(共32张PPT)
4.2 提取公因式法
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
情境引入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.会用提取公因式法分解因式。
2.理解添括号法则。
情境引入
一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图）. 若把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？
新知讲解
活动：比一比，看谁算的快。
（1）25×23+25×77 ； （2）15.67×109 9×15.67
在计算过程中，我们运用了什么运算规律？
解：（1）25×23+25×77
=25×(23+77)
=25×100
=2500
（2）15.67×109 9×15.67
=15.67×(109 9)
= 15.67×100
=1567
分配律的逆运算：ab+ac=a(b+c)
新知讲解
思考 : 我们知道，m(a+b)= ma+mb，反过来，就有ma+mb=m(a+b)，应用这一事实，怎样把2ab+4abc分解因式？
2ab+4abc
= 2ab 1+ 2ab 2c
= 2ab (1+2c)
ab+ac=a(b+c)
ma+mb=m(a+b)
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
公因式
新知讲解
2ab+4abc
= 2ab 1+ 2ab 2c
= 2ab (1+2c)
ab+ac = a(b+c)
ma+mb = m(a+b)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
提取公因式法
新知讲解
说一说：如何确定一个多项式应提取的公因式？
以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下：
3ax2y=3·a·x·x·y
6x2yz=2·3·x·x·x·y·z
应提取的公因式为:________
3x2y
应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
3ax2y+6x3yz=3x2y(a+2xz)
另一个因式a+2xz中的a和2xz是如何得到的
新知讲解
做一做：
先确定多项式5ab2c+15abc2各项的公因式，再进行因式分解。
解：应提取的公因式是5abc
5ab2c+15abc2= 5abc(b+3c)
新知讲解
一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图）. 若把该墙面设计成长方形形状，面积保 持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？
解：ab+ah=a(b+h)
答，高度应为b+h.
新知讲解
注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号.
例1：把下列各式分解因式
(1)2x3+6x2
(2)3pq3+15p3q
(3)-4x2+8ax+2x
(4)-3ab+6abx-9aby.
解：(1)2x3+6x2=2x2(x+3)
(2)3pq3+15p3q=3pq(q2+5p2)
(3)-4x2+8ax+2x=-2x(2x-4a-1)
(4)-3ab+6abx-9aby =-3ab(1-2x+3y)
新知讲解
提取公因式法的一般步骤是：
1.确定应提取的公因式。
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。
3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
归 纳
新知讲解
例2：把2(a-b)2-a+b分解因式
分析：把-a+b变形为-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).
解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1)
新知讲解
括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-” 号，括到括号里的各项都变号。
添括号法则
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
2．多项式提取公因式后，剩下的因式是（ ）
A． B． C． D．
C
课堂练习
3．用提公因式法分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
课堂练习
4．先因式分解，再计算求值：，其中.
解：
；
把代入得，
原式．
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5．因式分解：
(1)． (2)
解：（1）
．
（2）
课堂练习
【综合实践类作业】
6．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．
(1)请用含的式子分别表示，；
(2)比较与的大小，并说明理由．
解：（1），
；
（2），理由如下：
，
∵，∴，
∴，∴，
∴．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
一、公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
二、确定公因式的方法：
1.公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
2.字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
4.如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开。
5.若多项式中首项符号是“－”号，一般情况下公因式符号为负。
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
三、提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
四、提取公因式法的一般步骤：
1.确定应提取的公因式。
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。
3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
五、添括号法则：括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-” 号，括到括号里的各项都变号。
板书设计
课题：4.2 提取公因式法
教师板演区
学生展示区
一、公因式
确定公因式的方法
二、提取公因式法
提取公因式法的步骤
三、添括号法则
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
A
作业布置
2．把多项式分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
作业布置
3．把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)， (4)．
解：（1）．
（2）．
（3）
．
（4）
．
作业布置
4．先化简，再求值：，其中．
解：
，
，
．
作业布置
选做题：
5．多项式可以因式分解为，则 __________
解：∵
∵多项式可以因式分解为，
∴，，∴．
作业布置
【综合实践类作业】
6．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
(1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次；
(2)将下列多项式分解因式：；
(3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________．
提公因式法
2
解：（2）原式
；
2023
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生在学习因式分解前，已经具备的整数分解知识，熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，为学习分解因式打下了良好根底。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底。所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点，学生在七年级下册第三章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识，对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等将是又一个难点。
单元目标 （一）教学目标 本章的总目标是经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。 2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次）分解因式〔指数是正整数）。 3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。 4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养. （二）教学重点、难点 通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进行因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的能力。 重点： 1.因式分解的概念和方法。 2.能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进行因式分解。 难点： 1.综合运用若干种方法分解因式。 2.分解因式要分解的彻底以及灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。了解因式分解的意义；了解因式分解与整式乘法的互逆关系。在经历因式分解的过程中主动探究，能够发现因式分解与整式乘法的互逆关系。4.2提取公因式法1.会用提取公因式法分解因式。 2.理解添括号法则。掌握用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。通过积极探究提取公因式法分解因式的过程，掌握并正确运用这种方法对多项式进行因式分解，并发现添括号法则。4.3用乘法公式分解因式1.会用平方差公式分解因式。 2.了解因式分解的思考步骤。掌握用平方差公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用平方差公式进行因式分解。1.会用完全平方公式分解因式。 2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。掌握用完全平方公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用完全平方公式进行因式分解。
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4.2 提取公因式法 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 这节课主要教学内容是提取公因式法分解析因式。学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是解决后续内容分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，有着承上启下的作用。
学习者分析 学生对整式的运算和分配律比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知，也了解因式分解的概念及因式分解与整式乘法之间的互逆关系，这为学生学习提取公因式法进行因式分解做好了准备。同时，七年级学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，已经具备了一定的自我学习能力，因此，教学过程中创设的问题情境，创造自主学习、合作学习的机会，来探究如何用提公因式法分解因式。
教学目标 1.会用提取公因式法分解因式。 2.理解添括号法则。
教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
教学难点 1.确定多项式的公因式。 2.理解添括号法则。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示情境问题。 一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图）. 若把该墙面设计成长方形形状，面积保 持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？ 学生活动1： 学生认真思考活动意图说明： 通过情境问题引入，激发学生的学习兴趣，为引入新课做好铺垫。环节二：探究提取公因式法分解因式 教师活动2： 活动：比一比，看谁算的快。 （1）25×23+25×77；（2）15.67×109 9×15.67 解：（1）25×23+25×77 =25×(23+77) =25×100 =2500 （2）15.67×109 9×15.67 =15.67×(109 9) =15.67×100 =1567 追问：在计算过程中，我们运用了什么运算规律？ 预设：分配律的逆运算：ab+ac=a(b+c) 思考:我们知道，m(a+b)=ma+mb，反过来，就有ma+mb=m(a+b)，应用这一事实，怎样把2ab+4abc分解因式？ 预设：2ab+4abc =2ab 1+2ab 2c =2ab(1+2c) 归纳： 公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 说一说：如何确定一个多项式应提取的公因式？ 预设：以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下： 3ax2y=3·a·x·x·y 6x2yz=2·3·x·x·x·y·z 应提取的公因式为:3x2y 归纳：应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 预设：3ax2y+6x3yz=3x2y(a+2xz) 提问：另一个因式a+2xz中的a和2xz是如何得到的 做一做：先确定多项式5ab2c+15abc2各项的公因式，再进行因式分解。 解：应提取的公因式是5abc 5ab2c+15abc2=5abc(b+3c) 情境问题：一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图）.若把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？ 解：ab+ah=a(b+h) 答，高度应为b+h. 例1：把下列各式分解因式 (1)2x3+6x2 (2)3pq3+15p3q (3)-4x2+8ax+2x (4)-3ab+6abx-9aby. 解：(1)2x3+6x2=2x2(x+3) (2)3pq3+15p3q=3pq(q2+5p2) (3)-4x2+8ax+2x=-2x(2x-4a-1) (4)-3ab+6abx-9aby=-3ab(1-2x+3y) 注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号. 归纳： 提取公因式法的一般步骤是： 1.确定应提取的公因式。 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.学生活动2： 学生快速回答问题，并说出理由 学生思考，小组合作探究，归纳出公因式及提取公因式法分解因式的概念，并认真听教师的讲解 学生尝试探究，组内讨论，班内汇报交流，归纳寻找公因式的方法 学生独立完成后，互相交流 学生思考如何用提取公因式法解决前面提出的情境问题 四名学生板演，其他学生独立完成，然后学生汇报交流，最后认真听教师的点评 和老师一起归纳提取公因式法的一般步骤活动意图说明： 理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式，探究寻找公因式的方法及提取公因式法分解因式的步骤。环节三：探究去括号法则 教师活动3： 例2：把2(a-b)2-a+b分解因式： 分析:把-a+b变形为-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把（a-b）看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b). 解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1). 归纳： 添括号法则：括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-” 号，括到括号里的各项都变号。.学生活动3： 学生思考后，小组合作探究，班内交流，然后听老师的点评 和老师一起归纳添括号法则活动意图说明： 渗透整体思想，探究添括号法则，理解添括号时，所添括号前面是负号，括到括号里各项都要改变符号是易错点。
板书设计 课题：4.2 提取公因式法 一、公因式 确定公因式的方法 二、提取公因式法 提取公因式法的步骤 三、添括号法则
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．多项式提取公因式后，剩下的因式是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 4．先因式分解，再计算求值：，其中； 解： ； 把代入得，原式． 选做题： 5．因式分解： (1)． (2) 解：（1） ． （2） 【综合实践类作业】 6．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（）．某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含的式子分别表示，； (2)比较与的大小，并说明理由． 解：（1）由题意得，， ； （2），理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（ ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确 答案：A 2．把多项式分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)， (4)． 解：（1）． （2）． （3） ． （4） ． 4．先化简，再求值：，其中． 解： ， ， ． 选做题： 5．多项式可以因式分解为，则 解：∵ ∵多项式可以因式分解为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【综合实践类作业】 6．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______________，共应用了_________次； (2)将下列多项式分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是_________． 解：（1）由题意得，题干的因式分解方法是提公因式法，一共应用了2次， 故答案为：提公因式法；2； （2）原式 ； （3），提1次公因式 ，提2次公因式 ，提3次公因式 …… ∴依次类推，，提n次公因式， ∴，提2023次公因式， 故答案为：2023；．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 一、公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 二、确定公因式的方法： 1.公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。 2.字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。 4.如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开。 5.若多项式中首项符号是“－”号，一般情况下公因式符号为负。 三、提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 四、提取公因式法的一般步骤： 1.确定应提取的公因式。 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 五、添括号法则：括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-” 号，括到括号里的各项都变号。
教学反思 本节课根据学生的知识结构，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流，提高了学生的思维能力，激发了学生的思维积极性，使学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力。这一过程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力。
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