专题4.2 因式分解章末测试卷（拔尖卷）（含解析）

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因式分解章末测试卷（拔尖卷）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 龙港区期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
2．（3分）（2023秋 广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（　　）
A．an﹣1 B．2an C．2an﹣1 D．2an+1
3．（3分）（2023春 婺城区校级期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
4．（3分）（2023春 武侯区校级期中）如图，矩形的长、宽分别为a，b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（　　）
A．120 B．128 C．240 D．250
5．（3分）（2023秋 邓州市期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
6．（3分）（2023秋 安居区期末）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）
7．（3分）（2023春 莲池区期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则4x3﹣8x2﹣4x+2023的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2022 D．2023
8．（3分）（2023春 镇海区校级期中）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝13，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣13 C．1 D．1或13
9．（3分）（2023秋 招远市期中）由图得到的等式中正确的有（　　）
①a2+b2+2ab＝（a+b）2；
②a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2；
③b2+c2+2bc＝（b+c）2；
④b2+c2+ab+bc+ac＝（a+b+c）（b+c）；
⑤（a+b+c）2﹣（b+c）2＝a2+2ab+2ac；
⑥（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+ab+bc+ac；
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
10．（3分）（2023秋 交城县期末）224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 浦东新区校级期中）因式分解：81x4﹣1＝　 　．
12．（3分）（2023春 萍乡期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　．
13．（3分）（2023秋 常宁市期末）计算：40372﹣8072×2019＝　 　．
14．（3分）（2023春 高州市期中）若多项式mx2﹣5x+2有一个因式为（x﹣1），那么m＝　 　．
15．（3分）（2023春 宜兴市期中）已知a2019，b2022，c2023，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 　 　．
16．（3分）（2023春 桂平市期中）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋 怀安县期末）因式分解：
（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
18．（6分）（2023求 浦东新区期末）因式分解
（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；
（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．
19．（8分）（2023春 桂平市期中）阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；
（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
20．（8分）（2023秋 淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
21．（8分）（2023秋 莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝　 　；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　 　；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 　（结果用乘方表示）．
22．（8分）（2023秋 望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
23．（8分）（2023秋 松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 　 　；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 　 　；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
因式分解章末测试卷（拔尖卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 龙港区期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
2．（3分）（2023秋 广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（　　）
A．an﹣1 B．2an C．2an﹣1 D．2an+1
【分析】根据多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式，可得答案．
【解答】解：因为2an﹣1﹣4an+1＝2an﹣1（1﹣2a2），
所以2an﹣1﹣4an+1的公因式是2an﹣1，即M＝2an﹣1，
故选：C．
3．（3分）（2023春 婺城区校级期末）多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】根据题意列出关系式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值．
【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）＝（x+2）（2x﹣3）＝（x+m）（2x+n），
可得m＝2，n＝﹣3，
则m﹣n＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
故选：C．
4．（3分）（2023春 武侯区校级期中）如图，矩形的长、宽分别为a，b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（　　）
A．120 B．128 C．240 D．250
【分析】先根据矩形的周长和面积求出a+b、ab的值，再分解多项式，最后代入求值．
【解答】解：∵矩形的周长为16，面积为15，
∴a+b＝8，ab＝15．
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝15×8
＝120．
故选：A．
5．（3分）（2023秋 邓州市期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．
【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）
＝3（x2﹣1）（a﹣b）
＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），
∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，
故选：C．
6．（3分）（2023秋 安居区期末）因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）
＝x2﹣6x+2x﹣12
＝x2﹣4x﹣12，
（x+8）（x﹣4）
＝x2﹣4x+8x﹣32
＝x2+4x﹣32，
∵因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），
∴n＝﹣12，m＝4，
∴x2+mx+n
＝x2+4x﹣12
＝（x+6）（x﹣2），
故选：C．
7．（3分）（2023春 莲池区期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则4x3﹣8x2﹣4x+2023的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2022 D．2023
【分析】由已知条件x2﹣2x﹣1＝0，给等式两边同时乘以x，则可得x3﹣2x2﹣x＝0，原式因式分解可得4（x3﹣2x2﹣x）+2023，代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x3﹣2x2﹣x＝0，
∴4x3﹣8x2﹣4x+2023＝4（x3﹣2x2﹣x）+2023＝4×0+2023＝2023．
故选：D．
8．（3分）（2023春 镇海区校级期中）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝13，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣13 C．1 D．1或13
【分析】根据因式分解的分组分解法，a2﹣ab﹣ac+bc＝（a﹣b）（a﹣c）＝13，再根据a，b，c是正整数，a＞b，可得出（a﹣c）的值．
【解答】解：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝13，
∴（a2﹣ac）+（﹣ab+bc）＝13，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝13，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝13，
∵a，b，c是正整数，a＞b，
∴a﹣b＝1或13，a﹣c＝13或1，
故选：D．
9．（3分）（2023秋 招远市期中）由图得到的等式中正确的有（　　）
①a2+b2+2ab＝（a+b）2；
②a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2；
③b2+c2+2bc＝（b+c）2；
④b2+c2+ab+bc+ac＝（a+b+c）（b+c）；
⑤（a+b+c）2﹣（b+c）2＝a2+2ab+2ac；
⑥（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+ab+bc+ac；
⑦a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2．
A．①②④⑤ B．①③④⑤⑦ C．①③⑤⑦ D．①②③⑥⑦
【分析】通过等面积法验证恒等式．
【解答】解：由图知：两个边长分别是a，b的正方形，两个长为a，宽是b的长方形拼成一个边长为（a+b）的长方形．
∴a2+b2+2ab＝（a+b）2．
故可以得到①．
∵图中没有边长为（a﹣b）的长方形或正方形．
∴不能得到②．
由图知：两个边长分别是b，c的正方形，两个长为b，宽是c的长方形拼成一个边长为（b+c）的长方形．
∴b2+c2+2bc＝（b+c）2．
故可以得到③．
∵（a+b+c）（b+c）＝ab+ac+b2+bc+bc+c2＝b2+c2+ab+2bc+ac≠b2+c2+ab+bc+ac．
∴不能得到④．
综上可以排除A，B，D三个选项，
故选：C．
10．（3分）（2023秋 交城县期末）224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）
A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65
【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数．
【解答】解：224﹣1
＝（212﹣1）（212+1）
＝（26﹣1）（26+1）（212+1）
＝63×65×（212+1），
则这两个数为63与65．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋 浦东新区校级期中）因式分解：81x4﹣1＝　（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）　．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（9x2+1）（9x2﹣1）
＝（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1），
故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）．
12．（3分）（2023春 萍乡期末）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　﹣1　．
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．（3分）（2023秋 常宁市期末）计算：40372﹣8072×2019＝　1　．
【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．
【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
14．（3分）（2023春 高州市期中）若多项式mx2﹣5x+2有一个因式为（x﹣1），那么m＝　3　．
【分析】由多项式mx2﹣5x+2有一个因式为（x﹣1），即把x＝1代入方程mx2﹣5x+2＝0可得m的值．
【解答】解：∵多项式mx2﹣5x+2有一个因式为（x﹣1），
∴x＝1是方程mx2﹣5x+2＝0的解，
即m﹣5+2＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
15．（3分）（2023春 宜兴市期中）已知a2019，b2022，c2023，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 　6　．
【分析】利用完全平方公式因式分解可得2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2，即可求解．
【解答】解：∵a2019，b2022，c2023，
∴b﹣a＝1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，
故答案为：6．
16．（3分）（2023春 桂平市期中）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是 　28　．
【分析】原式利用完全平方公式化简，结合整理后将已知等式代入，利用（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz变形，根据非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2
＝4x2﹣4xy+y2+4y2﹣4yz+z2+4z2﹣4xz+x2
＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）
＝20﹣4（xy+yz+xz）
＝20﹣2（2xy+2yz+2xz）
＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]
20﹣2[（x+y+z）2﹣4]
＝28﹣2（x+y+z）2≤28，
则原式的最大值为28．
故答案为：28．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋 怀安县期末）因式分解：
（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）用提取公因式法分解因式；
（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）
＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]
＝2x（a﹣b），
（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
18．（6分）（2023求 浦东新区期末）因式分解
（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；
（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．
【分析】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；
（2）利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）
＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）
＝（x﹣3）（5x﹣2y）；
（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）
＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]
＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．
19．（8分）（2023春 桂平市期中）阅读材料：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27；
（2）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
【分析】（1）把﹣27化为9﹣36，然后利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）先把原式化为xn2+n，然后利用完全平方公式与平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣36
＝（x﹣3）2﹣62
＝（x+3）（x﹣9）；
（2）原式＝xn2+n
＝（x﹣n）
＝（x﹣n）（x﹣n）
＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）．
20．（8分）（2023秋 淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
21．（8分）（2023秋 莱西市期中）问题提出：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．
问题探究：
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
（1）1+a+a（1+a）
＝（1+a）+a（1+a）
＝（1+a）（1+a）
＝（1+a）2
（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，
1+a+a（1+a）+a（1+a）2
＝（1+a）2+a（1+a）2
＝（1+a）2（1+a）
＝（1+a）3
（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；
（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝　（1+a）5　；
发现规律：
1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　（1+a）n+1　；
问题解决：
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　（1+3）7　（结果用乘方表示）．
【分析】（3）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（4）通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
发现规律：是根据（2）（3）（4）的结果写出结论；
问题解决：通过前面（2）的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【解答】解：（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（4）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
22．（8分）（2023秋 望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
【分析】（1）①模仿例题利用分组法进行因式分解即可；
②利用①题结论进行讨论计算；
（2）由题意得ab＝a+b+1，然后将整式M进行配方部分因式分解就能求得此题结果．
【解答】解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4
＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）
＝（b﹣2）（a﹣2）；
②∵ab﹣2a﹣2b﹣4
＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8
＝0，
由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，
∵a，b（a＞b）都是正整数，
∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都为整数，
可得，或或或
解得，或，或（不合题意，舍去），或（不合题意，舍去），
∴当a＝10，b＝3时，
2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，
当a＝6，b＝4时，
2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，
∴2a+b的值为23或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，
ab＝a+b+1，
∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b
＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3
＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，
∴整式M的最小值是﹣10．
23．（8分）（2023秋 松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 　（a+2b）（2a+b）　；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 　51　；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
【分析】（1）按照整体思想和分割思想利用面积法分析求解；
（2）①利用整体思想代入求值；
②利用平移思想分析求解．
【解答】解：（1）如图，
∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，
∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，
又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），
∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，
∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，
∴2（a2+b2）+5ab＝177，
2（a2+b2）+5×15＝177，
2（a2+b2）＝177﹣75，
2（a2+b2）＝102，
a2+b2＝51，
即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，
故答案为：51；
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，
2[（2a+b）+（a+2b）]
＝2（2a+b+a+2b）
＝2（3a+3b）
＝6a+6b，
又∵a2+b2＝51，
∴2（a2+b2）＝102，
2[（a+b）2﹣2ab]＝102，
∴（a+b）2＝81，
∵a+b＞0，
∴a+b＝9，
∴6a+6b＝54，
∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和为54．
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