浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷 (含解析)

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名称 浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷 (含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2024-04-17 06:48:54

文档简介

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浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.当x为任意有理数时,下列分式中一定有意义的是 (  )
A. B. C. D.
2.下列分式中,属于最简分式的是 (  )
A. B. C. D.
3.若分式的值为0,则x的值为 (  )
A.2 B.0 C.-2 D.±2
4.解方程去分母正确的是(  )
A. B.
C. D.
5.若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是 (  )
A. B. C. D.
6.若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是(  )
A.m>-10 B.m≤-10
C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6
7.某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶,售价均为90元,按成本计算,营业员发现“宸宸”盈利了50%,而“莲莲”却亏损了40%,则超市共(  )
A.不盈利也不亏损 B.盈利30元
C.亏损30元 D.盈利10元
8.分式的值,可以等于(  )
A. B.0 C.1 D.2
9.若关于x的方程有增根,则增根是(  )
A.x=-1
B.x=1
C.x=-2
D.因为含有待定字母m,所以无法确定
10.若实数a,b,c满足条件则a,b,c中 (  )
A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数
C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.不改变分式的值,将分式的分子与分母的各项系数化成整数    .
12.已知    
13.若a,b互为倒数,则代数式的值为   .
14.若恒成立,则a+b=   .
15.若 则    .
16.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成(),其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为6,则称数M为“如意数”,并把数M分解成的过程,称为“快乐分解”.例如,因为,22和24的十位数字相同,个位数字之和为6,所以528是“如意数”.
(1)最小的“如意数”是   ;
(2)把一个“如意数”M进行“快乐分解”,即,A与B的和记为,A与B的差记为,若能被7整除,则M的值为   .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.先化简,再求值:
(1),其中x=-2.
(2),其中a=3.
18.已知x2-5x+1=0.
(1)求x+的值.
(2)求x2+的值.
19.为增加学生们的阅读量,学校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍,购买“科普类”图书花费了3600元,购买“文学类”图书花费了2700元,其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%,购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本.
(1)求这两种图书的单价分别是多少元?
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本,且总费用不超过1600元,求最多能购买“科普类”图书多少本?
20.(1)已知,求;
(2)已知,求.
21.对于一些特殊的方程,我们给出两个定义:若两个方程有相同的一个解,则称这两个方程为“相似方程”;若两个方程有相同的整数解,则称这两个方程为“相伴方程”.
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”,并说明理由;
(2)已知关于,的二元一次方程与是“相伴方程”,求正整数的值.
22.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)辨析:下列分式中,   是和谐分式 (填写序号即可);
①;②;③;④.
(2)理解:若a为整数,且为和谐分式,请写出a的值;
(3)应用:先化简,并求x取什么整数时,该式的值为整数?
23.阅读下面材料,解答问题.
解方程: .
解:设 ,则原方程化为 .
方程两边同时乘 ,得 ,
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时, ,觕得 ;
当 时, ,解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨,
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题:
(1)若在方程 中,设 ,则原为程可化为   .
(2)若在方程 中,设 ,则原方 可化为   .
(3)利用上述换元法解方程 .
24.定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式N是分式的“互联分式”.如与,因为,,所以是的“互联分式”.
(1)判断分式与分式是否是“互联分式”,请说明理由;
(2)小红在求分式的“互联分式”时,用了以下方法:
设的“互联分式”为,则,
,.
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”.
(3)解决问题:
仔细观察第(1)(2)小题的规律,请直接写出实数,的值,使是的“互联分式”.
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浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷
解析版
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.当x为任意有理数时,下列分式中一定有意义的是 (  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、当时,则该分式不一定有意义,
B、当时,则该分式不一定有意义,
C、∵∴则该分式一定有意义,
D、当时,则该分式不一定有意义,
故答案为:C.
2.下列分式中,属于最简分式的是 (  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、,故此选项中的分式不是最简分式,不符合题意;
B、故此选项中的分式不是最简分式,不符合题意;
C、分式的分子与分母中除1以外,没有其它的公因式,故此选项中的分式是最简分式,符合题意;
D、,故此选项中的分式不是最简分式,不符合题意.
故答案为:C.
3.若分式的值为0,则x的值为 (  )
A.2 B.0 C.-2 D.±2
【答案】A
【解析】由题意可得,
解得x=2.
故答案为:A.
4.解方程去分母正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】

故答案为:D.
5.若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是 (  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵x、y的值都扩大为原来的三倍,
∴,故A选项不符合题意;
,故B选项不符合题意;
,故C选项不符合题意;
,故D选项符合题意.
故答案为:D.
6.若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是(  )
A.m>-10 B.m≤-10
C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6
【答案】D
【解析】原方程可化为:,
方程两边同时乘以(x-2)得:
3x=-m+5(x-2),
解得:,
∵原方程的解为正数,
∴x>0,x-2≠0,
即:,≠2,
解得:m>-10且m≠-6.
故答案为:D.
7.某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶,售价均为90元,按成本计算,营业员发现“宸宸”盈利了50%,而“莲莲”却亏损了40%,则超市共(  )
A.不盈利也不亏损 B.盈利30元
C.亏损30元 D.盈利10元
【答案】C
【解析】设宸宸的进价为x元,莲莲的进价为y元,
得:
解得:
得:
解得:
故答案为:C.
8.分式的值,可以等于(  )
A. B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】∵x2+2>x2+1>0,
∴>1,
∴ 分式的值,可以等于2.
故答案为:D.
9.若关于x的方程有增根,则增根是(  )
A.x=-1
B.x=1
C.x=-2
D.因为含有待定字母m,所以无法确定
【答案】B
【解析】∵关于x的方程有增根,
∴x-1=0,解得:x=1.
故答案为:B.
10.若实数a,b,c满足条件则a,b,c中 (  )
A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数
C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等
【答案】B
【解析】
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc,
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0,
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0,
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0,
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0,
(a+b)(b+c)(a+c)=0,
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0,
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为:B.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.不改变分式的值,将分式的分子与分母的各项系数化成整数    .
【答案】
【解析】==.
故答案为:.
12.已知    
【答案】
【解析】∵

故答案为:2
13.若a,b互为倒数,则代数式的值为   .
【答案】1
【解析】∵a,b互为倒数 ,
∴ab=1,
∴÷()==(a+b)× =ab =1.
故答案为:1.
14.若恒成立,则a+b=   .
【答案】4
【解析】等号右边=,
=,

解得:
∴a+b=4.
故答案为:4.
15.若 则    .
【答案】2
【解析】
故答案为:2
16.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成(),其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为6,则称数M为“如意数”,并把数M分解成的过程,称为“快乐分解”.例如,因为,22和24的十位数字相同,个位数字之和为6,所以528是“如意数”.
(1)最小的“如意数”是   ;
(2)把一个“如意数”M进行“快乐分解”,即,A与B的和记为,A与B的差记为,若能被7整除,则M的值为   .
【答案】(1)165
(2)3968
【解析】(1)∵自然数M的个位数字不为0,且能分解成A×B(A≥B),其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为6,
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为:M=11×15=165,
故答案为:165;
(2)设两位数A和B的十位数字都为m,A的个位数字为n,则B的个位数字为6-n,且m为1至9的自然数,n为1到5的自然数,
∴A=10m十n,B=10m+6-n,
∴P(M)=A+B=20m+6,Q(M)=A-B=2n -6,
∵A≥B,自然数M的个位数字不为0,
∴n为5、4或者3,
∵Q(M)=A-B=2n-6≠0,
∴n为5或4,
∴,
∴10m+3是奇数,
当n=5时,,
∵分子10m+3是奇数,分母为2是偶数,
∴该数不可能是整数,故此种情况不符合题意,应该舍去;
当n=4时,,
∵能被7整除,且m为1至9的自然数,
∴m只能等于6,
∴A=64,B=62,
∴M=A×B=64×62=3968.
故答案为:3968.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.先化简,再求值:
(1),其中x=-2.
(2),其中a=3.
【答案】(1)解:原式,


当x=-2时,
原式.
(2)解:原式[],


=(a﹣2)2.
当a时,原式=
=2﹣44
=6﹣4.
18.已知x2-5x+1=0.
(1)求x+的值.
(2)求x2+的值.
【答案】(1)解: ∵x2-5x+1=0,
∴x≠0,
∴等式两边同时除以x得:x-5+=0
∴ x+ =5.
(2)解:原式=(x+)2-2=52-2=25-2=23.
19.为增加学生们的阅读量,学校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍,购买“科普类”图书花费了3600元,购买“文学类”图书花费了2700元,其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%,购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本.
(1)求这两种图书的单价分别是多少元?
(2)学校决定再次购买这两种图书共100本,且总费用不超过1600元,求最多能购买“科普类”图书多少本?
【答案】(1)解:设“文学类”图书的单价为元,
根据题意得:,
解得,
检验:是原方程的解.

答:“文学类”图书的单价为15元,“科普类”图书的单价为18元;
(2)解:设能购买“科普类”图书本,
根据题意得:,
解得:,
为正整数,
取得最大整数解为33,
能购买“科普类”图书33本.
20.(1)已知,求;
(2)已知,求.
【答案】(1)解:移项,得,
整理,得,
即.
∵,
∴.
(2)解:由已知,得,
∴.
∵,
∴.
21.对于一些特殊的方程,我们给出两个定义:若两个方程有相同的一个解,则称这两个方程为“相似方程”;若两个方程有相同的整数解,则称这两个方程为“相伴方程”.
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”,并说明理由;
(2)已知关于,的二元一次方程与是“相伴方程”,求正整数的值.
【答案】(1)解:一元一次方程与分式方程不是“相似方程”,理由如下:
解一元一次方程,
解得:,
解分式方程,
解得:,
检验:当时,,
原分式方程无解,
一元一次方程与分式方程不是“相似方程”;
(2)解:由题意,两个方程由相同的整数解,


当时,方程无解,
当,即时,,即,
,均为整数,
,,,,
又取正整数,
或.
22.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)辨析:下列分式中,   是和谐分式 (填写序号即可);
①;②;③;④.
(2)理解:若a为整数,且为和谐分式,请写出a的值;
(3)应用:先化简,并求x取什么整数时,该式的值为整数?
【答案】(1)④
(2)解:∵为和谐分式,
∴能够因式分解,
∵a为整数,,,,
∴a= 4或4或5;
(3)解:原式
=
=
=

∵x≠ 2, 1,0,1,
∴当x= 3时,该分式的值为整数.
【解析】(1)∵①式的分子分母均不能因式分解,
∴①式不是“和谐分式”;
∵②的分母=(t+2b)(t 2b),但能够约分,
∴②式不是“和谐分式”;
∵③的分母=(x+y)(x y),能约分,
∴③不是“和谐分式”;
∵④的分子=(m+1)(m 1),不能约分,
∴④是“和谐分式”;
故答案为:④;
23.阅读下面材料,解答问题.
解方程: .
解:设 ,则原方程化为 .
方程两边同时乘 ,得 ,
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时, ,觕得 ;
当 时, ,解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨,
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题:
(1)若在方程 中,设 ,则原为程可化为   .
(2)若在方程 中,设 ,则原方 可化为   .
(3)利用上述换元法解方程 .
【答案】(1)
(2)
(3)解:原方程可化为 ,设 ,则原方程化为 ,
方程两讱同时乘 得 ,解得 ,
经检验 都是方程 的梖.
当 时, ,该方程无解;
当 时, ,解得 ,
经检验 是原分式方程的根,
∴原分式方程的根为
【解析】(1)设y=,则,
∴原方程可化为=0,
故答案为:=0;
(2)设y=,则,
∴原方程可化为=0,
故答案为:=0;
24.定义:若分式与分式的差等于它们的积,即,则称分式N是分式的“互联分式”.如与,因为,,所以是的“互联分式”.
(1)判断分式与分式是否是“互联分式”,请说明理由;
(2)小红在求分式的“互联分式”时,用了以下方法:
设的“互联分式”为,则,
,.
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”.
(3)解决问题:
仔细观察第(1)(2)小题的规律,请直接写出实数,的值,使是的“互联分式”.
【答案】(1)解:分式与分式是“互联分式”,理由如下:
∵,,
∴分式是分式的“互联分式”,
(2)解:设的“互联分式”为,则,
∴,
∴.
(3)解:由(1)(2)可得,的“互联分式”是,
∵是的“互联分式”
∴,
整理得
解得.
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