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专题4-5 因式分解 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023·浙江八年级月考）代数式，，中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把5a2b（b a）变形为 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）变形为 120a3b3（a＋b）（a b），再根据确定公因式的方法确定公因式即可得出答案．
【详解】解：因为5a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代数式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．故选：A．
【点睛】本题主要考查了公因式，熟练应用公因式的概念进行求解是解决本题的关键．
2．（2023·浙江湖州·七年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【详解】A、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是正确掌握因式分解的定义．
3．（2023·河北玉田·）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】首先将 变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题关键是准确找出公因式，将原式分解因式．
4．（2023·安徽蜀山·八年级期末）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】尝试用提公因式或者公式法因式分解的方法分解各选项，即可
【详解】A.B.C选项都不能通过提公因式或者公式法直接因式分解，=，故选D
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟悉完全平方公式是解题的关键．
5．（2023·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【详解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．
【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是应用的前提．
6．（2023·达州·八年级期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】把根据乘法法则计算后与比较即可．
【详解】解：=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，
∵=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，故选B．
【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．
7．（2023·四川古蔺·）若，则的值为（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
【答案】A
【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可．
【详解】解：
∵∴原式故选A
【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了．
8．（2023·四川宜宾市·八年级期末）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据甲看错了的值可以知道，甲的分解结果中的值是正确的，根据乙看错了的值可以知道，乙的分解结果中的值是正确的，据此即可得到、的值，进而得到答案．
【详解】∵甲看错了的值，∴，∴；
∵乙看错了的值，∴，∴，
∴分解因式正确的结果为：，故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．
9．（2023·重庆北碚·西南大学附中八年级开学考试）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【答案】D
【分析】计算x，y的差，利用完全平方公式将a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4转化为，再根据平方的非负性解题．
【详解】解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4）
a2-6ab+9b2-4a+12b+4
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2023·浙江温州·八年级期末）将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35．则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】A
【分析】由题意：按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35，列出方程组，求出3m=7，n=5，即可解决问题．
【详解】依题意，由图1可得，，由图2可得，
即解得或者（舍）时，
则图2中长方形的周长是．故选A．
【点睛】本题考查了利用因式分解解方程，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·四川内江八年级开学考试）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【详解】原式==，故答案是：．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解题的关键．
12．（2023·广东八年级专题练习）已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
【答案】
【分析】设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；
【详解】设另一个因式为，则，
即，，解得，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．
13．（2023·广水市教学研究室）若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为_________．
【答案】或者
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，
即，
，解得：或者，故答案为：或者．
【点睛】此题考查因式分解的定义，完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
14．（2023·全国八年级专题练习）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式正确的是
【答案】、、
【分析】把分别加上各选项的单项式，再按完全平方公式分解因式即可得到答案.
【详解】解：: 是完全平方式；
:是完全平方式；
:是完全平方式；
【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解题的关键.
15．（2023·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】; 22020．
【分析】先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案为；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案为22020．
【点睛】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，会利用因式分解应用计算是解题关键．
16．（2023·江苏金坛·八年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
17．（2023·河南汝州·八年级期末）边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ___．
【答案】490
【分析】根据题意可得： ， ，再将代数式进行因式分解，代入即可求解．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，∴ ， ，
∴ ．故答案为：490．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，根据题意得到 ， 是解题的关键．
18．（2023·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西八年级期中）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；（9）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（2023浙江七年级课时练习）已知，为正整数，且，求，的值．
【答案】
【分析】根据因式分解得到，列出方程组或，计算即可．
【详解】解：∵，
∴或，∴或，
∵，为正整数，∴．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，多项式因式分解，正确掌握因式分解的方法及解二元一次方程组的解法是解题的关键．
21．（2023·浙江七年级期中）利用因式分解计算：（1）
（2） （3）
【答案】（1）5050；（2）564；（3）
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）
=1+24××（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）
=1+564-1=564；
（3）===
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．（2023·湖南涟源·七年级月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底；（x 2）4；（3）（）4
【分析】（1）从第三步的结果得出结论；（2）观察最后结果中的x2 4x＋4是否还能因式分解，得出结论；
（3）设＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．
【详解】解：（1）由y2＋8y＋16＝（y＋4）2得出运用了两数和的完全平方公式，故选：C;
（2）∵x2 4x＋4＝（x 2）2，∴分解不彻底，（x2 4x＋4）2＝[（x 2）2]2＝（x 2）4．
故答案为：不彻底；（x 2）4．
（3）设＝y，
原式＝y（y＋18）＋81＝y2＋18y＋81＝（y＋9）2＝（＋9）2＝[（）2]2＝（）4．
【点睛】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点．
23．（2023·济宁市第十三中学八年级月考）阅读材料，回答下列问题：
若，求，的值．
解：∵，
∴，
即，
又，，
∴，，
∴，．
（1）若，求，的值；
（2）已知的三边，，满足．判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得的值；
（2）方法同（1）．
【详解】（1），
，
即，
又，
，
．
（2），
，
即，
又，
，
，
．
是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
24．（2023·湖南祁阳·七年级期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲 热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲 热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+64（2）x4+4y4；（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
【答案】（1）（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（3）（x﹣b）（x+b﹣2a）
【分析】
（1）根据苏菲 热门的做法，将原式配上16x2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；
（2）根据苏菲 热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；
（3）先分组，再利用提公因式法因式分解．
【详解】解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2
＝（x2+8）2﹣（4x）2
＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；
（2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab）
＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b）
＝（x﹣b）（x+b﹣2a）．
【点睛】考查了添项法凑公式因式分解，用公式法因式分解，分组分解法，掌握因式分解的方法是解题的关键．
25.（2023·湖南天元·） 教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如求代数式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，当x= -1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4m-5=（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）；（2）当，时，最小值为4；（3）当，时，最小值为19．
【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：（1）．
故答案为；
（2），
∴当，时，有最小值，最小值为4；
（3），
当，时，多项式有最小值19．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
26．（2023·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：（1）；（2）．
问题二：探究：对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；（2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究:先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
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专题4-5 因式分解 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023·浙江八年级月考）代数式，，中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江湖州·七年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北玉田·）已知，，则的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
4．（2023·安徽蜀山·八年级期末）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东茌平·七年级期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023·达州·八年级期中）已知多项式分解因式的结果为，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·四川古蔺·）若，则的值为（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
8．（2023·四川宜宾市·八年级期末）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重庆北碚·西南大学附中八年级开学考试）已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
10．（2023·浙江温州·八年级期末）将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35．则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·四川内江八年级开学考试）分解因式：________．
12．（2023·广东八年级专题练习）已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
13．（2023·广水市教学研究室）若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为______．
14．（2023·全国八年级专题练习）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式正确的是
15．（2023·河北安国·八年级期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
16．（2023·江苏金坛·八年级期末）因式分解：__________．
17．（2023·河南汝州·八年级期末）边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ___．
18．（2023·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西八年级期中）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；（9）．
20．（2023浙江七年级课时练习）已知，为正整数，且，求，的值．
21．（2023·浙江七年级期中）利用因式分解计算：（1）
（2） （3）
22．（2023·湖南涟源·七年级月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
23．（2023·济宁市第十三中学八年级月考）阅读材料，回答下列问题：
若，求，的值．
解：∵，
∴，
即，
又，，
∴，，
∴，．
（1）若，求，的值；
（2）已知的三边，，满足．判断的形状，并说明理由．
24．（2023·湖南祁阳·七年级期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲 热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲 热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+64（2）x4+4y4；（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
25.（2023·湖南天元·） 教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如求代数式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，当x= -1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4m-5=（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
26．（2023·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：（1）；（2）．
问题二：探究：对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
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