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第4章 因式分解单元培优测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．多项式的公因式是
A．3 B． C． D．
【答案】
【解析】多项式的公因式是，
故选．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
、符合因式分解的定义，故本选项正确；
、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误；
故选．
3．若能用完全平方公式分解因式，则
A． B．4 C．或4 D．或8
【答案】
【解析】能用完全平方公式分解因式，
或，
则或．
故选．
4．下列多项式中，能分解因式的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】、，故符合题意；
、，没把多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；
故选．
5．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．原式，故此选项不符合题意；
．原式，故此选项不符合题意；
．原式，故此选项不符合题意；
．原式，故此选项符合题意；
故选．
6．若能分解为，那么、的值是
A．7、2 B．、2 C．、 D．7、
【答案】B
【解析】根据题意得：，
，，
解得：，．
故选．
7．把多项式分解因式等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】原式
，
故选．
8．如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知，则这个长方形场地的面积为 平方米．
A．32 B．24 C．16 D．12
【答案】
【解析】由题意得（米，，
，
解得，
个长方形场地的面积为24平方米．
故选．
9．对于算式，下列说法错误的是
A．能被98整除 B．能被99整除 C．能被100整除 D．能被101整除
【答案】
【解析】
，
原式能被99，100，98整除，
故选．
10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是
A．301050 B．103020 C．305010 D．501030
【答案】
【解析】
，
当，时，
，，，
组成的密码应包含30，50，10，
不能组成的密码为103020．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解： ．
【答案】．
【解析】
，
故答案为：．
12．若，为常数，多项式可因式分解为，则的值为 ．
【答案】．
【解析】，
，，
．
故答案为：．
13．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是 ．（只写一个符合条件的单项式）
【答案】（答案不唯一）．
【解析】把和看作是两平方项，则一次项可以为，
可以添加的单项式为，
故答案为：（答案不唯一）．
14．若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
．
故答案为：．
15．小明抄在作业本上的式子 “ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或．
【解析】①当 时，，
②当 时，，
综上所述整式分解因式的结果：或．
16．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）
（2）
试用上述方法分解因式 ．
【答案】．
【解析】原式
．
故答案为．
三．解答题（共8小题）
17．因式分解：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．如果，求的值．
【解析】，得
，．
．
19．已知一个关于的多项式有一个因式，请先求出、的值并将这个多项式分解因式．
【解析】已知一个关于的多项式有一个因式，
设另一个因式为，
则
，
，
，，，，
，，，，
．
20．学习完因式分解后，徐老师在四张卡片上分别写上以下四个多项式：，，，．并指定两位同学做游戏，让他们每人抽一张卡片，用卡片上的两个多项式进行加法运算，然后判断这个多项式能否因式分解．若能，则把结果因式分解；若不能，则继续下轮游戏．如果请你和你的同桌也参与游戏，试写出一种结果．
【解析】与的和能因式分解，
．
21．用简便方法计算：
（1）；
（2）；
（3）因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用，简算
①；
②．
【解析】（1）；
（2）
；
（3）①
；
②．
．
22．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解法一：设另一个因式为，得
则，
解得，．
另一个因式为，的值为．
解法二：设另一个因式为，得
当时，
即，解得
另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数 ．
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
【解析】（1）设另一个因式为，得
则，
，解得，．
故答案为：1．
（2）设另一个因式为，得
则
，
解得，，
另一个因式为，的值为5．
23．阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解：
①；
②．
（2）深入探究：说明多项式的值总是一个正数？
【解析】（1）①
；
②
；
（2）．
．
．
多项式的值总是一个正数．
24．阅读下列材料：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
应用一：分解因式． 我们可以进行以下操作：先配方 再利用平方差公式可得； 应用二：求代数式的最小值． 解： 当，即时，的最小值是
【问题解决】
（1）分解因式： ．
（2）代数式的最小值 ；
（3）某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少米，宽增加米，请问：当取何值时，矩形区域的面积最大？最大值是多少？
【解析】（1）；
（2）．
，
．
代数式的最小值是2；
（3）．
，
，即时，最大，为36．
答：当取2时，矩形区域的面积最大，最大值是36．
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第4章 因式分解单元培优测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．多项式的公因式是
A．3 B． C． D．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为
A． B．
C． D．
3．若能用完全平方公式分解因式，则
A． B．4 C．或4 D．或8
4．下列多项式中，能分解因式的是
A． B． C． D．
5．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是
A． B．
C． D．
6．若能分解为，那么、的值是
A．7、2 B．、2 C．、 D．7、
7．把多项式分解因式等于
A． B． C． D．
8．如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知，则这个长方形场地的面积为 平方米．
A．32 B．24 C．16 D．12
9．对于算式，下列说法错误的是
A．能被98整除 B．能被99整除 C．能被100整除 D．能被101整除
10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是
A．301050 B．103020 C．305010 D．501030
二．填空题（共6小题）
11．因式分解： ．
12．若，为常数，多项式可因式分解为，则的值为 ．
13．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是 ．（只写一个符合条件的单项式）
14．若，，则 ．
15．小明抄在作业本上的式子 “ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
16．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）
（2）
试用上述方法分解因式 ．
三．解答题（共8小题）
17．因式分解：
（1）；
（2）．
18．如果，求的值．
19．已知一个关于的多项式有一个因式，请先求出、的值并将这个多项式分解因式．
20．学习完因式分解后，徐老师在四张卡片上分别写上以下四个多项式：，，，．并指定两位同学做游戏，让他们每人抽一张卡片，用卡片上的两个多项式进行加法运算，然后判断这个多项式能否因式分解．若能，则把结果因式分解；若不能，则继续下轮游戏．如果请你和你的同桌也参与游戏，试写出一种结果．
21．用简便方法计算：
（1）；
（2）；
（3）因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用，简算
①；
②．
22．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解法一：设另一个因式为，得
则，
解得，．
另一个因式为，的值为．
解法二：设另一个因式为，得
当时，
即，解得
另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数 ．
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
23．阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解：
①；
②．
（2）深入探究：说明多项式的值总是一个正数？
24．阅读下列材料：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
应用一：分解因式． 我们可以进行以下操作：先配方 再利用平方差公式可得； 应用二：求代数式的最小值． 解： 当，即时，的最小值是
【问题解决】
（1）分解因式： ．
（2）代数式的最小值 ；
（3）某养殖场要将一块长为8米宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少米，宽增加米，请问：当取何值时，矩形区域的面积最大？最大值是多少？
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