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专题4-4 十字相乘法与分组分解法（补充）
模块1：学习目标
1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式。
2.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
3.掌握因式分解分应用。
模块2：知识梳理
1、十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
2、分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式。③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
模块3：核心考点与典例
考点1、运用十字相乘法分解因式
例1．（23-24八年级·辽宁·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
型式子的因式分解型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ①利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得.上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.这样，我们也可以得到.
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知识应用】（2），则_________，_________；
【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用：
（1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可；（2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论；（3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得，根据m，p，q均为整数讨论求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴，故答案为：；
（2）由，
∴，解得，，故答案为：；
（3）由，∴，
∵m，p，q均为整数，∴，此时；
或者，此时；或者，此时；
或者，此时；或者，此时；
或者，此时；综上，的值为：
变式1. （23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解，运用十字相乘法进行因式分解即可解答．
【详解】．故选：A
变式2. （23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键．
【详解】解：原式，故答案：．
考点2、十字相乘与换元法
例1．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
．
变式1. （23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解；
利用十字相乘法进行因式分解，注意要分解彻底．
【详解】解：
变式2. （23-24八年级上·北京西城·期中）我们有公式：．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．
如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．
例如：；；
；．
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式．
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)否，(2)
【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键．
（1），故可继续分解；（2）设，
原式可分解为；将代入可继续分解．
【详解】（1）解：设，则原式
故答案为：否，
（2）解：设，则原式，
∴
考点3、运用分组分解法分解因式
例1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：（分成两组）（直接提公因式）， 乙：（分成两组）（直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．
【答案】(1)(2)，
【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题．
（1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
变式1. （23-24九年级下·黑龙江绥化·开学考试）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先分组，再提出公因式，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
变式2. （23-24八年级上·山西长治·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：.此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.
任务：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值.
【答案】(1)(2)，8
【分析】本题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键．
（1）仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解；
（2）先利用“分组分解法”进行因式分解，再将，作为整体代入求值．
【详解】（1）解：，．
（2）解：.
将，代入，得：原式．
考点4、因式分解的相关应用
例1．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组组内分解因式整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)(2)为等腰三角形，理由见详解
【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
（1）先分组，再用公式分解．（2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状
【详解】（1）解：
；
（2）解：为等腰三角形．
理由：∵，∴，
∴，∴或，
三边都大于0，∴．
∴，即，∴为等腰三角形．
变式1. （23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)是等边三角形；理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用；（1）根据材料1，分组分解即可求解；
（2）根据材料2，利用换元法，设，进而因式分解即可求解；
（3）根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：，故答案为：．
（2）解：
设，则原式
（3）解：是等边三角形，理由如下；
∵∴，∴∴
又∵，∴∴是等边三角形
变式2. （23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
【答案】(1)(2)6
【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，即可求出的值；
（2）将已知等式25分为，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长．
【详解】（1），，，
，，，；
（2），，
，，，，，
又是正整数，的边c的值2,3,4，5，6；的边c的最大值6．
考点5、因式分解中的新定义
例1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．（1）“优雅数”50的“优点”为 ；
（2）的“优点”为的“优点”为，若，且，则的值为 ．
【答案】 8 25
【分析】本题考查因式分解的应用，掌握“优雅数”的定义，是解题的关键：
（1）根据“优点”的定义，进行求解即可；（2）根据“优雅数”，“优点”的定义，结合推出，因式分解后，整体思想代入求值即可．
【详解】解：（1）∵，∴“优雅数”50的“优点”为8；故答案为：8；
（2）由题意，得：，
∵，且，∴，
∴，∴，∴；故答案为：25．
变式1. （23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得出，进而可得只要是合数，就是好数，即可求解．
【详解】解：由，可得，
所以，只要是合数，就是好数，以内的好数有：、、、、故选：C．
变式2. （2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：①直接写出的展开式， ；②的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；(2)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除．
【答案】(1)①；②7，64(2)见解析
【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键．（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
【详解】（1）解：根据规律得：①；
②，
的展开式中共有7项，所有项的系数和为；
故答案为：，7，64；
（2）证明：，
，
能被18整除．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次项系数看成，常数项看成，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：故选：C．
【点睛】本题考查了用十字相乘法分解因式，正确理解因式分解的定义，注意各项系数的符号是解题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）因式分解，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
∵，
∴因式分解的结果是，故选：D．
【点睛】本题主要考查了用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握用十字相乘法进行因式分解的方法和步骤．
3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A． B．5 C．1 D．
【答案】D
【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．
【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为，乙为，丙为，则甲与丙相减的差为：；故选：D
4．（2023春·浙江七年级课时练习）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；
D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C
【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．
5．（2022·杭州·七年级专题练习）下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
【答案】A
【分析】将8x2-10x+2进行分解因式得出8x2-10x+2=（4x-1）（2x-2），进而得出答案即可．
【详解】解：8x2-10x+2=2（4x2-5x+1）=2（4x-1）（x-1）=（4x-1）（2x-2），
故多项式8x2-10x+2的因式为（4x-1）与（2x-2），故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，正确将多项式8x2-10x+2分解因式是解题关键．
6．（2023春·山东七年级课时练习）将多项式分解因式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2023·浙江七年级课时练习）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．
8．（2023春·广东七年级课时练习）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【详解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）
将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．
9．（2023春·广西七年级课时练习）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
【答案】A
【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出．
【详解】解：，，，
∴或，当时，围成一个等腰三角形；
当时，不能围成三角形；故选：A．
【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键．
10．（2023春·七年级课时练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
【答案】B
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】解：a2-ab-ac+bc=11，（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，∴a-b＞0，a，b，c是正整数，∴a-b=1或11，a-c=11或1．故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东济南·模拟预测）因式分解∶ ．
【答案】
【分析】本题考查提取公因式，十字相乘法分解因式，先提取公因式，再用式子相乘法分解因式即可．
【详解】解：，故答案为：．
12．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值，是解题关键．据此求解即可．
【详解】因为，，所以．故答案为：
13．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ．
【答案】
【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握进行因式分解是解题的关键．
【详解】，故答案为：．
14．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先分组然后提公因式法因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键．
先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解．
【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）．
∴，故答案为：．
16．（2023九年级·安徽·专题练习）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
17．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ．
【答案】或
【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成和，和，和，和，进而得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：的取值是或，故答案为：或．
18．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？
解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解．
若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查根据方程的解求参数、以及通过列竖式做多项式除法进行因式分解，由题意同理求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题．
【详解】解：（为常数）有一个因式为，
当时，有，
即当时，有，解得，
多项式为，
，故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·河南信阳·期末） 分解因式∶ ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，原式整理后，利用十字相乘法分解，再进一步分解即可，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
【详解】解：
；
20．（22-23七年级下·广东·假期作业）观察下列因式分解的过程：
①
（分成两组）
（直接提取公因式）
；
②
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】解：（1）．
（2）
．
21．（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；(2)因式分解：．
【答案】(1)(2)
【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．
（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先分别将与组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）．
22．（23-24八年级上·河南周口·期末）等式是数学学习中常见的代数模型．
例如：分解因式
《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（左图）
这样，我们也可以得到，请试着将多项式分解因式．
(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式．(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释．
(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【分析】本题考查了多项式乘多项式、整式规律等知识点，根据运算结果发现规律是解本题的关键．（1）直接用多项式乘多项式运算法则计算验证即可；（2）先画出图形，然后用两种方式表示正方形的面积即可解答（3）直接运用即可解答．
【详解】（1）解：根据多项式的乘法：．
（2）解：如图：
大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长×宽；
另一种是四块小长方形面积之和：，
即．
（3）解：∵，∴．
23．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：(1)分解因式：．(2)分解因式：．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，
（1）令，仿照例题解答即可；（2）令，先计算乘法，再因式分解即可．
【详解】（1）解：令，则原式，
∴；
（2）令，则原式.
∴原式.
24．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；②；③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数．
例如：．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可．
【详解】解：（1），，故答案为：；
（2）∵，
∴，，
，，
∴或 或或 ，
整数的值可能是或，故答案为：或；
（3），
．
25．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；(2)分解因式：；(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)的形状是等边三角形，见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，正确进行因式分解．（1）仿照题干信息进行证明即可；（2）利用分组分解法进行分解因式即可；
（3）根据，得出，分解因式得出，即可得出，从而可以判断三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，等式两边同乘以2，
∴，∴，
∵，
∴，∴，∴的形状是等边三角形．
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专题4-4 十字相乘法与分组分解法（补充）
模块1：学习目标
1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式。
2.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
3.掌握因式分解分应用。
模块2：知识梳理
1、十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
2、分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
当一个多项式既不能提公因式，又不能运用公式分解，且这个多项式的项数在4项或4项以上时，可以考虑将这个多项式分组，进行合理的分组之后，则可以找到每一组各自的公因式，再分解。分组分解法的分解原则是：分组之后的每组之间能够再提公因式或能套用公式。
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式。③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
模块3：核心考点与典例
考点1、运用十字相乘法分解因式
例1．（23-24八年级·辽宁·期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
型式子的因式分解型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ①利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得.上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.这样，我们也可以得到.
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知识应用】（2），则_________，_________；
【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值.
变式1. （23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ．
考点2、十字相乘与换元法
例1．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．
变式1. （23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：．
变式2. （23-24八年级上·北京西城·期中）我们有公式：．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．
如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．
例如：；；
；．
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式．
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．
考点3、运用分组分解法分解因式
例1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：（分成两组）（直接提公因式）， 乙：（分成两组）（直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．
变式1. （23-24九年级下·黑龙江绥化·开学考试）因式分解： ．
变式2. （23-24八年级上·山西长治·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：.此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.
任务：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值.
考点4、因式分解的相关应用
例1．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组组内分解因式整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
变式1. （23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
变式2. （23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
考点5、因式分解中的新定义
例1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．（1）“优雅数”50的“优点”为 ；
（2）的“优点”为的“优点”为，若，且，则的值为 ．
变式1. （23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2. （2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1，1；，它有三项，系数分别为1，2，1；，它有四项，系数分别为1，3，3，1；将上述每个式子的各项系数排成该表．观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：①直接写出的展开式， ；②的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；(2)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）因式分解，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A． B．5 C．1 D．
4．（2023春·浙江七年级课时练习）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·杭州·七年级专题练习）下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
6．（2023春·山东七年级课时练习）将多项式分解因式的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江七年级课时练习）把分解因式，正确的分组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·广东七年级课时练习）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2023春·广西七年级课时练习）观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）
A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形
C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形
10．（2023春·七年级课时练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山东济南·模拟预测）因式分解∶ ．
12．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ．
13．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ．
14．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ．
15．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ．
16．（2023九年级·安徽·专题练习）因式分解： ．
17．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ．
18．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？
解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解．
若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·河南信阳·期末） 分解因式∶ ．
20．（22-23七年级下·广东·假期作业）观察下列因式分解的过程：
①
（分成两组）
（直接提取公因式）
；
②
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．
21．（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；(2)因式分解：．
22．（23-24八年级上·河南周口·期末）等式是数学学习中常见的代数模型．
例如：分解因式
《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（左图）
这样，我们也可以得到，请试着将多项式分解因式．
(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式．(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释．
(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
23．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：(1)分解因式：．(2)分解因式：．
24．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；②；③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数．
例如：．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式：．
25．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；(2)分解因式：；(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
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