中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．a
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知其中a>b>0，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P=Q B．P>Q C．P5．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数 a，b满足ab=1，设 则 M，N的大小关系是 （ ）
A．M>N B．M7．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
8．已知 则 S2024的值为 （ ）
A．-3a B． C．a D．-a
9．已知则的值为（ ）
A．8 B． C．±2. D．±
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 已 知 则 的 值为 .
12．已知，则代数式的值为 .
13．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下 例如若x*y=2，则 的值为 .
14．已知则 .
15．对于实数x，y定义一种新运算“”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ．
16．当分别取值时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，然后从这三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．
18．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
19．已知，关于x的分式方程=1.
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解.
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程无解.
20．为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多1元，用150元可以购买的口罩的数量和用120元可以购买的酒精湿巾的数量相同．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
（2）妈妈给了小明80元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
21．对x，y定义一种新运算 ，规定： (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算.例如： b.已知 .
（1）求a，b
（2）若T(m，m+3)=-1，求 的值.
22．根据你发现的规律解答下列问题.
，
，
，
（1）计算： ；
（2）探究： (用今有 的式子表示)；
（3）求 的值.(用含有 的式子表示)
23．观察下列各式：
，，
（1）从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格： ；
（2）用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
（3）已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值.
24．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如：．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：分式是 分式填“真”或“假”；
把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式：
．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式 培优测试卷 2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 则本项不符合题意；
B、 ，则本项符合题意；
C、 则本项不符合题意；
D、 则本项不符合题意；
故答案为：B.
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．a
【答案】C
【解析】原式=
=
=
=.
故答案为：C.
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式=
=
=，
故答案为：B.
4．已知其中a>b>0，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P=Q B．P>Q C．P【答案】B
【解析】∵
∴
∵
∴ ∴
故答案为：B.
5．随着快递业务的增长，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件的件数.设原来平均每人每周投递快件x件，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：
故答案为：D.
6．已知实数 a，b满足ab=1，设 则 M，N的大小关系是 （ ）
A．M>N B．M【答案】C
【解析】∵ =
= = =
= = =0
∴M＝N
故答案为：C
7．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
【答案】D
【解析】去分母，得：
m+1-x=0，
∵原分式方程无解，
∴x=4，
∴当x=4时，m=3.
∴当m=3时，原分式方程无解.
故答案为：D.
8．已知 则 S2024的值为 （ ）
A．-3a B． C．a D．-a
【答案】B
【解析】
S2
S3
S4
……
根据上面各式规律可知：
故答案为：B
9．已知则的值为（ ）
A．8 B． C．±2. D．±
【答案】D
【解析】∵，
∴
∴
∴
∵
故答案为：D.
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 已 知 则 的 值为 .
【答案】6
【解析】∵，
∴b-a=4ab，
∴a-b=-4ab，
∴.
故答案为：6.
12．已知，则代数式的值为 .
【答案】2
【解析】
=
=
=x-1
=3-1
=2.
故答案为：2.
13．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下 例如若x*y=2，则 的值为 .
【答案】1012
【解析】由题意可得，
∴x-y=2xy，
∴.
故答案为：1012.
14．已知则 .
【答案】22
【解析】∵m-5m+1=0，
∴m-5+1m=0， 5m=m2+1，
∴m+1m=5，
∴2m2-5m+=2m2-（m2+1）+ =2m2-m2-1+ =m2+-1=（m+1m）2-2-1 =52-3 =22.
故答案为：22.
15．对于实数x，y定义一种新运算“”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ．
【答案】0或-1
【解析】原分式方程可化为=，
给方程两边同时乘以1-x，得x=-mx-(1-x)，
∴x=-mx-1+x，
∴mx+1=0.
∵分式方程无解，
∴x=1或mx=0，
∴m+1=0或m=0，
∴m=0或-1.
故答案为：0或-1.
16．当分别取值时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ．
【答案】
【解析】把代入 ，
得 ，
把代入 ，
得 ，
，
当分别取值 和时，所得结果之和为0，
，
，
，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简，然后从这三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
．
若分式有意义，则只能取0.
则当时，原式．
18．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
【答案】（1）解：把 代入方程，得 ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验 是分式方程的根.
（2）解：分式方程去分母，得 .
∵分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入 ，得 ，
解得 .
19．已知，关于x的分式方程=1.
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解.
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程无解.
【答案】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
2（x-5）-（1-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
解得：x=-.
检验：把x=-代入（2x+3）（x-5）≠0，
∴原分式方程的解为x=-.
（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：
方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
（x-5）-（b-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
去括号，得：x-5+2x2+3x-2bx-3b=2x2-7x-15，
移项、合并同类项，得（11-2b）x=3b-10，
①当11-2b=0时，即b=，原分式方程无解；
②当11-2b≠0时，解得：x=，
∴当x=-时，原分式方程无解，即=-，此时b不存在；
当x=5时，原分式方程无解，即=5时，此时b=5.
综上所述，b=或5时，分式方程无解.
20．为有效防控甲型流感，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知一包口罩的价格比一包酒精湿巾多1元，用150元可以购买的口罩的数量和用120元可以购买的酒精湿巾的数量相同．
（1）求每包口罩和每包酒精湿巾的单价．
（2）妈妈给了小明80元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），请问小明有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设每包酒精湿中的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为4元．
（2）解：设小明购买口罩包，酒精湿巾包，
由题意得：，
∴，
、为正整数，
或或，
小明有3种购买方案：
①购买口罩4包，酒精湿巾15包；
②购买口罩8包，酒精湿巾10包；
③购买口罩12包，酒精湿巾5包．
21．对x，y定义一种新运算 ，规定： (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算.例如： b.已知 .
（1）求a，b
（2）若T(m，m+3)=-1，求 的值.
【答案】（1）解：根据新运算得 ，①
，即 ，②
①+②得3a=3，即 ，
把 代入①得
（2）解：根据运算 ，得 ，解得 ，经检验 是分式方程的根.
∴
22．根据你发现的规律解答下列问题.
，
，
，
（1）计算： ；
（2）探究： (用今有 的式子表示)；
（3）求 的值.(用含有 的式子表示)
【答案】（1）
（2）
（3）解：
=
=
=
【解析】(1)
=
=1-
= .
(2)
=
=
= .
23．观察下列各式：
，，
（1）从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格： ；
（2）用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
（3）已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值.
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，
∴，
设（），
∴
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知，
当时，则
，
∵，
∴，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵
=
，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式；
【解析】（1）根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为：；
24．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如：．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：分式是 分式填“真”或“假”；
把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式：
．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数．
【答案】（1）真；x；
（2）解：
=
=
，
为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
或或或；
（3）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，
，，
∴
=
=
=
，
由题意可得，，，且，均为整数，
这个三位数的平方能被这个两位数整除，
为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的值，
综上，满足条件的两位数为36．
【解析】（1）①分子的次数小于分母的次数，
分式是真分式；
故答案为：真；
②=，
故答案为：，；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
