【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册5.3分式的乘除 同步练习
一、选择题
1．﹣（ ）]=中，在（ ）内填上的数是（ ）
A． B． C． D．
2．某电动车车间m人n天可生产p2个零件，则n2个人p2天可生产零件（ ）
A．个 B．个 C．个 D．mp4个
3．计算 ÷的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．a2÷b·÷c·÷d·的结果是（ ）
A．a2 B． C． D．
5．计算-÷（-）·的结果是（ ）
A． B． C． D．-
6．已知 则 S2024的值为 （ ）
A．-3a B． C．a D．-a
7． 老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
8．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带(a>b>0).方案一：如图1 中阴影部分所示，绿化带的面积为S1；方案二：如图 2 中阴影部分所示，绿化带的面积为 S2.设 则下列选项中，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．化简的结果为 .
10．甲地到乙地的铁路的全长为s(km)，火车全程的运行时间为a(h)；甲地到乙地的公路的全长为铁路全长的m倍，汽车全程的运行时间为b(h)，那么火车的速度是汽车速度的 .倍.
11．已知a≠0，S1=﹣3a，S2=，S3=，S4=，…S2015=﹣，则S2015= ．
12．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是 .
三、解答题
13．观察下列各式：．
(x2-1)÷(x-1)=x+1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1；
（1）请根据以上的规律填空：
①(x10-1)÷(x-1)= ．
②(x2020-1)÷(x-1)= .
（2）你能求出(xn-1)÷(x-1)的结果吗？
（3）根据以上结论计算：
1+2+22+23+……+22020+22021．
14．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
15．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：设在（ ）内填上的数是x，则式子即可变形为﹣×[﹣1﹣x]=，
即1+x=1
解得x=﹣
故选D．
【分析】设在（ ）内填上的数是x，则式子即可变形为﹣×[﹣1﹣x]=，解方程即可求得．
2．【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：一个人 首先表示出：一个人一天做的零件的个数是，
∴n2个人一天做的个数是·n2，=
∴n2个人p2天可生产零件个数是·p2=.
故答案为：C.
【分析】 首先表示出一个人一天做的零件的个数，然后表示出n2个人一天做的个数，则n2个人p2天可生产零件数即可求．
3．【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】解：原式= ，
=﹣，
故选：B．
【分析】首先把分式的分子或分母能分解因式的分解因式，再把除法变为乘法，然后约分后相乘即可．
4．【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先把除化为乘，再约分即可。
a2÷b·÷c·÷d·=a2······=，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以)一个不为0数（或式)，分式的值不变．
5．【答案】C
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【分析】先把除化为乘，再约分即可。
-÷（-)·=-··=，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式的除法法则，除以一个不为零的数或者式子，等于乘以它的倒数。
6．【答案】B
【知识点】分式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
……
根据上面各式规律可知：
故答案为：B
【分析】根据各式的结果得出规律，根据规律写出S2024的值。
7．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
8．【答案】B
【知识点】分式的乘除法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
∵a>b>0
∴
∴
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据长方形和正方形面积公式写出S1和S2的结果，再表示出k，结合不等式的性质求出k的范围即可。
9．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：.
【分析】先利用除法法则把除法运算转化为乘法运算，再把后一个分式的分子、分母因式分解，最后计算分式乘法，约分化为最简分式即可.
10．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：火车的速度为： (km/h)
汽车的速度为： (km/h)
故答案为：
【分析】速度＝路程÷时间，分别列出火车和汽车的速度，再用除法求它们的倍数关系即可。
11．【答案】﹣3a
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：S1=﹣3a，S2==﹣，S3==﹣3a，S4==﹣，…，
∵2005÷2=1002…1，
∴S2015=﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【分析】根据题意确定出S1=﹣3a，S2=﹣，S3=﹣3a，S4=﹣，…，得出以﹣3a与﹣循环，即可确定出S2015．
12．【答案】乙和丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
=，
，
，
故乙和丁错误.
故答案为：乙和丁.
【分析】根据分式乘除法法则逐项进行计算，即可得出答案.
13．【答案】（1）x9+x8+x7+…+x+1；x2019+x2018+x2017+…+x+1
（2）解：（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1.
（3）解： ∵1+2+22+23+……+22020+22021=（22022﹣1）÷（2﹣1）=22022﹣1．
【知识点】分式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）① (x10-1)÷(x-1)=x9+x8+x7+…+x+1 .
②(x2020-1)÷(x-1) ＝x2019+x2018+x2017+…+x+1.
故答案为①x9+x8+x7+…+x+1 ；②x2019+x2018+x2017+…+x+1.；
【分析】（1）①根据所给出的等式可直接求解；
②根据所给出的等式可直接求解；
（2）根据(1)中的规律可直接求解；
（3）根据1+x+x2+…+x2020+x2021＝（22022﹣1）÷（2﹣1），即可解答．
14．【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【知识点】分式的乘除法；正方形的性质；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
15．【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
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一、选择题
1．﹣（ ）]=中，在（ ）内填上的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：设在（ ）内填上的数是x，则式子即可变形为﹣×[﹣1﹣x]=，
即1+x=1
解得x=﹣
故选D．
【分析】设在（ ）内填上的数是x，则式子即可变形为﹣×[﹣1﹣x]=，解方程即可求得．
2．某电动车车间m人n天可生产p2个零件，则n2个人p2天可生产零件（ ）
A．个 B．个 C．个 D．mp4个
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：一个人 首先表示出：一个人一天做的零件的个数是，
∴n2个人一天做的个数是·n2，=
∴n2个人p2天可生产零件个数是·p2=.
故答案为：C.
【分析】 首先表示出一个人一天做的零件的个数，然后表示出n2个人一天做的个数，则n2个人p2天可生产零件数即可求．
3．计算 ÷的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】解：原式= ，
=﹣，
故选：B．
【分析】首先把分式的分子或分母能分解因式的分解因式，再把除法变为乘法，然后约分后相乘即可．
4．a2÷b·÷c·÷d·的结果是（ ）
A．a2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先把除化为乘，再约分即可。
a2÷b·÷c·÷d·=a2······=，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以)一个不为0数（或式)，分式的值不变．
5．计算-÷（-）·的结果是（ ）
A． B． C． D．-
【答案】C
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【分析】先把除化为乘，再约分即可。
-÷（-)·=-··=，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式的除法法则，除以一个不为零的数或者式子，等于乘以它的倒数。
6．已知 则 S2024的值为 （ ）
A．-3a B． C．a D．-a
【答案】B
【知识点】分式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
……
根据上面各式规律可知：
故答案为：B
【分析】根据各式的结果得出规律，根据规律写出S2024的值。
7． 老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
8．某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带(a>b>0).方案一：如图1 中阴影部分所示，绿化带的面积为S1；方案二：如图 2 中阴影部分所示，绿化带的面积为 S2.设 则下列选项中，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
∵a>b>0
∴
∴
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据长方形和正方形面积公式写出S1和S2的结果，再表示出k，结合不等式的性质求出k的范围即可。
二、填空题
9．化简的结果为 .
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：.
【分析】先利用除法法则把除法运算转化为乘法运算，再把后一个分式的分子、分母因式分解，最后计算分式乘法，约分化为最简分式即可.
10．甲地到乙地的铁路的全长为s(km)，火车全程的运行时间为a(h)；甲地到乙地的公路的全长为铁路全长的m倍，汽车全程的运行时间为b(h)，那么火车的速度是汽车速度的 .倍.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：火车的速度为： (km/h)
汽车的速度为： (km/h)
故答案为：
【分析】速度＝路程÷时间，分别列出火车和汽车的速度，再用除法求它们的倍数关系即可。
11．已知a≠0，S1=﹣3a，S2=，S3=，S4=，…S2015=﹣，则S2015= ．
【答案】﹣3a
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：S1=﹣3a，S2==﹣，S3==﹣3a，S4==﹣，…，
∵2005÷2=1002…1，
∴S2015=﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【分析】根据题意确定出S1=﹣3a，S2=﹣，S3=﹣3a，S4=﹣，…，得出以﹣3a与﹣循环，即可确定出S2015．
12．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是 .
【答案】乙和丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
=，
，
，
故乙和丁错误.
故答案为：乙和丁.
【分析】根据分式乘除法法则逐项进行计算，即可得出答案.
三、解答题
13．观察下列各式：．
(x2-1)÷(x-1)=x+1；
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1；
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1；
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1；
（1）请根据以上的规律填空：
①(x10-1)÷(x-1)= ．
②(x2020-1)÷(x-1)= .
（2）你能求出(xn-1)÷(x-1)的结果吗？
（3）根据以上结论计算：
1+2+22+23+……+22020+22021．
【答案】（1）x9+x8+x7+…+x+1；x2019+x2018+x2017+…+x+1
（2）解：（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1.
（3）解： ∵1+2+22+23+……+22020+22021=（22022﹣1）÷（2﹣1）=22022﹣1．
【知识点】分式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）① (x10-1)÷(x-1)=x9+x8+x7+…+x+1 .
②(x2020-1)÷(x-1) ＝x2019+x2018+x2017+…+x+1.
故答案为①x9+x8+x7+…+x+1 ；②x2019+x2018+x2017+…+x+1.；
【分析】（1）①根据所给出的等式可直接求解；
②根据所给出的等式可直接求解；
（2）根据(1)中的规律可直接求解；
（3）根据1+x+x2+…+x2020+x2021＝（22022﹣1）÷（2﹣1），即可解答．
14．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【知识点】分式的乘除法；正方形的性质；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
15．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
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