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浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列分式中，属于最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则x的值为 （ ）
A．2 B．0 C．-2 D．±2
4．解方程去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>-10 B．m≤-10
C．m≥-10且m≠-6 D．m>-10且m≠-6
7．某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（ ）
A．不盈利也不亏损 B．盈利30元
C．亏损30元 D．盈利10元
8．分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．x=-2
D．因为含有待定字母m，所以无法确定
10．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数 .
12．已知
13．若a，b互为倒数，则代数式的值为 .
14．若恒成立，则a+b= .
15．若 则 .
16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，再求值：
（1），其中x=-2．
（2），其中a=3．
18．已知x2-5x+1=0．
（1）求x+的值．
（2）求x2+的值．
19．为增加学生们的阅读量，学校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
20．（1）已知，求；
（2）已知，求．
21．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）辨析：下列分式中， 是和谐分式 （填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）理解：若a为整数，且为和谐分式，请写出a的值；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数？
23．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
24．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
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浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、当时，则该分式不一定有意义，
B、当时，则该分式不一定有意义，
C、∵∴则该分式一定有意义，
D、当时，则该分式不一定有意义，
故答案为：C.
2．下列分式中，属于最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
B、故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
C、分式的分子与分母中除1以外，没有其它的公因式，故此选项中的分式是最简分式，符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意.
故答案为：C.
3．若分式的值为0，则x的值为 （ ）
A．2 B．0 C．-2 D．±2
【答案】A
【解析】由题意可得，
解得x=2.
故答案为：A.
4．解方程去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
即
故答案为：D.
5．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵x、y的值都扩大为原来的三倍，
∴，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意.
故答案为：D.
6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>-10 B．m≤-10
C．m≥-10且m≠-6 D．m>-10且m≠-6
【答案】D
【解析】原方程可化为：，
方程两边同时乘以（x-2）得：
3x=-m+5(x-2)，
解得：，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0，x-2≠0，
即：，≠2，
解得：m＞-10且m≠-6.
故答案为：D.
7．某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（ ）
A．不盈利也不亏损 B．盈利30元
C．亏损30元 D．盈利10元
【答案】C
【解析】设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，
得：
解得：
得：
解得：
故答案为：C.
8．分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】∵x2+2＞x2+1＞0，
∴＞1，
∴ 分式的值，可以等于2.
故答案为：D.
9．若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．x=-2
D．因为含有待定字母m，所以无法确定
【答案】B
【解析】∵关于x的方程有增根，
∴x-1=0，解得：x=1.
故答案为：B.
10．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
【答案】B
【解析】
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化成整数 .
【答案】
【解析】==.
故答案为：.
12．已知
【答案】
【解析】∵
∴
故答案为：2
13．若a，b互为倒数，则代数式的值为 .
【答案】1
【解析】∵a，b互为倒数 ，
∴ab=1，
∴÷（）==（a+b）× =ab =1.
故答案为：1.
14．若恒成立，则a+b= .
【答案】4
【解析】等号右边=，
=，
∴
解得：
∴a+b=4.
故答案为：4.
15．若 则 .
【答案】2
【解析】
故答案为：2
16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
【答案】（1）165
（2）3968
【解析】（1）∵自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M=11×15=165，
故答案为：165；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，
∴A=10m十n，B=10m+6-n，
∴P(M)=A+B=20m+6，Q(M)=A-B=2n -6，
∵A≥B，自然数M的个位数字不为0，
∴n为5、4或者3，
∵Q（M）=A-B=2n-6≠0，
∴n为5或4，
∴，
∴10m+3是奇数，
当n=5时，，
∵分子10m+3是奇数，分母为2是偶数，
∴该数不可能是整数，故此种情况不符合题意，应该舍去；
当n=4时，，
∵能被7整除，且m为1至9的自然数，
∴m只能等于6，
∴A=64，B=62，
∴M=A×B=64×62=3968.
故答案为：3968.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，再求值：
（1），其中x=-2．
（2），其中a=3．
【答案】（1）解：原式，
，
，
当x=-2时，
原式.
（2）解：原式[]，
，
，
＝（a﹣2）2.
当a时，原式＝
＝2﹣44
＝6﹣4．
18．已知x2-5x+1=0．
（1）求x+的值．
（2）求x2+的值．
【答案】（1）解： ∵x2-5x+1=0，
∴x≠0，
∴等式两边同时除以x得：x-5+=0
∴ x+ =5.
（2）解：原式=（x+）2-2=52-2=25-2=23.
19．为增加学生们的阅读量，学校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【答案】（1）解：设“文学类”图书的单价为元，
根据题意得：，
解得，
检验：是原方程的解．
，
答：“文学类”图书的单价为15元，“科普类”图书的单价为18元；
（2）解：设能购买“科普类”图书本，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
取得最大整数解为33，
能购买“科普类”图书33本．
20．（1）已知，求；
（2）已知，求．
【答案】（1）解：移项，得，
整理，得，
即．
∵，
∴．
（2）解：由已知，得，
∴．
∵，
∴．
21．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
【答案】（1）解：一元一次方程与分式方程不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程，
解得：，
解分式方程，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程无解，
一元一次方程与分式方程不是“相似方程”；
（2）解：由题意，两个方程由相同的整数解，
，
，
当时，方程无解，
当，即时，，即，
，均为整数，
，，，，
又取正整数，
或．
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）辨析：下列分式中， 是和谐分式 （填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）理解：若a为整数，且为和谐分式，请写出a的值；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数？
【答案】（1）④
（2）解：∵为和谐分式，
∴能够因式分解，
∵a为整数，，，，
∴a＝ 4或4或5；
（3）解：原式
=
=
=
，
∵x≠ 2， 1，0，1，
∴当x＝ 3时，该分式的值为整数.
【解析】（1）∵①式的分子分母均不能因式分解，
∴①式不是“和谐分式”；
∵②的分母＝（t＋2b）（t 2b），但能够约分，
∴②式不是“和谐分式”；
∵③的分母＝（x＋y）（x y），能约分，
∴③不是“和谐分式”；
∵④的分子＝（m＋1）（m 1），不能约分，
∴④是“和谐分式”；
故答案为：④；
23．阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .
（2）若在方程 中，设 ，则原方 可化为 .
（3）利用上述换元法解方程 .
【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ，则原方程化为 ，
方程两讱同时乘 得 ，解得 ，
经检验 都是方程 的梖.
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原分式方程的根为
【解析】（1）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
（2）设y=，则，
∴原方程可化为=0，
故答案为：=0；
24．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
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