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专题4-1 因式分解+专题4-2 提取公因式法
模块1：学习目标
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系。
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式。
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解。
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法。
模块2：知识梳理
1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。
4.公因式：像多项式 pa pb+ pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因。
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
5.提公因式
提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。
注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
模块3：核心考点与典例
考点1、因式分解的定义
例1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意；
中，其右边不是积的形式，则B不符合题意；
中左右两边不相等，则C不符合题意；
符合因式分解的定义，则D符合题意；故选：D．
变式1.（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据分解因式的定义，依次判断，即可求解，
本题考查了因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义．
【详解】解：、是因式分解，符合题意，
、，不符合题意，
、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意，
、，是整式的乘法，不符合题意，故选：．
变式2.（23-24八年级上·山东日照·期末）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【详解】解：①符合因式分解的定义，是因式分解；
②右边不是整式的积，不是因式分解；
③等式左边不是多项式，不是因式分解；
④是整式的乘法运算，不是因式分解，是因式分解的个数是个，故选：A．
考点2、根据因式分解的结果求参数
例1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【分析】将展开，得到p，q的值即可得到答案；
【详解】解：∵，∴，，∴，故选A．
【点睛】本题考查因式分解得逆运算，解题的关键是得出p，q的值．
变式1. （23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若多项式可分解为，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可．
【详解】解：，
把多项式分解因式，得，，故选：B．
变式2. （23-24八年级上·山东淄博·期中）将多项式进行因式分解得到，则分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可．
【详解】解：
∴∴故选A
考点3、根据部分因式求参数
例1．（22-23八年级上·河南开封·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】，
【分析】设另一根因式为，可得，再建立方程组，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵二次三项式有一个因式是，
∴设另一根因式为，∴，
∴，解得：，∴另一根因式为：．
【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．
变式1.（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）已知多项式有一个因式为，则的值为（ ）
A． B．10 C．5 D．20
【答案】A
【分析】根据多项式的次数为2以及最高次项的系数为2，设多项式另一个因式为，则，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值．
【详解】解：根据题意，设多项式另一个因式为，则
，等式右边展开，得，
，，，解得，，故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题关键．
变式2. （23-24八年级上·吉林长春·期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
解：观察可知，当时，原式．∴原式可分解为与另一个整式的积．
设另一个整式为．则，
∵，
∴
∵等式两边同次幂的系数相等，则有：，解得．∴．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______．
(2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为，则．……
(3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为_____，的值为______．
【答案】(1)；；；(2)解题过程见详解，(3)；
【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解；（2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解；（3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解．
【详解】（1）解：当时，的值为，
∴原式可分解为与另一个整式的积，设另一个整式为，∴，
∵，∴，
∴，解得，，∴，故答案为：；；；．
（2）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则，
∵，∴，
∴，解方程得，，∴多项式（为常数）为，
∴因式分解为．
（3）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，∴，
∴，解方程组得，，∴多项式（为常数）为，
∴因数分解为，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键．
考点4、公因式
例1．（23-24八年级上·山东威海·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是，故选C．
变式1. （23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．
【详解】解：A、，与有公因式，故本选项不符合题意；
B、与没有公因式，故本选项符合题意；
C、与有公因式，故本选项不符合题意；
D、与有公因式，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键．
变式2. （2024·河北石家庄·一模）整式，，下列结论：
结论一：． 结论二：，的公因式为．下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故结论一正确；
∵，∴，的公因式为，故结论二不正确；故选：A．
考点5、提公因式法分解因式
例1．（23-24七年级下·浙江·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查的是题公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本题的关键；
（1）提取公因式，再分解因式即可；（2）提取公因式，再分解因式即可；
【详解】（1）解：．
（2）；
变式1. （2024·浙江·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提公因式，即可求解．
【详解】解：．故答案为：．
变式2. （23-24七年级下·浙江·课后作业）分解因式：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)．
【分析】本题考查了提公因式法因式分解．（1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解；
（2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式；
（3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
考点6、提公因式法分解因式的应用
例1．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ）
A．35 B．150 C．300 D．600
【答案】B
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，提公因式分解因式，先根据长方形的周长和面积求出和的值，然后代入化简后的代数值求解即可．
【详解】解：∵长方形周长为20， ∴，∴．
∵长方形的面积为15， ∴， ∴． 故选：B．
变式1. （23-24八年级·广东佛山·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
【答案】
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
【详解】解：图形的面积，
又图形的面积，，故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
变式2. （22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把因式分解为，再进行计算求值．
【详解】解：．故答案为：．
变式3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码121314，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了因式分解的应用．对多项式提取公因式后，根据密码即可确定另两个因式，从而求解．
【详解】解：，
由题意知：，而，
∴，∴；故答案为：6．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解本题的关键，
【详解】解：A、属于整式的乘法计算，不符合题意；
B、因式分解错误，不符合题意；C、属于因式分解，符合题意；
D、因式分解错误，不符合题意；；故选：C．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）对于① ，②，从左到右的变形，表述正确的（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法运算，根据因式分解，乘法运算的定义即可求解．
【详解】解：①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．
3．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解．
【详解】解：在多项式中，各项的公因式是，故选：A．
4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键．
【详解】，则余下的部分是x．故选：C．
5．（23-24八年级下·浙江·课后作业）把多项式分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解．
【点睛】解：．故选：C
6．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）如果，，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，分解因式并整体代入即可求解．
【详解】解：，当，时，原式，故选：C．
7．（23-24八年级上·山东济南·期末）利用因式分解计算
A．1 B．2023 C．2024 D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解计算，涉及提公因式因式分解，根据题意，提公因式即可简化运算求值，熟练掌握因式分解方法是解决问题的关键．
【详解】解：，故选：B．
8．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．
【详解】解：设，则，
∴，解得：，故选C．
9．（2023七年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先设原式，进而求出即可．
【详解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，∴．故选C．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．
10．（22-23七年级下·北京通州·期末）如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（ ）
A．7张 B．6张 C．5张 D．4张
【答案】A
【分析】根据所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等，利用多项式乘以多项式的计算法则求出大长方形面积即可得到答案．
【详解】解：，
∵所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等，∴3张类正方形卡片，2张类正方形卡片和7张类长方形卡片即可拼成一个长为，宽为的大长方形，故选A．
【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式乘以多项式之间的关系，正确理解题意得到所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ．
【答案】 整式乘法 因式分解
【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解，
故答案为：整式乘法，因式分解．
12．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，多项式可因式分解为，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，多项式可因式分解为，
∴，∴，即，故答案为：1．
13．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可．
【详解】解：和的最大公因式是，故答案为：．
14．（2024·云南·模拟预测）分解因式 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用提公因式法分解因式即可．
【详解】．故答案为：．
15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）若，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．将原式提取公因式，进而分解因式，将已知代入求出即可．
【详解】解：；故答案为：6．
16．（23-24八年级上·福建福州·期末）若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的意义．根据多项式乘法的法则，中与4相乘可得到，则可知：含有因式和，据此可得的值．
【详解】解：，所以的数值是．故答案为：．
17．（23-24八年级上·海南海口·期中）如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
【详解】解：边长为，的长方形，它的周长为10，面积为6，，，
．故答案为：30．
18．（23-24八年级·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解：(1)；(2)
【答案】(1)；(2)；
【分析】本题考查因式分解：（1）直接提取公因式即可得到答案；（2）直接提取公因式即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式 ．
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）用提公因式法分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键；
（1）提取公因式分解因式即可：（2）提取公因式分解因式即可：
（3）提取公因式分解因式即可：（4）提取公因式分解因式即可：
【详解】（1）解：．
（2）．
（3）．
（4）．
21．（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）已知，，求的值．
【答案】30
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，先用提公因式法将代数式化简包含有已知式子的样式，然后整体代入求解即可．
【详解】解：，
∵，，∴原式
22．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若是的一个因式，求的值．
【答案】
【分析】设另一个因式为，则有，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m、n值即可求解．
【详解】解：设另一个因式为，则有，
即，∴，，∴，．
【点睛】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．
23．（2023春·浙江七年级课时练习）通过计算说明能被整除．
【答案】见解析
【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案．
【详解】解：因为
，所以能被整除．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．
24．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，解得，
．
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】(1)若，则________；
(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解；
（2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，∴，故答案为：；
（2）设多项式另一个因式为，
则
，，，，，，即另一个式子为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．
25．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)，(2)，(3)另一个因式是，的值是2
【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．
【详解】（1）解：，，，故答案为：，，
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，
另一个因式是，故答案为：，，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，
是正整数，，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a的值是2．
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专题4-1 因式分解+专题4-2 提取公因式法
模块1：学习目标
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系。
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式。
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解。
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法。
模块2：知识梳理
1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。
4.公因式：像多项式 pa pb+ pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因。
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
5.提公因式
提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。
注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
模块3：核心考点与典例
考点1、因式分解的定义
例1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
变式2.（23-24八年级上·山东日照·期末）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
考点2、根据因式分解的结果求参数
例1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．9
变式1. （23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若多项式可分解为，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
变式2. （23-24八年级上·山东淄博·期中）将多项式进行因式分解得到，则分别是（ ）
A． B． C． D．
考点3、根据部分因式求参数
例1．（22-23八年级上·河南开封·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
变式1.（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）已知多项式有一个因式为，则的值为（ ）
A． B．10 C．5 D．20
变式2. （23-24八年级上·吉林长春·期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
解：观察可知，当时，原式．∴原式可分解为与另一个整式的积．
设另一个整式为．则，
∵，
∴
∵等式两边同次幂的系数相等，则有：，解得．∴．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______．
(2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为，则．……
(3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为_____，的值为______．
考点4、公因式
例1．（23-24八年级上·山东威海·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （23-24八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
变式2. （2024·河北石家庄·一模）整式，，下列结论：
结论一：． 结论二：，的公因式为．下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
考点5、提公因式法分解因式
例1．（23-24七年级下·浙江·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)；(2)．
变式1. （2024·浙江·一模）分解因式： ．
变式2. （23-24七年级下·浙江·课后作业）分解因式：
(1)；(2)；(3)．
考点6、提公因式法分解因式的应用
例1．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ）
A．35 B．150 C．300 D．600
变式1. （23-24八年级·广东佛山·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
变式2. （22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，时，的值为 ．
变式3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码121314，则 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）对于① ，②，从左到右的变形，表述正确的（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·浙江·课后作业）把多项式分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）如果，，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·山东济南·期末）利用因式分解计算
A．1 B．2023 C．2024 D．
8．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
9．（2023七年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（22-23七年级下·北京通州·期末）如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（ ）
A．7张 B．6张 C．5张 D．4张
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ．
12．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，多项式可因式分解为，则的值为 ．
13．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ．
14．（2024·云南·模拟预测）分解因式 ．
15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）若，，则的值为 ．
16．（23-24八年级上·福建福州·期末）若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是 ．
17．（23-24八年级上·海南海口·期中）如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ．
18．（23-24八年级·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）因式分解：(1)；(2)
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）用提公因式法分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
21．（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）已知，，求的值．
22．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若是的一个因式，求的值．
23．（2023春·浙江七年级课时练习）通过计算说明能被整除．
24．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，解得，
．
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】(1)若，则________；
(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．
25．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
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