(共26张PPT)
4.1 因式分解
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
情境引入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.了解因式分解的概念。
2.了解因式分解与整式乘法的关系。
情境引入
在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整数的积；在代数中，我们也常常需要把一个多项式转化为几个整式的积。
新知讲解
前面我们学过整式的乘法，例如：
两个整式x和x－y相乘的积是x2－xy， 即x(x－y)= x2－xy；
根据等式的性质，可得x2－xy=x(x－y)；
像这种把多项式x2－xy转化为两个整式x与x－y的积的形式，是一种重要的代数式变形。
新知讲解
思考：观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系
整式的乘法 多项式转化为几个整式的积
a(a+1)=a2+a a2+a=a(a+1)
(a+b)(a－b)=a2－b2 a2－b2=(a+b)(a－b)
(a+1)2 = a2+2a+1 a2+2a+1=(a+1)2
新知讲解
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式.
因式分解
新知讲解
做一做：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）
（2）
（3）
（4）
否
是
是
否
新知讲解
说一说：如何检验因式分解是否正确性？
因式分解和整式的乘法有互逆关系。
因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。
新知讲解
例：检验下列因式分解是否正确。
(1)； (2)
(3)
解：(1)∵ ( )= = 2 2,
∴因式分解 2 2= ( )正确。
(2)∵(2 +1)(2 1)=4 2 1≠2 2 1,
∴因式分解2 2 1=(2 +1)(2 1)不正确
(3)∵( +1)( +2)= 2+2 + +2= 2+3 +2,
∴因式分解 2+3 +2=( +1)( +2)正确
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
课堂练习
2．对于① ，②，从左到右的变形，表述正确的（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
C
课堂练习
3．运用因式分解计算：5.762﹣4.242．
解：5.762﹣4.242
=（5.76+4.24）×（5.76﹣4.24）=10×1.52
=15.2．
课堂练习
4．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
答案：(1)不是因式分解
(2)不是因式分解
(3)是因式分解
(4)不是因式分解
(5)不是因式分解
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5．若多项式可分解为，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
B
课堂练习
【综合实践类作业】
6． (1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；______；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
-3
9
5
解：（3）设另一个因式为，得
，
则，，解得：，，
故另一个因式为，的值为12．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
一、因式分解
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式.
注意事项：左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积。
二、因式分解与整式乘法的关系
因式分解和整式的乘法是互逆关系。
板书设计
课题：4.1 因式分解
教师板演区
学生展示区
一、因式分解
二、因式分解与整式乘法的关系
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．
B．
C．
D．
B
作业布置
2．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
B
课堂练习
3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．
(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；
(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；
(5)x2＋x＝x2(1+)；(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．
解：(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．
作业布置
4．用因式分解进行简便运算：
(1) (2)
解：（1）
（2）
作业布置
选做题：
5．对于下列两个自左向右的变形：甲：，乙：其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解
B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法
D．甲是整式乘法，乙是因式分解
B
作业布置
【综合实践类作业】
6．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
解：∵小明看错了b，∴a正确，
∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，
∵小张看错了a，∴b正确，
∵（x-1）（x-9）=x2-10x+9，∴b=9．
谢谢
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4.1 因式分解 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是因式分解的概念以及因式分解和整式乘法的互逆关系，同时本节课也为后续知识一元二次方程求解方法的学习奠定一定的作用，因此在教材中本节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课有着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。
学习者分析 在此之前，学生已经掌握因数分解，熟悉分配律及逆运算，已经学习了整式乘法的相关知识，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的因难。
教学目标 1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。
教学重点 理解因式分解的概念。
教学难点 认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示情境问题。 在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整数的积；在代数中，我们也常常需要把一个多项式转化为几个整式的积。 学生活动1： 学生认真听教师讲解。活动意图说明： 通过举回顾之前学习的知识，体会“分解”的具体含义，为后续因式分解的概念教学做好铺垫。环节二：探究因式分解的意义 教师活动2： 教师讲解： 前面我们学过整式的乘法，例如： 两个整式x和x－y相乘的积是x2－xy， 即x(x－y)= x2－xy； 根据等式的性质，可得x2－xy=x(x－y)； 像这种把多项式x2－xy转化为两个整式x与x－y的积的形式，是一种重要的代数式变形。 思考：观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系 整式的乘法多项式转化为几个整式的积a(a+1)=a2+aa2+a=a(a+1)(a+b)(a－b)=a2－b2a2－b2=(a+b)(a－b)(a+1)2 = a2+2a+1a2+2a+1=(a+1)2
归纳：因式分解 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式. 做一做：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1） （2） （3） （4） 预设：否，是，是，否学生活动2： 学生认真听老师的讲解 学生认真观察思考，小组讨论交流 在教师的引导下归纳因式分解的概念 学生独立完成，然后小组交流，班内汇报活动意图说明： 通过观察、归纳、辨析等认知活动，认识到从多项式到整式的积的形式的合理性，初步形成因式分解的概念。通过做一做来巩固概念，结合因式分解的概念，了解因式分解的本质（和差化积），利用因式分解的形式特征，学会判断某种变形是否为因式分解。环节三： 理解因式分解与整式乘法的关系教师活动3： 说一说：如何检验因式分解是否正确性？ 预设：因式分解和整式的乘法有互逆关系。 因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。 例：检验下列因式分解是否正确。 (1)； (2) (3) 解：(1)∵ ( )= = 2 2, ∴因式分解 2 2= ( )正确。 (2)∵(2 +1)(2 1)=4 2 1≠2 2 1, ∴因式分解2 2 1=(2 +1)(2 1)不正确 (3)∵( +1)( +2)= 2+2 + +2= 2+3 +2, ∴因式分解 2+3 +2=( +1)( +2)正确.学生活动3： 学生讨论交流 三名学生板演，其他学生独立完成，交流后认真听老师的点评活动意图说明： 体会因式分解和整式的乘法是一种互逆变形，所以可以用整式乘法来检验因式分解是否正确。
板书设计 课题：4.1 因式分解 一、因式分解 二、因式分解与整式乘法的关系
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．对于① ，②，从左到右的变形，表述正确的（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 答案：C 3．运用因式分解计算：5.762﹣4.242． 解：5.762﹣4.242=（5.76+4.24）×（5.76﹣4.24）=10×1.52=15.2． 4．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 答案：(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 选做题： 5．若多项式可分解为，则a的值为（ ） A． B．2 C． D． 答案：B 【综合实践类作业】 6．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 解：（1）， ， 解得：； 故答案为：； （2）， ， ； 故答案为：9，5； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（ ） A． B． C．1 D．2 答案：B 3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 解：(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． 4．用因式分解进行简便运算： (1) (2) 解：（1） （2） 选做题： 5．对于下列两个自左向右的变形：甲：，乙：其中说法正确的是（ ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 答案：B 【综合实践类作业】 6．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 解：∵小明看错了b， ∴a正确， ∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， ∵小张看错了a， ∴b正确， ∵（x-1）（x-9）=x2-10x+9， ∴b=9．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 一、因式分解 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式. 注意事项：左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积。 二、因式分解与整式乘法的关系 因式分解和整式的乘法是互逆关系。
教学反思 本节课是第四章《因式分解》第一节，是在学生学习了整式乘法的基础上学习的，因式分解是整式乘法的的逆运算，因此，因式分解与整式乘法运算有密切的联系，是代数式的一种重要恒等变形。在教学中，以整式乘法的知识为基础，体会“分解”的具体含义和“互逆”形态的存在，使学生更好地了解因式分解的概念及因式分解和整式乘法的互逆关系，很好地完成了本课的教学内容。因式分解对于化归能力、逆向思维的能力的培养都起到一定的作用，在代数运算、逆向思维品质培养形成也有着较重要作用。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生在学习因式分解前，已经具备的整数分解知识，熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，为学习分解因式打下了良好根底。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底。所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点，学生在七年级下册第三章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识，对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等将是又一个难点。
单元目标 （一）教学目标 本章的总目标是经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。 2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次）分解因式〔指数是正整数）。 3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。 4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养. （二）教学重点、难点 通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进行因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的能力。 重点： 1.因式分解的概念和方法。 2.能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进行因式分解。 难点： 1.综合运用若干种方法分解因式。 2.分解因式要分解的彻底以及灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。了解因式分解的意义；了解因式分解与整式乘法的互逆关系。在经历因式分解的过程中主动探究，能够发现因式分解与整式乘法的互逆关系。4.2提取公因式法1.会用提取公因式法分解因式。 2.理解添括号法则。掌握用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。通过积极探究提取公因式法分解因式的过程，掌握并正确运用这种方法对多项式进行因式分解，并发现添括号法则。4.3用乘法公式分解因式1.会用平方差公式分解因式。 2.了解因式分解的思考步骤。掌握用平方差公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用平方差公式进行因式分解。1.会用完全平方公式分解因式。 2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。掌握用完全平方公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用完全平方公式进行因式分解。
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