3.5整式的化简-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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3.5整式的化简 同步分层作业
基础过关
1. 下列运算结果正确的是（　　）
A．6x+5y＝11xy B．（﹣x+y）（x+y）＝y2﹣x2
C．2x2（x2y+1）＝2x4y+1 D．2x2y 3x2y＝5x4y2
2. 下列计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．2m2 3m2＝6m4
C．（﹣x3）4＝﹣x12 D．（a+m）（b+n）＝ab+mn
3. 下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣2n）（m﹣n）＝m2﹣3mn+2n2 B．（m+1）2＝m2﹣1
C．﹣m（m2﹣m﹣1）＝﹣m3+m2﹣m D．（m+n）（m2+mn+n2）＝m3+n2
4. 下列计算中，错误的有（　　）
（1）（3a﹣b）（2a+b）＝3a 2a+（﹣b） b＝6a2﹣b2；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x x+3 （﹣1）＝x2﹣3；
（3）（3x2y）2＝6x4y2；
（4）（x+1）2＝x2+2x+1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 化简2x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是 　 　．
6. 计算：a2 a4+（a3）2﹣（2a2）3＝　 　．
7. 计算（2x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣3x（x﹣4y）的结果为 　 　．
8. （1）计算：2（x﹣y）+3y＝　 　；
（2）计算：6x﹣3（2x+1）＝　 　；
（3）整式3a2﹣b2﹣2ab与﹣b2﹣4ab﹣3a2的差是 　 　．
9. 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）（3a2﹣2b2）（a2+b2）．
10. 小明在化简代数式（x+3）2﹣（x+2）（x﹣3）时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式＝x2+9﹣（x2﹣3x+2x﹣6）………………………………第一步
＝x2+9﹣x2+x+6……………………………………………………第二步
＝x+15……………………………………………………………………第三步
（1）小明的解答过程是从第 　一　步开始出错的．
（2）写出正确的解答过程，再求出当x＝2时，代数式的值．
11. 先化简，再求值：
3（2a﹣b）2﹣3a（4a﹣3b）+（2a+b）（2a﹣b）﹣b（a+b），其中a＝1，b＝2．
能力提升
12. 已知，5x2﹣x﹣1＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
13. 已知x2＝4，|y|＝9，xy＜0，那么x3﹣y＝（　　）
A．﹣17 B．17 C．±1 D．±17
14. 已知实数a，b满足a+b＝4，a2+b2＝10．若y＝（a﹣b）2，则y＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
15. 已知a﹣b＝2，a﹣c＝，则（b﹣c）3﹣3（b﹣c）+的值为（　　）
A． B．0 C． D．﹣
16．若a﹣2＝b+c，则a（a﹣b﹣c）+b（b+c﹣a）﹣c（a﹣b﹣c）的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．8
17. 当y取某一实数值时，代数式（x﹣2y）（2x+y）﹣2（x﹣y）（x+y）﹣2x+3y的值与x的取值无关，则这个y的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．﹣1
18. 若（6x+2）（3﹣x）＝﹣6x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为 　　．
19. 若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b无关，则常数k的值 　　．
20.对于任何实数，我们规定符号的意义＝ad﹣bc，按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1＝0时，的值为 　　．
21.计算：
（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2； （2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．
22.（1）化简：（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）；
（2）设b＝ma，是否存在实数m，使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．
23.已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
24.时代中学九年级的学生人数比八年级学生多．做广播操时，九年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排（3a﹣b）人，站有（3a+2b）排；八年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2（a+b）．
（1）试求该学校九年级比八年级多多少名学生；
（2）当a＝10，b＝2时，试求该学校八年级和九年级一共有多少名学生．
培优拔尖
25. 设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a； ②（a☆b）2＝a2☆b2； ③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c； 其中所有正确推断的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
26. 将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P和阴影部分Q．已知AB＝x cm，AD＝66cm，10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为a cm．
（1）每个小长方形纸片较长一边的长度是 　　cm（用含a的式子表示）；
（2）若图中阴影部分P和阴影部分Q的周长相等．
①试求a的值；
②若将AB的长增加10cm，如图2，此时阴影部分P增加的面积为S1，阴影部分Q增加的面积为S2，求的值．
27.已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）请用含有a、b、m的代数式表示S1﹣S2，并求出当a＝5，b＝1，m＝14时，S1﹣S2的值．
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a、b满足的数量关系．
答案与解析
基础过关
1. 下列运算结果正确的是（　　）
A．6x+5y＝11xy B．（﹣x+y）（x+y）＝y2﹣x2
C．2x2（x2y+1）＝2x4y+1 D．2x2y 3x2y＝5x4y2
【点拨】利用合并同类项的法则，平方差公式，单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、6x与5y不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣x+y）（x+y）＝y2﹣x2，故B符合题意；
C、2x2（x2y+1）＝2x4y+2x2，故C不符合题意；
D、2x2y 3x2y＝6x4y2，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．2m2 3m2＝6m4
C．（﹣x3）4＝﹣x12 D．（a+m）（b+n）＝ab+mn
【点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及多项式乘多项式的法则逐项进行计算即可．
【解析】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故A不符合题意；
B．2m2 3m2＝6m4，故B符合题意；
C．（﹣x3）4＝x12，故C不符合题意；
D．（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及多项式乘多项式，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质，完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则是解答的关键．
3. 下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣2n）（m﹣n）＝m2﹣3mn+2n2 B．（m+1）2＝m2﹣1
C．﹣m（m2﹣m﹣1）＝﹣m3+m2﹣m D．（m+n）（m2+mn+n2）＝m3+n2
【点拨】根据整式的乘法法则逐一判断即可．
【解析】解：A、（m﹣2n）（m﹣n）＝m2﹣mn﹣2mn+2n2＝m2﹣3mn+2n2故正确；
B、（m+1）2＝m2+2m+1故错误；
C、﹣m（m2﹣m﹣1）＝﹣m3+m2+m故错误；
D、（m+n）（m2+mn+n2）＝m3+m2n+mn2+nm2+mn2+n2＝m3+2m2n+2mn2+n3故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的乘法以及乘法公式，熟练运用法则是解题的关键．
4. 下列计算中，错误的有（　　）
（1）（3a﹣b）（2a+b）＝3a 2a+（﹣b） b＝6a2﹣b2；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x x+3 （﹣1）＝x2﹣3；
（3）（3x2y）2＝6x4y2；
（4）（x+1）2＝x2+2x+1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】将（1）（2）（3）（4）分别进行计算，得到计算结果，与题目所给结果进行比较即可．
【解析】解：（1）（3a﹣b）（2a+b）＝3a 2a+3a b﹣2a b﹣b2＝6a2+ab﹣b2≠6a2﹣b2；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x x﹣x+3x﹣3＝x2+2x﹣3≠x2﹣3；
（3）（3x2y）2＝9x4y2≠6x4y2；
（4）（x+1）2＝x2+2x+1．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式，注意在计算中不要漏乘．
5. 化简2x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是 　x2+4　．
【点拨】先根据平方差公式化简，再合并同类项即可．
【解析】解：2x2﹣（x+2）（x﹣2）
＝2x2﹣（x2﹣4）
＝2x2﹣x2+4
＝x2+4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式是解答本题的关键．
6. 计算：a2 a4+（a3）2﹣（2a2）3＝　﹣6a6　．
【点拨】先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．
【解析】解：a2 a4+（a3）2﹣（2a2）3
＝a6+a6﹣8a6
＝﹣6a6，
故答案为：﹣6a6．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7. 计算（2x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣3x（x﹣4y）的结果为 　2y2+16xy　．
【点拨】先计算整式乘法，再合并同类项．
【解析】解：（2x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣3x（x﹣4y）
＝4x2+4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣（3x2﹣12xy）
＝4x2+4xy+y2﹣x2+y2﹣3x2+12xy
＝2y2+16xy．
故答案为：2y2+16xy．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是关键．
8. （1）计算：2（x﹣y）+3y＝　2x+y　；
（2）计算：6x﹣3（2x+1）＝　﹣3　；
（3）整式3a2﹣b2﹣2ab与﹣b2﹣4ab﹣3a2的差是 　6a2+2ab　．
【点拨】根据去括号法则、合并同类项法则计算即可．
【解析】解：（1）2（x﹣y）+3y
＝2x﹣2y+3y
＝2x+y，
故答案为：2x+y；
（2）6x﹣3（2x+1）
＝6x﹣（6x+3）
＝6x﹣6x﹣3
＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（3）（3a2﹣b2﹣2ab）﹣（﹣b2﹣4ab﹣3a2）
＝3a2﹣b2﹣2ab+b2+4ab+3a2
＝6a2+2ab，
故答案为：6a2+2ab．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
9. 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）（3a2﹣2b2）（a2+b2）．
【点拨】（1）先算平方，再根据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可，
（2）根据单项式乘单项式的运算法则先算乘法，再合并同类项即可；
（3）先算乘法，再合并同类项即可求出答案；
（4）用括号中的每一项与另一括号中的每一项分别进行计算，然后合并同类即可．
【解析】解：（1）
＝（12a2b2c） a2b2c4
＝a4b4c5；
（2）
＝2a3b+3a3b﹣a2b﹣3a2
＝5a3b﹣a2b﹣3a2；
（3）
＝8x2﹣20xy+5x2﹣16x2﹣10xy
＝﹣3x2﹣30xy；
（4）（3a2﹣2b2）（a2+b2）
＝3a4+3a2b2﹣2a2b2﹣2b4
＝3a4+a2b2﹣2b4．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
10. 小明在化简代数式（x+3）2﹣（x+2）（x﹣3）时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式＝x2+9﹣（x2﹣3x+2x﹣6）………………………………第一步
＝x2+9﹣x2+x+6……………………………………………………第二步
＝x+15……………………………………………………………………第三步
（1）小明的解答过程是从第 　一　步开始出错的．
（2）写出正确的解答过程，再求出当x＝2时，代数式的值．
【点拨】（1）直接利用乘法公式判断错误原因；
（2）直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则计算，再把已知数据代入得出答案．
【解析】解：（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的；
故答案为：一；
（2）原式＝x2+6x+9﹣（x2﹣3x+2x﹣6）
＝x2+6x+9﹣x2+x+6
＝5x+15，
当x＝2时，
原式＝5×2+15
＝10+15
＝25．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
11. 先化简，再求值：
3（2a﹣b）2﹣3a（4a﹣3b）+（2a+b）（2a﹣b）﹣b（a+b），其中a＝1，b＝2．
【点拨】直接利用乘法公式去括号进而合并同类项，进而计算得出答案．
【解析】解：原式＝3（4a2﹣4ab+b2）﹣12a2+9ab+4a2﹣b2﹣ab﹣b2
＝12a2﹣12ab+3b2﹣12a2+9ab+4a2﹣b2﹣ab﹣b2
＝4a2+b2﹣4ab，
当a＝1，b＝2时，
原式＝4+4﹣8＝0．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键
能力提升
12. 已知，5x2﹣x﹣1＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【点拨】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而将已知变形代入得出答案．
【解析】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）
＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4，
∵5x2﹣x﹣1＝0，
∴5x2﹣x＝1，
∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4
＝2×1﹣4
＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13. 已知x2＝4，|y|＝9，xy＜0，那么x3﹣y＝（　　）
A．﹣17 B．17 C．±1 D．±17
【点拨】利用非负数的性质以及xy＜0，确定x、y的取值，再计算x3﹣y的值并判断．
【解析】解：∵x2＝4，|y|＝9，
∴x＝±2，y＝±9，
∵xy＜0，
∴当x＝2时，y＝﹣9，
此时x3﹣y＝23﹣（﹣9）＝8+9＝17；
当x＝﹣2时，y＝9，
此时x3﹣y＝（﹣2）3﹣9＝﹣8﹣9＝﹣17；
∴x3﹣y＝±17；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质，分情况确定字母的值．
14. 已知实数a，b满足a+b＝4，a2+b2＝10．若y＝（a﹣b）2，则y＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
【点拨】根据完全平方公式进行计算，即可解答．
【解析】解：∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16，
∴a2+2ab+b2＝16，
∵a2+b2＝10，
∴10+2ab＝16，
∴ab＝3，
∴y＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣2×3＝10﹣6＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15. 已知a﹣b＝2，a﹣c＝，则（b﹣c）3﹣3（b﹣c）+的值为（　　）
A． B．0 C． D．﹣
【点拨】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】解：∵a﹣b＝2，a﹣c＝，
∴（a﹣c）﹣（a﹣b）＝b﹣c＝，
∴原式＝（b﹣c）[（b﹣c）2﹣3]+
＝×（﹣3）+
＝+
＝，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
16．若a﹣2＝b+c，则a（a﹣b﹣c）+b（b+c﹣a）﹣c（a﹣b﹣c）的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．8
【点拨】原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式化简后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解析】解：∵a﹣2＝b+c，
∴b+c﹣a＝2，
则原式＝a2﹣ab﹣ac+b2+bc﹣ab﹣ac+bc+c2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc＝（b+c﹣a）2＝4．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. 当y取某一实数值时，代数式（x﹣2y）（2x+y）﹣2（x﹣y）（x+y）﹣2x+3y的值与x的取值无关，则这个y的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．﹣1
【点拨】先算乘法，再合并同类项，变形后得出答案即可．
【解析】解：（x﹣2y）（2x+y）﹣2（x﹣y）（x+y）﹣2x+3y
＝2x2+xy﹣4xy﹣2y2﹣2x2+2y2﹣2x+3y
＝﹣3xy﹣2x+3y
＝x（﹣3y﹣2）+3y，
∵代数式的值与y的取值无关，
∴﹣3y﹣2＝0，解得：y＝，
当y＝时，代数式的值与x的值无关，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18. 若（6x+2）（3﹣x）＝﹣6x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为 　100　．
【点拨】先去括号，再合并同类项，从而求出k，p的值，然后把k，p的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解析】解：∵（6x+2）（3﹣x）＝﹣6x2+kx+p，
∴18x﹣6x2+6﹣2x＝﹣6x2+kx+p，
∴﹣6x2+16x+6＝﹣6x2+kx+p，
∴k＝16，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（16﹣6）2＝102＝100，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19. 若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值与b无关，则常数k的值 　2　．
【点拨】根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项法则把原式化简，根据题意列出方程，解方程求出k．
【解析】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+3ab2+4ka3﹣4a2b
＝（5k﹣3k﹣4）a2b+4ka3，
由题意得：5k﹣3k﹣4＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.对于任何实数，我们规定符号的意义＝ad﹣bc，按照这个规定请你计算：当x2﹣3x+1＝0时，的值为 　1　．
【点拨】根据题意可得（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2），然后先去括号，再合并同类项，最后把x2﹣3x＝﹣1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
＝（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）
＝x2﹣1﹣3x2+6x
＝﹣2x2+6x﹣1，
当x2﹣3x+1＝0时，
x2﹣3x＝﹣1，
∴当x2﹣3x＝﹣1，
原式＝﹣2（x2﹣3x）﹣1
＝﹣2×（﹣1）﹣1
＝2﹣1
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，理解规定符号的意义是解题的关键．
21.计算：
（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；
（2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．
【点拨】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先根据完全平方公式分解因式，再合并即可．
【解析】解：（1）原式＝[x+y+z+（x+y﹣z）][x+y+z﹣（x+y﹣z）]
＝（2x+2y） 2z
＝4xz+4yz；
（2）原式＝[a+2b﹣（a﹣2b）]2
＝（4b）2
＝16b2．
【点睛】此题考查的是平方差公式及完全平方公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
22.（1）化简：（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）；
（2）设b＝ma，是否存在实数m，使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）根据乘法公式以及单项式乘以多项式进行化简即可求解；
（2）根据（1）的结论以及题意得出（5﹣m2）a2＝2a2，即可求解．
【解析】解：（1）（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）
＝a2+4ab+4b2+4a2﹣b2﹣4ab﹣4b2
＝5a2﹣b2；
（2）答：能找到；
∵（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）＝5a2﹣b2，b＝ma，
且5a2﹣（ma）2＝2a2，
即（5﹣m2）a2＝2a2，
∴5﹣m2＝2，
∴．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，乘法公式，求一个数的平方根，正确的计算是解题的关键．
23.已知（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项．
（1）求a的值．
（2）化简：（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1），并在（1）的条件下求值．
【点拨】（1）根据（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，可得a＝3；
（2）化简（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）得4a+5，将a＝3代入即得答案..
【解析】解：（1）∵（x+a）（x﹣3）＝x2+（a﹣3）x﹣3a，且（x+a）（x﹣3）的结果中不含x的一次项，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3；
（2）（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）
＝a2+4a+4﹣（a2﹣1）
＝a2+4a+4﹣a2+1
＝4a+5，
当a＝3时，
原式＝4×3+5
＝17．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握结果中不含x的一次项，即是x一次项系数为0，从而求出a值．
24.时代中学九年级的学生人数比八年级学生多．做广播操时，九年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排（3a﹣b）人，站有（3a+2b）排；八年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2（a+b）．
（1）试求该学校九年级比八年级多多少名学生；
（2）当a＝10，b＝2时，试求该学校八年级和九年级一共有多少名学生．
【点拨】（1）根据题意列出代数式，去括号，合并同类项化简，即可得出答案；
（2）根据题意列出代数式，去括号，合并同类项化简，将a＝10，b＝2代入计算即可得出答案．
【解析】解：（1）（3a﹣b）（3a+2b）﹣[2（a+b）]2
＝9a2+6ab﹣3ab﹣2b2﹣4（a2+2ab+b2）
＝9a2+6ab﹣3ab﹣2b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2
＝（5a2﹣5ab﹣6b2）名，
答：该学校九年级比八年级多（5a2﹣5ab﹣6b2）名学生；
（2）（3a﹣b）（3a+2b）+[2（a+b）]2
＝9a2+6ab﹣3ab﹣2b2+4（a2+2ab+b2）
＝9a2+6ab﹣3ab﹣2b2+4a2+8ab+4b2
＝（13a2+11ab+2b2）名，
当a＝10，b＝2时，
原式＝13×102+11×10×2+2×22
＝1300+220+8
＝1528（名），
答：该学校八年级和九年级一共有1528名学生．
【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，根据题意正确列出代数式是解决问题的关键．
培优拔尖
25. 设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a； ②（a☆b）2＝a2☆b2； ③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c； 其中所有正确推断的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【点拨】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
【解析】解：①a☆b＝（a﹣b）2，b☆a＝（b﹣a）2＝（a﹣b）2，故①正确；
②（a☆b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2☆b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，故②错误；
③（﹣a）☆b＝（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，a☆（﹣b）＝（a+b）2，故③正确；
④a☆（b+c）＝（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，a☆b+a☆c．＝（a﹣b）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
26. 将10个同样的小长方形纸片按如图1所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分也恰被分割为两个长方形，分别记为阴影部分P和阴影部分Q．已知AB＝x cm，AD＝66cm，10个小长方形纸片中每个小长方形较短一边的长度为a cm．
（1）每个小长方形纸片较长一边的长度是 　（66﹣6a）　cm（用含a的式子表示）；
（2）若图中阴影部分P和阴影部分Q的周长相等．
①试求a的值；
②若将AB的长增加10cm，如图2，此时阴影部分P增加的面积为S1，阴影部分Q增加的面积为S2，求的值．
【点拨】（1）利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）①由图知长方形Q的长为（66﹣6a）cm，宽为（x﹣4a）cm，长方形P的长为6a cm，宽为[x﹣（66﹣6a）]＝（x﹣66+6a）cm，根据两个长方形的周长相等列式解答即可；
②先求出图2中长方形Q和P的长和宽，根据S1＝阴影部分P增加后的面积﹣原来的面积，S2＝阴影部分Q增加后的面积﹣原来的面积，然后利用①的结论进行计算即可．
【解析】解：（1）∵AD＝66cm，
∴由图知小长方形的长为（66﹣6a）cm，
故答案为：（66﹣6a）cm；
（2）①∵AB＝x cm，
∴由图知长方形Q的长为（66﹣6a）cm，宽为（x﹣4a）cm；
长方形P的长为6a cm，宽为[x﹣（66﹣6a）]＝（x﹣66+6a）cm，
由题意得：2[（66﹣6a）+（x﹣4a）]＝2[6a+（x﹣66+6a）]，
解得：a＝6；
②∵AB＝（x+10）cm，
∴长方形Q的长为（66﹣6a）cm，宽为（x+10﹣4a）cm，
长方形P的长为6a cm，宽为[（x+10）﹣（66﹣6a）]＝（x﹣56+6a）cm，
∴S1＝6a（x﹣56+6a）﹣6a（x﹣66+6a）＝6a（x﹣56+6a﹣x+66﹣6a）＝60a＝60×6＝360（cm2），
S2＝（66﹣6a）（x+10﹣4a）﹣（66﹣6a）（x﹣4a）＝（66﹣6a）（x+10﹣4a﹣x+4a）＝10（66﹣6a）＝10×（66﹣6×6）＝10×（66﹣36）＝10×30＝300（cm2），
∴＝＝．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的混合运算，掌握用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来是解题关键．
27.已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）请用含有a、b、m的代数式表示S1﹣S2，并求出当a＝5，b＝1，m＝14时，S1﹣S2的值．
（2）若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a、b满足的数量关系．
【点拨】（1）根据图形可得出长方形MNPD的长MD的长MD为m﹣3b，宽MN为a，即可得出S1的面积，长方形BEFG的长EF为m﹣a，宽FG为3b，即可得出S2的面积，继而得出S1﹣S2的表达式，代入计算即可；
（2）根据（1）计算S1﹣S2的值与m的取值无关，即a﹣3b＝0，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵MD＝AD﹣AM＝m﹣3b，MN＝a，
∴S1＝MD MN＝（m﹣3b） a＝ma﹣3ab，
∵EF＝EP﹣FP＝m﹣a，FG＝3b，
∴S2＝EF FG＝（m﹣a） 3b＝3bm﹣3ab，
则S1﹣S2＝ma﹣3ab﹣3bm+3ab
＝ma﹣3bm
＝m（a﹣3b），
当a＝5，b＝1，m＝14时，
S1﹣S2＝14×（5﹣3×1）
＝14×（5﹣3）
＝14×2
＝28；
（2）∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣3b＝0，
即a＝3b，
所以a，b满足的数量关系a＝3b．
【点睛】本题主要考查了列代数式及整式的混合运算，根据题意列出代数式再根据法则进行计算是解决本题的关键．
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