，且6+4=10，6+6=12，
∴y≠4，y≠6，
由题意，将百位调换后的数为210+x，100+10x+2，
∴，
当1≤y≤3时，
∵，，为整数，x≠1，x≠2，1≤y≤3，
∴x=y=3，
∴=，
=6，
∴+=22不被7整除，
∴x≠3，y≠3；
当y=5，7，8，9时，将百位调换后的数为600+10（y-4）+2，100（y-4）+26，
∴，
∴+=x+y+7，
∵+可被7整除，且，，为整数，x≠1，x≠2，y=5，7，8，9，
∴x+y=14，
∴x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7，
∴t=265或264或263.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题干提供的例子分别计算即可；
（2）首先根据真知数的定义判断出x≠1，x≠2， y≠4，y≠6， 进而求出F（s）=x+3，然后分类讨论：①当1≤y≤3时，可得x=y=3，从而求出F（t）、F（s） 代入根据F（t）+F（s）能被7整除进行检验得出答案；② 当y=5，7，8，9时， 求出F（t），则F（t）+F（s）=x+y+7，进而根据F（t）+F（s）能被7整除可得x+y=14，从而得出 x=5，y=9或x=6，y=8或x=7，y=7， 此题得解.
20．（2023七下·慈溪期末）[阅读材料]分解因式：
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设为常数)，通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：
； ；
（2）请你用“试根法”分解因式：；
（3）①若多项式为常数)分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求mn的值.
【答案】（1）；
（2）当时，
（3）①根据题意得，x=2时，
把代入
得
②根据题意得，和时
把和代入得
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）第一空：当x=1时，x2+x-2=0，
设x2+x-2=（x-1）（x+m），
x2+x-2=x2+mx-x-m=x2+(m-1)-m，
∴m-1=1，解得m=2，
即x2+x-2=（x-1）（x+2）；
故答案为：（x-1）（x+2）.
第二空：当x=-1时，2x2-5x-7=0，
设2x2-5x-7=（x+1）(2x+m)，
2x2-5x-7=2x2+mx+2x+m=2x2+（m+2）x+m，
∴m+2=-5，解得m=-7，
即2x2-5x-7=（x+1）(2x-7)；
故答案为：（x+1）(2x-7).
【分析】（1）第一空：根据阅读材料和已知的多项式可知：当x=1时，x2+x-2=0，设x2+x-2=（x-1）（x+m），根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，由恒等式的意义可得关于m的方程，解方程求得m的值，写出结论即可；
第二空：根据阅读材料和已知的多项式可知：当x=-1时，2x2-5x-7=0，设2x2-5x-7=（x+1）(2x+m)，同理哦可求解；
（2）当x=1时，x3+3x2-4=0，设x3+3x2-4=（x-1）（x2+ax+b），根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，由恒等式的意义可得关于a、b的方程组，解这个方程组即可求解；
（3）①由题意可得：当x=2时，x2+mx-n=0，把x=2代入x2+mx-n得：2m-n=-4，则=32m-n，然后整体代换即可求解；
②由题意可知：当x=2和x=-1时，x4+mx3+nx-16=0，把x=2和x=-1代入可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，则mn可求解.
21．【发现】
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
（1）的结果是5的几倍
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数.
（3）【延伸】
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几 请说明理由.
【答案】（1）解：（-1）2+02+12+22+32
=1+0+1+4+9
=15，
15÷5=3，
∴（-1）2+02+12+22+32 的结果是5的3倍.
（2）解：平方和为5n2+10，五个连续整数的平方和是5的倍数，理由如下：
设五个连续整数的中间一个为n， 则第一个整数为n-2，第二个整数为n+1，第四个整数为n+1，第五个整数为n+2，
∴(n-2)2+(n+1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2-4n+4+n2+2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10=5（n2+2），
∵n为整数，
∴（n2+2）为整数，
故五个连续整数的平方和是5的倍数.
（3）解：2.理由如下：
设中间的一个数为n，则第一个数为n-1，第三个数为n+1，
（n-1）2+n2+(n+1)2
=3n2+2，
∵n为整数，
∴3n2是3的倍数，
故3n2+2被3除的余数是2，即：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将代数式根据有理数的混合运算法则计算可得原式=15，用15除以5即可判断求解；
（2）设五个连续整数的中间一个为n， 则第一个整数为n-2，第二个整数为n+1，第四个整数为n+1，第五个整数为n+2，计算这5个数的平方和并整理即可判断求解；
（3）设中间的一个数为n，则第一个数为n-1，第三个数为n+1，计算这3个数的平方和并整理即可判断求解.
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
23．（2023七下·滨海期中）若x满足，求的值.
解：设，则，
所以.
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（x+2） （x-7）＝6，求（x+2）2+（x－7）2的值.
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设，，则，，
∴
（2）解：由题意得：，，
则，
∵阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
∴阴影部分的面积为：，
设，，
则，，
∴，
∴或（不符题意，舍去），
∴
故阴影部分的面积为24.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）设x+2=a，x-7=b，则ab=6，a-b=9，进而根据a2+b2=（a-b）2+2ab，整体代入计算即可；
（2）由题意得MF=DE=x-1，DF=x-3，则DE·DF=（x-1）（x-3）=35，进而根据阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，可得MF2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，设x-1=m，x-3=n，则mn=35，m-n=2，进而根据完全平方公式可得（m+n）2=（m-n）2+4mn，代入计算后再开平方可求出m+n的值，最后根据m2-n2=（m-n）（m+n）整体代入计算即可.
24．（2023七下·平遥月考）综合与实践
图1是一个长为a，宽为b的长方形．现有相同的长方形若干，进行如下操作：
（1）用四块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图2所示的正方形．请利用图2中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式，，之间的等量关系 ；
（2）将六块图1的小长方形不重叠地拼成一个如图3所示的长方形，通过不同方法计算阴影部分的面积，你能得到什么等式？请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立；
（3）现有图1的小长方形若干个，图4边长为a的正方形两个，边长为b的正方形两个请你用这些图形拼成一个长方形（不重叠），使其面积为．画出你所拼成的长方形，并写出长方形的长和宽分别为多少．
【答案】（1）
（2）解：整个矩形面积为：，1个长方形面积为，
阴影部分矩形的面积为：，
∴，
证明：左边，
右边，
∵左边=右边，
∴．
（3）解：∵，
∴画出的图形如图所示：
该长方形的长为，宽为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的边长为，小正方形的边长为，1个长方形面积为，
∴；
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长为a，宽为b的长方形的面积即得结论；
（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个长为a，宽为b的长方形的面积列出等式，再用整式的乘法进行证明即可；
（3）先分解因式， 据此拼成一个长为2a+b，a+2b的长方形即可.
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