浙教版七年级下册 第四章 因式分解 练习（含解析）

浙教版第四章因式分解练习
一、选择题
1．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　）
A．a-(b-c)=a-b+c B．a-b-c=a-(b+c)
C．(a+1)-(-b+c)=-1+b-a+c D．a-b+c-d=a-(b+d-c)
3．多项式 与多项式 的公因式为（　　）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
4．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （　　）
A． B． C． D．
5．已知a-b=2，则a2-b2-4b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．计算：101×1022-101×982=（　　）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
7．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．无论x，y取何实数，代数式x2-4x+y2-6y+13的值总是（　　）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
9．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
10．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题
11．若多项式 能因式分解为（x+2）（x-3），则m+n的值为　 　.
12．计算10n+2-8×10n+1-19×10n的值为　 　.
13．若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m＝　 　．
14．如图，边长分别为a，b的两个正方形并排放在一起，当a+b=16，ab=60时，阴影部分的面积为　 　.
15．若，且，则代数式的值为　 　．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是　 　(写出一个即可).
三、解答题
17．现有三个多项式： a2+a-4， a2+5a+4， a2-a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
18．已知(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)可因式分解成(ax+b)(11x+c)，其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值.
19．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
20．已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
21．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
（1）用“分组分解法”因式分解：
①.
②.
（2）若a，b都是正整数且满足，求的值.
22．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
B、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
C、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
D、该等式的变形是因式分解，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，据此逐项分析即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、a-(b-c)=a-b+c，此选项正确，故不符合题意；
B、 a-b-c=a-(b+c) ，此选项正确，故不符合题意；
C、 (a+1)-(-b+c)=a+1+b-c=1+b+a-c ，此选项错误，故符合题意；
D、 a-b+c-d=a-(b+d-c) ，此选项正确，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 利用去括号法则“括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号”或添括号法则“括号前面是负号，括到括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，括到括号里的每一项都不变号”分别将各项变形，再判断即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
【分析】先将第一个多项式利用平方差公式进行因式分解，再将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，从而再找出相同因式即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解： =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
【分析】观察可得多项式各项的公因式为(a-b)，从而用多项式的各项分别除以公因式(a-b)，将各项剩下的商写在一起就得到另一个因式.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a-b=2，
∴原式=（a+b）（a-b）-4b
=2（a+b）-4b=2a+2b-4b=2a-2b=2（a-b）=2×2=4.
故答案为：B
【分析】将原式转化为（a+b）（a-b）-4b，再整体代入，然后将代数式转化为2（a-b），整体代入求值即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：原式=101×（1022-982）=101×（102+98 ）×（102-98） =101×200×4=80800.
故答案为：D.
【分析】观察可知，两项含有公因数101，先提取公因数，再利用平方差公式进行计算，可求出结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2-4x+y2-6y+13 = x2-4x+4+y2-6y+9=(x-2)2+(y-3)2，
而(x-2)2≥0，(y-3)2≥0，
∴(x-2)2+(y-3)2≥0，
即无论x，y取何实数，代数式x2-4x+y2-6y+13的值总是非负数.
故答案为：A.
【分析】先利用拆项及完全平方公式将代数式变形为(x-2)2+(y-3)2，进而根据偶数次幂的非负性，可得答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
10．【答案】B
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
11．【答案】-5
【解析】【解答】解：由题意得，
得：，
∴.
故答案为：-5.
【分析】，对应系数相等，可得，代入，即可求解.
12．【答案】10n
【解析】【解答】解：10n+2-8×10n+1-19×10n
=10n×102-8×10n×10-19×10n
=10n×（102-8×10-19）
=10n×（100-80-19）
=10n.
故答案为：10n.
【分析】将原式整理可提取公因式10n，整理计算解求解.
13．【答案】±16
14．【答案】38
【解析】【解答】解： 阴影部分的面积为：
将a+b=16，ab=60代入得：.
故答案为：38.
【分析】根据阴影部分的面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积-两个无色直角三角形的面积列式，再通过提取公因式和完全平方公式变形，最后将a+b=16，ab=60代入计算即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
16．【答案】104020，102040等写出一个即可
【解析】【解答】
9x-x3y2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
17．【答案】解：①（ a2+a-4）+（ a2+5a+4）= a2+a-4+ a2+5a+4=a2+16a=a（a+6）；
②（ a2+a-4）+（ a2-a）= a2+a-4+ a2-a=a2-4=（a+2）（a-2）；
③（ a2+5a+4）+（ a2-a）= a2+5a+4+ a2-a=a2+4a+4=（a+2） 。
【解析】【分析】先把多项式进行化简，再运用提公因式法、平方差公式、完全平方式进行因式分解。
18．【答案】解：∵ (10x-11)(11x-7)-3x(7-11x)
= (10x-11)(11x-7)+3x(11x-7)
=(13x-11)(11x-7)
= (ax+b)(11x+c) ，
∴a=13，b=-11，c=-7，
∴ a+b+c=13-11-7=-5.
【解析】【分析】由于(10x-11)(11x-7)-3x(7-11x) =(13x-11)(11x-7)= (ax+b)(11x+c) ，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，然后代入计算即可.
19．【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
20．【答案】解：由②，得 ，
【解析】【分析】先对第二个二元一次方程进行化简得出 ，然后对原式利用平方差公式进行因式分解，最后代值计算，即可得出结果.
21．【答案】（1）解：①x2-y2+x+y
=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)
=(x+y)(x-y+1) ；
②ab-a-b+1
=(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(b-1)(a-1)；
（2）解：∵ab-a-b-6=0，
∴ab-a-b+1-1-6=0，
∴(ab-a)-(b-1)-7=0，
∴a(b-1)-(b-1)-7=0，
∴(b-1)(a-1)=7，
∵a、b都是正整数，
∴或，
∴或，
当a=2，b=8时，2a+b=12；
当a=8，b=2时，2a+b=18，
综上2a+b的值为12或18.
【解析】【分析】（1）①分别将第一、二项，第三、四项结合，第一组利用平方差公式分解因式后组间再利用提取公因式法分解即可；
②分别将第一、二项，第三、四项结合，连续两次提取公因式便可达到分解因式的目的；
（2）通过配方法及分组分解法把原方程化成两个因式的积等于一个常数的形式，再根据整数的性质求解即可.
22．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
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