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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x(a-b)=ax-bx B．
C． D．
2．下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若，则代数式 A的值为（ ）
A．m B．mn C．mn D．m n
5．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
7．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M8．下列自然数中，能整除 3200-4×3199+10×3198的是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（ ）
A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021
10．对于正整数m，若m=pq(p>q>0，且p，q为整数)，当p=q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f(12)若关于正整数n的代数式，也有同样的“最佳分解”，则对于下列结果不可能的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果是一个完全平方式，那么的值是 ．
12．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
13．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
14．若实数a，b满足a2+5b2+4ab+6b+9=0，则a+5b的值为 ．
15．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
16．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分解因式：
（1） （2）
（3）a（x-y）-b（y-x）. （4）
18．（1）若a，b，c分别表示三角形ABC 的三边长，且 试说明三角形ABC是等边三角形.
（2）若 求 x，y 的值
19．已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）分解因式：(2n+1)2-1．
（2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
20．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
（1）用“分组分解法”因式分解：
①.
②.
（2）若a，b都是正整数且满足，求的值.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，，因此12，20，28这三个数都是奇巧数.
（1）52是奇巧数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为，其中为正整数，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
（3）小明观察猜想任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，小明的猜想正确吗？请说明理由.
22．【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式：x4+4
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）
例2分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+16x﹣36＝ ．
（2）运用拆项添项法分解因式：x4+4y4．
（3）化简： ．
23．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8=32—12，16=52—32，24=72—52，
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x(a-b)=ax-bx B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不属于因式分解，不符合题意；
B、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不属于因式分解，不符合题意；
C、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不属于因式分解，不符合题意；
D、该等式的变形属于因式分解，符合题意.
故答案为：D.
2．下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，则本项不符合题意；
B、，则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、，则本项不符合题意.
故答案为：C.
3．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
4．若，则代数式 A的值为（ ）
A．m B．mn C．mn D．m n
【答案】A
【解析】∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n），
∴A＝m．
故答案为：A．
5．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【解析】∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
7．已知a≠c，若则M与N的大小关系是（ ）
A．M>N B．M=N C．M【答案】A
【解析】∵
∴
∴
∴
故答案为：A.
8．下列自然数中，能整除 3200-4×3199+10×3198的是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】∵3200-4×3199+10×3198=3198(32-4×3+10)=3198×7，
∴3200-4×3199+10×3198能整除7.
故答案为：D.
9．若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（ ）
A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021
【答案】C
【解析】∵ x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，
∴原式=2x3-4x2-3x2+4x-2019=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019
=2x-3x2+4x-2019=-3x2+6x-2019
=-3（x2-2x）-2019=-3-2019=-2022.
故答案为：C.
10．对于正整数m，若m=pq(p>q>0，且p，q为整数)，当p=q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f(12)若关于正整数n的代数式，也有同样的“最佳分解”，则对于下列结果不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
∵n为正整数，
∴
∴
∴为的最佳分解，
A、当时，与n是正整数出现矛盾，故此选项错误，符合题意；
B、当时，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果是一个完全平方式，那么的值是 ．
【答案】或
【解析】由题意得，
解得k=或，
故答案为：或
12．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
【答案】-3
【解析】∵（x+1）（x-2）=x2-x-2，
∴a=-1，b=-2；
故a+b=-1+（-2）=-3；
故答案为：-3.
13．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
【答案】
【解析】∵；
；
；
······
；
故
=
=
=
；
故答案为：.
14．若实数a，b满足a2+5b2+4ab+6b+9=0，则a+5b的值为 ．
【答案】-9
【解析】 a2+5b2+4ab+6b+9=0 ，
a2+4ab+4b2+b2+6b+9=0 ，
（a+2b）2+(b+3)2=0,
则a+2b=0, b+3=0,
b=-3,a=6,
∴a+5b=6+（-3）×5=-9.
故答案为：-9.
15．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
【答案】-2020
【解析】∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
16．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数 ．
【答案】；
【解析】=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分解因式：
（1）
（2）
（3）a（x-y）-b（y-x）.
（4）
【答案】（1）解：= （4x-5）（4x+5）
（2）解：
（3）解： a（x-y）-b（y-x）= a（x-y）+b（x-y）= （x-y）（a+b）
（4）解：=
18．（1）若a，b，c分别表示三角形ABC 的三边长，且 试说明三角形ABC是等边三角形.
（2）若 求 x，y 的值
【答案】（1）解：∵
∴
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
（2）解：∵，
∴(x-2y)2+(y-1)2=0，
∴x-2y=0，y-1=0，
解得x=2，y=1.
19．已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）分解因式：(2n+1)2-1．
（2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
【答案】（1）解： (2n+1)2-1== =
故答案为：
（2）解：所有“白银数”的最大公约数是8.
理由：∵n是正整数.
∴在n与n+1中必有一个数为偶数.
∴n（n+1）一定是2的倍数.
∴4n（n+1）一定是8的倍数.
∴所有“白银数”的最大公约数是8.
20．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是“分组分解法”.
例如：am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n).
（1）用“分组分解法”因式分解：
①.
②.
（2）若a，b都是正整数且满足，求的值.
【答案】（1）解：①x2-y2+x+y
=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)
=(x+y)(x-y+1) ；
②ab-a-b+1
=(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(b-1)(a-1)；
（2）解：∵ab-a-b-6=0，
∴ab-a-b+1-1-6=0，
∴(ab-a)-(b-1)-7=0，
∴a(b-1)-(b-1)-7=0，
∴(b-1)(a-1)=7，
∵a、b都是正整数，
∴或，
∴或，
当a=2，b=8时，2a+b=12；
当a=8，b=2时，2a+b=18，
综上2a+b的值为12或18.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，，因此12，20，28这三个数都是奇巧数.
（1）52是奇巧数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为，其中为正整数，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
（3）小明观察猜想任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，小明的猜想正确吗？请说明理由.
【答案】（1）解：是奇巧数.
，12，14是连续偶数，
是奇巧数
（2）解：不是8的倍数.
，
奇数，不是2的倍数，
和这两个连续偶数构造的奇巧数是不8的倍数；
（3）解：正确.
设为非负整数，
，
猜想正确.
22．【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式：x4+4
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）
例2分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+16x﹣36＝ ．
（2）运用拆项添项法分解因式：x4+4y4．
（3）化简： ．
【答案】（1）（x+18）（x-2）
（2）解：原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-4x2y2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）；
（3）解：由题意得，
原式=.
【解析】（1）x2+16x﹣36
=x2+16x+64-64﹣36
=（x+8）2-100
=（x+8+10）（x+8-10）
=（x+18）（x-2），
故答案为：（x+18）（x-2）；
23．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
24．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8=32—12，16=52—32，24=72—52，
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
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