第4章 因式分解 单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第4章 因式分解 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．a2b+ab2＝ab（a+b） B．x2+2x+3＝x（x+2）+3
C．（a﹣b）（m﹣n）＝（b﹣a）（n﹣m） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
2．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
3．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　）
A．b2﹣a2 B．x2﹣4x C．x2+4x+1 D．﹣x2﹣1
4．因式分解：mx2﹣4m＝（　　）
A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2） C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）
5．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2）
C．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y） D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
6．若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（　　）
A．1 B． C． D．9
7．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
8．甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么b﹣a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．2
9．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（　　）
A．15 B．30 C．60 D．78
10．计算：（﹣2）200+（﹣2）201所得的结果是（　　）
A．2200 B．﹣1 C．﹣2200 D．﹣2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．多项式﹣6x2y+12xy2﹣3xy提公因式﹣3xy后，另一个因式为 　 　．
12．分解因式：3﹣3a2＝　 　．
13．分解因式：2x2+12x+18＝　 　．
14．因式分解：m2（a﹣2）+（2﹣a）＝　 　．
15．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m＝　 　．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 　 　（写出一个即可）．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．分解因式
（1）x2y﹣36y； （2）mn2+6mn+9m．
18．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c； （2）3x2﹣12xy+12y2； （3）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（4）﹣x4+y4； （5）9a2（x+2y）﹣x﹣2y．
19．利用因式分解简便计算：
（1）3×852﹣3×152； （2）20222﹣2022×4046+20232．
20．给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．
（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．
21．两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1）．
（1）求原多项式ax2+bx+c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值．
（2）将原多项式分解因式．
22．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①42﹣22＝4×3；
②62﹣42＝4×5；
③82﹣62＝4×7；
④　 　；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
23．阅读理解：
（1）计算后填空：
①（x+1）（x+2）＝　 　；
②（x+3）（x﹣1）＝　 　；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+（　 　）x+（　 　）；
（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x﹣3）（x+m）＝　 　；
（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解（两小题中任选1小题作答即可）：
①x2﹣5x+6＝　 　；
②x2﹣3x﹣10＝　 　．
24．我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即＝100x+10y+z．
（1）说明一定是111的倍数；
（2）①写出一组a，b，c的取值，使能被7整除，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　，
c＝　 　；
②若能被7整除，则a，b，c三个数必须满足的数量关系是 　 　．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．a2b+ab2＝ab（a+b） B．x2+2x+3＝x（x+2）+3
C．（a﹣b）（m﹣n）＝（b﹣a）（n﹣m） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【思路点拨】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
2．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
【思路点拨】确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可．
【解析】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab，
故选：D．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．
3．下列各式中，能运用“公式法”进行因式分解的是（　　）
A．b2﹣a2 B．x2﹣4x C．x2+4x+1 D．﹣x2﹣1
【思路点拨】将各式因式分解后进行判断即可．
【解析】解：b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），则A符合题意；
x2﹣4x＝x（x﹣4），则B不符合题意；
x2+4x+1无法因式分解，则C不符合题意；
﹣x2﹣1无法因式分解，则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．因式分解：mx2﹣4m＝（　　）
A．m（x2﹣4） B．m（x+2）（x﹣2） C．mx（x﹣4） D．m（x+4）（x﹣4）
【思路点拨】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
【解析】解：原式＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）；
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
5．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2）
C．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y） D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
【思路点拨】根据因式分解的概念，利用提公因式法、公式法等，逐项分析判断即可．
【解析】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），原计算错误，不符合题意；
B．x2y﹣2xy＝xy（x﹣2），正确，符合题意；
C．4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），原计算错误，不符合题意；
D．x2﹣2x+4，不能再分解，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键．
6．若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（　　）
A．1 B． C． D．9
【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解析】解：∵a+b＝3，a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝3×＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
7．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【思路点拨】利用完全平方公式可得结论．
【解析】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2，
∴k＝±12．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
8．甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么b﹣a的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．2
【思路点拨】根据“甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4）”可求出b、a的值，再代入计算即可．
【解析】解：甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，
由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
因此b的值是正确的，即b＝6×（﹣2）＝﹣12；
由于乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
因此a的值是正确的，即a＝﹣8+4＝﹣4，
所以b﹣a＝﹣12﹣（﹣4）＝﹣8，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
9．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（　　）
A．15 B．30 C．60 D．78
【思路点拨】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
10．计算：（﹣2）200+（﹣2）201所得的结果是（　　）
A．2200 B．﹣1 C．﹣2200 D．﹣2
【思路点拨】根据提取公因式即可求出答案．
【解析】解：原式＝（﹣2）200×（1﹣2）＝﹣2200，
故选：C．
【点睛】本题考查提取公因式法，属于基础题型．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．多项式﹣6x2y+12xy2﹣3xy提公因式﹣3xy后，另一个因式为 　2x﹣4y+1　．
【思路点拨】找出多项式的公因式﹣3xy，提取公因式即可得到结果．
【解析】解：﹣6x2y+12xy2﹣3xy＝﹣3xy（2x﹣4y+1），
则多项式﹣6x2y+12xy2﹣3xy提公因式﹣3xy后，另一个因式为2x﹣4y+1．
故答案为：2x﹣4y+1．
【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出公因式是解本题的关键．
12．分解因式：3﹣3a2＝　3（1﹣a）（1+a）　．
【思路点拨】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解．
【解析】解：原式＝3（1﹣a2）
＝3（1﹣a）（1+a）．
【点睛】本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．分解因式：2x2+12x+18＝　2（x+3）2　．
【思路点拨】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解析】解：2x2+12x+18
＝2（x2+6x+9）
＝2（x+3）2．
故答案为：2（x+3）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．因式分解：m2（a﹣2）+（2﹣a）＝　（a﹣2）（m+1）（m﹣1）　．
【思路点拨】首先提公因式a﹣2，再利用平方差进行二次分解即可．
【解析】解：原式＝m2（a﹣2）﹣（a﹣2）
＝（a﹣2）（m2﹣1）
＝（a﹣2）（m+1）（m﹣1），
故答案为：（a﹣2）（m+1）（m﹣1）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m＝　6　．
【思路点拨】根据十字相乘法可确定n的值，进而得到m的值．
【解析】解：由于多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），
所以n＝1，
当n＝1时，（x+5）（x+n）＝（x+5）（x+1）＝x2+6x+5，
所以m＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是解决问题的关键．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 　113927（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【思路点拨】把所给式子提公因式x后．继续用平方差公式进行因式分解，算出各个因式的值，任选一组当密码即可．
【解析】解：9x3﹣xy2
＝x（9x2﹣y2）
＝x（3x+y）（3x﹣y）．
当x＝11，y＝6时，
各个因式的值是：x＝11，3x+y＝39，3x﹣y＝27．
用上述方法产生的密码是：113927或112739或391127或392711或273911或271139．
故答案为：113927（答案不唯一）．
【点睛】本题考查因式分解的应用．把所给多项式进行因式分解时分解到底是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．分解因式
（1）x2y﹣36y； （2）mn2+6mn+9m．
【思路点拨】（1）先提取公因式y，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解析】解：（1）x2y﹣36y
＝y（x2﹣36）
＝y（x+6）（x﹣6）；
（2）mn2+6mn+9m
＝m（n2+6n+9）
＝m（n+3）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解答本题的关键是明确一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（4）﹣x4+y4；
（5）9a2（x+2y）﹣x﹣2y．
【思路点拨】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式分解即可；
（5）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2；
（3）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（4）原式＝（x2+y2）（﹣x2+y2）
＝（x2+y2）（x+y）（﹣x+y）；
（5）原式＝9a2（x+2y）﹣（x+2y）
＝（x+2y）（9a2﹣1）
＝（x+2y）（3a+1）（3a﹣1）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．利用因式分解简便计算：
（1）3×852﹣3×152； （2）20222﹣2022×4046+20232．
【思路点拨】（1）先提取公因数3，然后利用平方差公式进行分解因式，最后按照混合运算法则进行计算即可；
（2）先把4046写成2×2023的形式，然后利用完全平方差公式分解因式，最后进行运算即可．
【解析】解：（1）原式＝3×（852﹣152）
＝3×（85+15）×（85﹣15）
＝3×100×70
＝21000；
（2）原式＝20222﹣2×2022×2023+20232
＝（2022﹣2023）2
＝（﹣1）2
＝1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式分解因式．
20．给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．
（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．
【思路点拨】（1）选择①③，相加得a2+4ab+4b2然后运用公式法因式分解即可；
（2）将a＝4，b＝﹣7代入（1）计算即可．
【解析】解：（1）选择①③（答案不唯一），
a2+3ab﹣2b2+ab+6b2．
＝a2+4ab+4b2
＝（a+2b）2；
（2）当a＝4，b＝﹣7，
原式＝（4﹣14）2＝100．
【点睛】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．两位同学将一个二次三项式ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1）．
（1）求原多项式ax2+bx+c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值．
（2）将原多项式分解因式．
【思路点拨】（1）根据题意分别进行计算即可；
（2）再根据十字相乘法进行因式分解即可．
【解析】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4，而一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣4），
∴a＝1，c＝4，
又∵（x﹣5）（x+1）＝x2﹣4x﹣5，而另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣5）（x+1），
∴a＝1，b＝﹣4，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝4；
（2）原多项式为x2﹣4x+4，
所以x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法、完全平方公式是正确解答的前提．
22．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①42﹣22＝4×3；
②62﹣42＝4×5；
③82﹣62＝4×7；
④　102﹣82＝4×9　；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
【思路点拨】（1）根据已知算式写出即可；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）这两个偶数为2n和2n+2，利用平方差公式计算得出答案．
【解析】解：（1）由题意得：102﹣82＝4×9；
故答案为：102﹣82＝4×9；
（2）（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1）．
∵n为正整数，
∴2n+1为正整数，
∴若两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）是；理由：
设两个连续的正奇数为2m﹣1，2m+1（m为正数）．
（2m+1）2﹣（2m﹣1）2
＝[（2m+1）﹣（2m﹣1）][（2m+1）+（2m﹣1）]
＝2×4m
＝8m．
∵m为正整数，
∴两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
23．阅读理解：
（1）计算后填空：
①（x+1）（x+2）＝　x2+3x+2　；
②（x+3）（x﹣1）＝　x2+2x﹣3　；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+（　a+b　）x+（　ab　）；
（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x﹣3）（x+m）＝　x2+（m﹣3）x﹣3m　；
（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解（两小题中任选1小题作答即可）：
①x2﹣5x+6＝　（x﹣2）（x﹣3）　；
②x2﹣3x﹣10＝　（x﹣5）（x+2）　．
【思路点拨】利用多项式乘以多项式，计算出（1）①②，根据计算结果归纳出（2），得到（3），逆运用归纳结论作出（4）①②．
【解析】解：（1）①（x+1）（x+2）＝x2+3x+2；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）（x+a）（x+b）＝x2+（ a+b）x+（ ab）；
（3）（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m；
（4）①x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
②x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．
故答案为：（1）①x2+3x+2②x2+2x﹣3；
（2）a+b，ab；
（3）x2+（m﹣3）x﹣3m；
（4）①（x﹣2）（x﹣3），②（x﹣5）（x+2）．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式．形如（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，反过来多项式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
24．我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即＝100x+10y+z．
（1）说明一定是111的倍数；
（2）①写出一组a，b，c的取值，使能被7整除，这组值可以是a＝　1　，b＝　2　，
c＝　4　；
②若能被7整除，则a，b，c三个数必须满足的数量关系是 　a+b+c＝7或14或21　．
【思路点拨】（1）根据十进制计数法求出，再分解因式即可求解；
（2）①根据能被7整除的定义即可求解；
②表示，再根据能被7整除，找到a，b，c三个数必须满足的数量关系．
【解析】解：（1）一定是111的倍数，理由如下：
＝100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b
＝111a+111b+111c
＝111（a+b+c），
故一定是111的倍数；
（2）①∵一组a，b，c的取值，使能被7整除，
又1≤a，b，c≤9，a，b，c均为正整数，1+2+4＝7，
∴这组值可以是a＝1，b＝2，c＝4．
故答案为：1，2，4（答案不唯一）；
②∵＝111（a+b+c），
又∵能被7整除，
∵111不能被7整除，
∴a+b+c能被7整除，即a+b+c是7的倍数，
∵0＜a+b+c＜9+9+9＝27，
∴a，b，c三个数必须满足的数量关系是a+b+c＝7或14或21．
故答案为：a+b+c＝7或14或21．
【点睛】本题考查因式分解的应用，用熟练掌握十进制计数法是求解本题的关键．
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