第4章 因式分解 单元检测B卷(提升卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第4章 因式分解 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．6x2y3＝2x2 3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．
2．因式分解“16m2﹣？”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“？”是（　　）
A．5n2 B．25n2 C．75n2 D．125n2
3．将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是（　　）
A．3ab（x﹣y）2 B．3ab2（x﹣y） C．9ab（x﹣y）2 D．3ab（x﹣y）
4．下列因式分解中：①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+2x+1＝（x+1）2；③2a（b﹣c）﹣3（b﹣c）＝（2a﹣3）（b﹣c）；④x3﹣9x＝x（x2﹣9），正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a﹣1的是（　　）
A．3a2﹣3a B．a2﹣1 C．（a﹣1）2﹣a+1 D．（a﹣1）2﹣2（a﹣1）+1
6．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
7．若将多项式x2﹣ax+b因式分解为（x﹣2）（x+5），则（﹣3a+b）2023的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
8．若多项式x2+kx﹣8有一个因式是（x﹣2），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣4
9．若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（　　）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
10．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　）
A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解：﹣a3+4a2﹣4a＝　 　．
12．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④，能用公式法分解因式的是 　 　（填序号）．
13．若a2+（m﹣3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值是 　 　．
14．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　 　．
15．如果多项式x2+mx﹣6可以因式分解为（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，那么m的最大值是 　 　．
16．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤：
﹣16my2+4mx2
利用加法交换律变形：＝4mx2﹣16my2……第一步
提取公因式m：＝m（4x2﹣16y2）……第二步
逆用积的乘方公式＝m[（2x）2﹣（4y）2]……第三步
运用平方差公式因式分解＝m（2x+4y）（2x﹣4y）……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　 　；
（2）请给出这个问题的正确解法．
18．因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am．
19．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（4）﹣x4+y4；
（5）9a2（x+2y）﹣x﹣2y．
20．小明、小颖两名同学将关于x的二次三项式4x2+mx+n分解因式，小明因看错了一次项系数而分解成（2x+1）（2x+9），小颖因看错了常数项而分解成（2x﹣1）（2x﹣5），请将原多项式分解因式．
21．先分解因式，再求值：
（1）25x（0.4﹣y）2﹣10y（y﹣0.4）2，其中x＝0.04，y＝2.4．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
（3）利用简便方法计算：5032+1006×502+5022﹣10062．
22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明36是否为“神秘数”；
（2）证明：“神秘数”一定是4的倍数；
（3）2000是“神秘数”吗？请说明理由．
23．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
24．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：
（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；
（2）x2﹣2xy+y2﹣16；
（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．6x2y3＝2x2 3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．
【点拨】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可．
【解析】解：A、6x2y3＝2x2 3y3，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
C、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、，此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同．
2．因式分解“16m2﹣？”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“？”是（　　）
A．5n2 B．25n2 C．75n2 D．125n2
【点拨】根据因式分解的意义即可求得答案．
【解析】解：（4m+5n）（4m﹣5n）＝16m2﹣25n2，
则“？”是25n2，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是（　　）
A．3ab（x﹣y）2 B．3ab2（x﹣y） C．9ab（x﹣y）2 D．3ab（x﹣y）
【点拨】根据公因式的定义即可求得答案．
【解析】解：将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是3ab（x﹣y）2，
故选：A．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
4．下列因式分解中：①x3+2xy+x＝x（x2+2y）；②x2+2x+1＝（x+1）2；③2a（b﹣c）﹣3（b﹣c）＝（2a﹣3）（b﹣c）；④x3﹣9x＝x（x2﹣9），正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①根据提取公因式法分解因式判断即可；
②根据公式法分解因式判断即可；
③根据提取公因式法分解因式判断即可；
④根据提取公因式法与公式法分解因式判断即可．
【解析】解：①x3+2xy+x＝x（x2+2y+1），原式错误；
②x2+2x+1＝（x+1）2，原式正确；
③2a（b﹣c）﹣3（b﹣c）＝（2a﹣3）（b﹣c），原式正确；
④x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），原式错误；
故正确的有②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握利用提取公因式法、完全平方公式法分解因式是解题的关键．
5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a﹣1的是（　　）
A．3a2﹣3a B．a2﹣1 C．（a﹣1）2﹣a+1 D．（a﹣1）2﹣2（a﹣1）+1
【点拨】将各式因式分解后进行判断即可．
【解析】解：3a2﹣3a＝3a（a﹣1），则A不符合题意；
a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），则B不符合题意；
（a﹣1）2﹣a+1＝（a﹣1）2﹣（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣2），则C不符合题意；
（a﹣1）2﹣2（a﹣1）+1＝（a﹣1﹣1）2＝（a﹣2）2，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
【点拨】首先利用平方差公式得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝3（a+b），然后将a2﹣b2＝3（a+b）整体代入原式整理，最后再将a﹣b＝3整体代入即可得出答案．
【解析】解：∵a﹣b＝3，
∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝3（a+b），
∴a2﹣b2﹣6b+2
＝3（a+b）﹣6b+2
＝3a+3b﹣6b+2
＝3a﹣3b+2
＝3（a﹣b）+2
＝3×3+2
＝11．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握应用平方差公式和提取公因式法进行因式分解，难点是整体思想在解题中的应用．
7．若将多项式x2﹣ax+b因式分解为（x﹣2）（x+5），则（﹣3a+b）2023的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
【点拨】根据十字相乘法即可求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案．
【解析】解：∵（x﹣2）（x+5）＝x2+3x﹣10，x2﹣ax+b＝（x﹣2）（x+5），
∴a＝﹣3，b＝﹣10，
∴﹣3a+b＝9﹣10＝﹣1，
∴原式＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据题意求出a与b的值，本题属于基础题型．
8．若多项式x2+kx﹣8有一个因式是（x﹣2），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣4
【点拨】利用十字相乘法判断即可．
【解析】解：∵多项式x2+kx﹣8有一个因式是（x﹣2），
∴另一个因式是（x+4），即x2+kx﹣8＝（x﹣2）（x+4）＝x2+2x﹣8，
则k的值为2，
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（　　）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
【点拨】根据a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，可以得到（a+b）2＝25，然后即可得到a+b的值．
【解析】解：∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，
∴（a2+ab）+（b2+ab）＝（16+m）+（9﹣m），
∴（a+b）2＝25，
∴a+b＝±5，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
10．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　）
A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4
【点拨】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解．
【解析】解：（﹣5）2013+（﹣5）2014
＝﹣52013+52014
＝5×52013﹣52013
＝52013×（5﹣1）
＝4×52013，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用提公因式法因式分解．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解：﹣a3+4a2﹣4a＝　﹣a（a﹣2）2　．
【点拨】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【解析】解：﹣a3+4a2﹣4a
＝﹣a（a2﹣4a+4）
＝﹣a（a﹣2）2，
故答案为：﹣a（a﹣2）2．
【点睛】本题考查了分解因式，根据先提公因式再利用公式的步骤分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④，能用公式法分解因式的是 　②④　（填序号）．
【点拨】将各式因式分解后进行判断即可．
【解析】解：①原式不能因式分解；
②原式＝（1+ab）（1﹣ab）；
③原式不能因式分解；
④原式＝（mn﹣）2；
则能用公式法分解因式的是②④，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．若a2+（m﹣3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值是 　7或﹣1　．
【点拨】根据完全平方公式，进行计算即可解答．
【解析】解：由题意得：
a2+（m﹣3）a+4＝（a±2）2，
∴a2+（m﹣3）a+4＝a2±4a+4，
∴m﹣3＝±4，
∴m＝7或m＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　　．
【点拨】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【解析】解：2x2﹣6＝2（x2﹣3）＝2（x+）（x﹣）．
故答案为2（x+）（x﹣）．
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
15．如果多项式x2+mx﹣6可以因式分解为（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，那么m的最大值是 　5　．
【点拨】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣6．
【解析】解：﹣6可以分成：﹣1×6，1×（﹣6），﹣2×3，2×（﹣3），3×（﹣2），﹣3×2，
而﹣1+6＝5，1+（﹣6）＝﹣5，﹣2+3＝1，2+（﹣3）＝﹣1，3+（﹣2）＝1，﹣3+2＝﹣1，
因为5＞1＞﹣1＞﹣5，
所以m最大＝p+q＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
16．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【点拨】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．
【解析】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．下面是嘉淇同学把多项式﹣16my2+4mx2分解因式的具体步骤：
﹣16my2+4mx2
利用加法交换律变形：＝4mx2﹣16my2……第一步
提取公因式m：＝m（4x2﹣16y2）……第二步
逆用积的乘方公式＝m[（2x）2﹣（4y）2]……第三步
运用平方差公式因式分解＝m（2x+4y）（2x﹣4y）……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 　公因式没有提取完　；
（2）请给出这个问题的正确解法．
【点拨】（1）观察嘉淇的解法，找出错误的原因即可；
（2）写出正确的解法即可．
【解析】解：（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；
故答案为：公因式没有提取完；
（2）原式＝4m（x2﹣4y2）
＝4m（x+2y）（x﹣2y）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
18．因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am．
【点拨】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式x﹣y，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先提取公因式﹣3am，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：（1）x3﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（3）﹣3a3m+6a2m﹣3am
＝﹣3am（a2﹣2a+1）
＝﹣3am（a﹣1）2．
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练的提取公因式，再利用公式法分解因式是解本题的关键．
19．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（4）﹣x4+y4；
（5）9a2（x+2y）﹣x﹣2y．
【点拨】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式利用平方差公式分解即可；
（5）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2；
（3）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；
（4）原式＝（x2+y2）（﹣x2+y2）
＝（x2+y2）（x+y）（﹣x+y）；
（5）原式＝9a2（x+2y）﹣（x+2y）
＝（x+2y）（9a2﹣1）
＝（x+2y）（3a+1）（3a﹣1）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．小明、小颖两名同学将关于x的二次三项式4x2+mx+n分解因式，小明因看错了一次项系数而分解成（2x+1）（2x+9），小颖因看错了常数项而分解成（2x﹣1）（2x﹣5），请将原多项式分解因式．
【点拨】根据小明因看错了一次项系数可以确定n值，小颖因看错了常数项而确定m值，还原二次三项式4x2+mx+n分解因式即可．
【解析】解：∵小明因看错了一次项系数而分解成（2x+1）（2x+9），
∴（2x+1）（2x+9）＝4x2+20x+9，
∴n＝9，
∵小颖因看错了常数项而分解成（2x﹣1）（2x﹣5），
∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝4x2﹣12x+5，
∴m＝﹣12，
∴原二次三项式为：
4x2﹣12x+9
＝（2x）2﹣12x+32
＝（2x﹣3）2．
【点睛】本题考查了因式分解，将一个多项式分解成几个因式的积的形式是分解因式．
21．先分解因式，再求值：
（1）25x（0.4﹣y）2﹣10y（y﹣0.4）2，其中x＝0.04，y＝2.4．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
（3）利用简便方法计算：5032+1006×502+5022﹣10062．
【点拨】（1）利用提取公因式法因式分解，再进一步代入求得数值即可；
（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后代入求得数值即可．
（3）利用完全平方公式解答即可．
【解析】解：（1）原式＝5（0.4﹣y）2（5x﹣2y）
当x＝0.04，y＝2.4时，
原式＝5×（0.4﹣2.4）2（5×0.04﹣2×2.4）
＝5×4×（﹣4.6）
＝﹣92；
（2）原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2
当a+b＝2，ab＝2时，
原式＝4．
（3）5032+1006×502+5022﹣10062．
＝（503+502）2﹣10062
＝10052﹣10062
＝（1005+1006）（1005﹣1006）
＝﹣2011．
【点睛】此题考查因式分解的运用，掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）请说明36是否为“神秘数”；
（2）证明：“神秘数”一定是4的倍数；
（3）2000是“神秘数”吗？请说明理由．
【点拨】（1）假设36是神秘数，看36是否能表示为两个连续偶数的平方差即可判断是否为“神秘数”；
（2）可设较小的偶数为2k，则较大的偶数为2k+2，看较大偶数与较小偶数的平方差是否是4的倍数即可；
（3）把2000代入（2）得到的式子中，看是否符合实际意义．
【解析】解：（1）假设36是神秘数，则能表示为两个连续偶数的平方差，设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2．
∴（x+2）2﹣x2＝36．
解得：x＝8．
∴x+2＝10．
∴36＝102﹣82．
∴36是“神秘数”．
（2）设较小的偶数为2k，则较大的偶数为2k+2．
∴（2k+2）2﹣（2k）2
＝8k+4
＝4（2k+1）．
∵k为正整数，
∴2k+1为正整数．
∴“神秘数”一定是4的倍数．
（3）2000不是“神秘数”．
理由：假设2000是“神秘数”，
由（2）得4（2k+1）＝2000．
解得：k＝250.5．
∵k不是整数，
∴假设不成立．
∴2000不是“神秘数”．
【点睛】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意应用已得到的结论．
23．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【点拨】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解析】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
24．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：
（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；
（2）x2﹣2xy+y2﹣16；
（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．
【点拨】（1）把前两项分为一组，后两项分为一组，再提取公因式即可；
（2）把前三项分为一组，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）把式子化为两个完全平方公式的形式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4
＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）
＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）
＝（n﹣2）（mn+2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；
（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3
＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4
＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）
＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2
＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）
＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．
【点睛】本题考查的是因式分解﹣分组分解法，熟知因式分解的各种方法是解题的关键．
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