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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解 培优测试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.下列各式从左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.x(a-b)=ax-bx B.
C. D.
2.下列各式的变形中,用提取公因式法分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A. B. C. D.
4.若,则代数式 A的值为( )
A.m B.mn C.mn D.m n
5.多项式提取公因式后,得到的另一个因式为 ( )
A. B. C. D.
6.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x- 1,a- b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:思,爱,我,数,学,考,现将分解因式,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱学 B.我爱数学 C.我爱思考 D.数学思考
7.已知a≠c,若则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N C.M8.下列自然数中,能整除 3200-4×3199+10×3198的是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x-2019的值为( )
A.-2019 B.-2020 C.-2022 D.-2021
10.对于正整数m,若m=pq(p>q>0,且p,q为整数),当p=q最小时,则称pq为m的“最佳分解”,并规定如:12的分解有12×1,6×2,4×3,其中,4×3为12的最佳分解,则f(12)若关于正整数n的代数式,也有同样的“最佳分解”,则对于下列结果不可能的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如果是一个完全平方式,那么的值是 .
12.若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为
13.利用简便方法计算: (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
14.若实数a,b满足a2+5b2+4ab+6b+9=0,则a+5b的值为 .
15.若m2=n+2020,n2=m+2020(m≠n),那么代数式m3﹣2mn+n3的值 .
16.将表示成一个自然数的平方,则这个自然数是 ;若从一个正整数a开始,连续的四个整数的积再加上1,也可以用一个自然数的平方表示所得结果,即,其中a为正整数,那么这个自然数 .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.分解因式:
(1) (2)
(3)a(x-y)-b(y-x). (4)
18.(1)若a,b,c分别表示三角形ABC 的三边长,且 试说明三角形ABC是等边三角形.
(2)若 求 x,y 的值
19.已知n是正整数,则奇数可以用代数式2n+1来表示.
(1)分解因式:(2n+1)2-1.
(2)我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”,则所有“白银数”的最大公约数是多少?请简要说明理由.
20.将一个多项式分组后,可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如:am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
(1)用“分组分解法”因式分解:
①.
②.
(2)若a,b都是正整数且满足,求的值.
21.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“奇巧数”,如,,,,因此12,20,28这三个数都是奇巧数.
(1)52是奇巧数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为,其中为正整数,由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗?为什么?
(3)小明观察猜想任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数,小明的猜想正确吗?请说明理由.
22.【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式:x4+4
解:原式=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2﹣2x+2)(x2+2x+2)
例2分解因式:x3+5x﹣6
解:原式=x3﹣x+6x﹣6=x(x2﹣1)+6(x﹣1)=(x﹣1)(x2+x+6)
【知识应用】请根据以上材料中的方法,解决下列问题:
(1)分解因式:x2+16x﹣36= .
(2)运用拆项添项法分解因式:x4+4y4.
(3)化简: .
23.认真阅读下列因式分解的过程,再回答问题:
=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是 .
(2)分解因式:
(3)猜想 分解因式的结果.
许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差,例如:8=32—12,16=52—32,24=72—52,
(1)42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
(2)设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数),如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差,那么a是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.
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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解 培优测试卷
(解析版)
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.下列各式从左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.x(a-b)=ax-bx B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、该等式右边不是几个整式的积的形式,则不属于因式分解,不符合题意;
B、该等式右边不是几个整式的积的形式,则不属于因式分解,不符合题意;
C、该等式右边不是几个整式的积的形式,则不属于因式分解,不符合题意;
D、该等式的变形属于因式分解,符合题意.
故答案为:D.
2.下列各式的变形中,用提取公因式法分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、,则本项不符合题意;
B、,则本项不符合题意;
C、,则本项符合题意;
D、,则本项不符合题意.
故答案为:C.
3.下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、=(x+3)2,故符合题意;
B、,平方项异号,不能完全平方公式进行因式分解,故不符合题意;
C、,不符合完全平方公式的特征, 故不符合题意;
D、,只有两项, 不符合完全平方公式的特征, 故不符合题意.
故答案为:A.
4.若,则代数式 A的值为( )
A.m B.mn C.mn D.m n
【答案】A
【解析】∵A(m2﹣3n)=m3﹣3mn=m(m2﹣3n),
∴A=m.
故答案为:A.
5.多项式提取公因式后,得到的另一个因式为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为:B.
6.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x- 1,a- b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:思,爱,我,数,学,考,现将分解因式,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱学 B.我爱数学 C.我爱思考 D.数学思考
【答案】C
【解析】∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b),
又∵“x-1”对应思,“a-b”对应爱,“3”对应我,“x2+1”对应数,“a”对应学,“x+1”对应考,
∴ 结果呈现的密码信息可能是:我爱思考.
故答案为:C.
7.已知a≠c,若则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N C.M【答案】A
【解析】∵
∴
∴
∴
故答案为:A.
8.下列自然数中,能整除 3200-4×3199+10×3198的是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】∵3200-4×3199+10×3198=3198(32-4×3+10)=3198×7,
∴3200-4×3199+10×3198能整除7.
故答案为:D.
9.若实数x满足x2-2x-1=0,则2x3-7x2+4x-2019的值为( )
A.-2019 B.-2020 C.-2022 D.-2021
【答案】C
【解析】∵ x2-2x-1=0,
∴x2-2x=1,
∴原式=2x3-4x2-3x2+4x-2019=2x(x2-2x)-3x2+4x-2019
=2x-3x2+4x-2019=-3x2+6x-2019
=-3(x2-2x)-2019=-3-2019=-2022.
故答案为:C.
10.对于正整数m,若m=pq(p>q>0,且p,q为整数),当p=q最小时,则称pq为m的“最佳分解”,并规定如:12的分解有12×1,6×2,4×3,其中,4×3为12的最佳分解,则f(12)若关于正整数n的代数式,也有同样的“最佳分解”,则对于下列结果不可能的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵
∵n为正整数,
∴
∴
∴为的最佳分解,
A、当时,与n是正整数出现矛盾,故此选项错误,符合题意;
B、当时,没有出现矛盾,故此选项正确,不符合题意;
C、当时,,没有出现矛盾,故此选项正确,不符合题意;
D、当时,没有出现矛盾,故此选项正确,不符合题意.
故答案为:A.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.如果是一个完全平方式,那么的值是 .
【答案】或
【解析】由题意得,
解得k=或,
故答案为:或
12.若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为
【答案】-3
【解析】∵(x+1)(x-2)=x2-x-2,
∴a=-1,b=-2;
故a+b=-1+(-2)=-3;
故答案为:-3.
13.利用简便方法计算: (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
【答案】
【解析】∵;
;
;
······
;
故
=
=
=
;
故答案为:.
14.若实数a,b满足a2+5b2+4ab+6b+9=0,则a+5b的值为 .
【答案】-9
【解析】 a2+5b2+4ab+6b+9=0 ,
a2+4ab+4b2+b2+6b+9=0 ,
(a+2b)2+(b+3)2=0,
则a+2b=0, b+3=0,
b=-3,a=6,
∴a+5b=6+(-3)×5=-9.
故答案为:-9.
15.若m2=n+2020,n2=m+2020(m≠n),那么代数式m3﹣2mn+n3的值 .
【答案】-2020
【解析】∵m2=n+2020,n2=m+2020,
∴, ,,
∴,
∴,
∴,
∴m-n=0或m+n+1=0,
∴m=n或m+n=-1,
∵m≠n,
∴m+n=-1,
∵,,
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020(m+n)
=
=-2020.
故答案为:-2020.
16.将表示成一个自然数的平方,则这个自然数是 ;若从一个正整数a开始,连续的四个整数的积再加上1,也可以用一个自然数的平方表示所得结果,即,其中a为正整数,那么这个自然数 .
【答案】;
【解析】=24×(24+1)×(24+2)×(24+3)+1
=24×(24+3)×[(24+1)×(24+2)]
=(242+24×3)×(242+24×3+2)+1
=(242+24×3)2+2×(242+24×3)+1
=(242+24×3+1)2,
=6492,
=[a×(a+3)]×[(a+1)(a+2)]+1,
=(a2+3a)+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2,
∴A=a2+3a+1,
故答案为:649,a2+3a+1,.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.分解因式:
(1)
(2)
(3)a(x-y)-b(y-x).
(4)
【答案】(1)解:= (4x-5)(4x+5)
(2)解:
(3)解: a(x-y)-b(y-x)= a(x-y)+b(x-y)= (x-y)(a+b)
(4)解:=
18.(1)若a,b,c分别表示三角形ABC 的三边长,且 试说明三角形ABC是等边三角形.
(2)若 求 x,y 的值
【答案】(1)解:∵
∴
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:∵,
∴(x-2y)2+(y-1)2=0,
∴x-2y=0,y-1=0,
解得x=2,y=1.
19.已知n是正整数,则奇数可以用代数式2n+1来表示.
(1)分解因式:(2n+1)2-1.
(2)我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”,则所有“白银数”的最大公约数是多少?请简要说明理由.
【答案】(1)解: (2n+1)2-1== =
故答案为:
(2)解:所有“白银数”的最大公约数是8.
理由:∵n是正整数.
∴在n与n+1中必有一个数为偶数.
∴n(n+1)一定是2的倍数.
∴4n(n+1)一定是8的倍数.
∴所有“白银数”的最大公约数是8.
20.将一个多项式分组后,可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如:am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
(1)用“分组分解法”因式分解:
①.
②.
(2)若a,b都是正整数且满足,求的值.
【答案】(1)解:①x2-y2+x+y
=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)
=(x+y)(x-y+1) ;
②ab-a-b+1
=(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(b-1)(a-1);
(2)解:∵ab-a-b-6=0,
∴ab-a-b+1-1-6=0,
∴(ab-a)-(b-1)-7=0,
∴a(b-1)-(b-1)-7=0,
∴(b-1)(a-1)=7,
∵a、b都是正整数,
∴或,
∴或,
当a=2,b=8时,2a+b=12;
当a=8,b=2时,2a+b=18,
综上2a+b的值为12或18.
21.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“奇巧数”,如,,,,因此12,20,28这三个数都是奇巧数.
(1)52是奇巧数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为,其中为正整数,由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗?为什么?
(3)小明观察猜想任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数,小明的猜想正确吗?请说明理由.
【答案】(1)解:是奇巧数.
,12,14是连续偶数,
是奇巧数
(2)解:不是8的倍数.
,
奇数,不是2的倍数,
和这两个连续偶数构造的奇巧数是不8的倍数;
(3)解:正确.
设为非负整数,
,
猜想正确.
22.【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式:x4+4
解:原式=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2﹣2x+2)(x2+2x+2)
例2分解因式:x3+5x﹣6
解:原式=x3﹣x+6x﹣6=x(x2﹣1)+6(x﹣1)=(x﹣1)(x2+x+6)
【知识应用】请根据以上材料中的方法,解决下列问题:
(1)分解因式:x2+16x﹣36= .
(2)运用拆项添项法分解因式:x4+4y4.
(3)化简: .
【答案】(1)(x+18)(x-2)
(2)解:原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2);
(3)解:由题意得,
原式=.
【解析】(1)x2+16x﹣36
=x2+16x+64-64﹣36
=(x+8)2-100
=(x+8+10)(x+8-10)
=(x+18)(x-2),
故答案为:(x+18)(x-2);
23.认真阅读下列因式分解的过程,再回答问题:
=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是 .
(2)分解因式:
(3)猜想 分解因式的结果.
【答案】(1)解:上述因式分解的方法是提取公因式法 .
(2)解:
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
(3)解:由(2)得原式=(1+x)n+1.
24.许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差,例如:8=32—12,16=52—32,24=72—52,
(1)42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
(2)设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数),如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差,那么a是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.
【答案】(1)解:∵8=32-12,16=52-32,24=72-52,而42÷8=5……2,
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差,
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差;
(2)解:是,理由如下:
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数;
(3)解:
=
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