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第3章 整式的乘除常考（13个考点50题专练）
一．幂的乘方与积的乘方（共3小题）
1．（2023春 诸暨市期中）已知，，其中，为正整数，则
A． B． C． D．
2．（2023春 余杭区月考）若，，则 ．
3．（2023春 瑞安市期中）计算： ．
二．同底数幂的除法（共3小题）
4．（2023 嘉善县一模）下列运算正确的是
A． B． C． D．
5．（2023春 开化县期中）若，，则等于
A．3 B．11 C． D．7
6．（2023春 新昌县期中）已知，，则 ．
三．单项式乘单项式（共2小题）
7．（2023春 滨江区校级期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
8．（2023春 柯桥区期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
四．多项式乘多项式（共8小题）
9．（2023春 慈溪市校级期中）如果的乘积中不含一次项，则为
A．5 B． C． D．
10．（2023春 长兴县期中）已知，，则的值为
A．13 B．3 C． D．
11．（2023春 绍兴期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A． B．
C． D．
12．（2023春 金华期末）使的乘积不含和，则、的值为
A．， B．， C．， D．，
13．（2023春 海曙区期中）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为
A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7
14．（2023春 海曙区校级期末）若的展开式中不含和项，则的值为 ．
15．（2023春 苍南县校级期末）已知，则代数式的值为 ．
16．（2023春 吴兴区校级期中）已知与的乘积中不含和项，求、的值．
五．完全平方公式（共7小题）
17．（2023春 杭州期中）若，，则的值为
A．9 B． C．27 D．
18．（2023春 余杭区月考）若、是某长方形的长和宽，且有，，则该长方形面积为
A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2023春 富阳区期中）若，，则的值为
A．3 B．5 C．17 D．
20．（2023春 绍兴期中）设，则
A． B． C． D．
21．（2023春 新昌县期中）若，，则
A． B． C．2 D．1
22．（2023春 宁波期中）已知实数、、满足，则的最大值是
A．12 B．20 C．28 D．36
23．（2023春 柯桥区期末）已知，，则代数式的值为 ．
六．完全平方公式的几何背景（共8小题）
24．（2023春 义乌市校级期中）如图，在长方形中，，，其内部有边长为的正方形与边长为的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为
A．20 B．25 C． D．
25．（2023春 上城区校级期中）一个正方形的边长增加，它的面积增加了，则原来这个正方形的面积为 ．
26．（2023春 慈溪市校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
27．（2023春 湖州期中）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，．
则，，．
解决问题：
（1）若满足．求的值；
（2）如图，在矩形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在矩形外侧作正方形和，若矩形的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．
28．（2023春 滨江区校级期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1，2，，若阴影部分的面积分别记为，，．
（1）用含，的代数式分别表示，，；
（2）若，，求的值；
（3）若对于任意的正数、，都有，为常数），求，的值．
29．（2022秋 灵宝市期末）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：、、之间的等量关系式为 ；
（2）若、均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，、分别表示边长为、的正方形的面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
30．（2023春 宁波期中）把一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形（图，然后如图2围成一个大的长方形．
（1）用两种不同的方法求图2中阴影正方形的面积．
（2）观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．
（3）若，，求的值．
31．（2023春 鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数，，满足，，求的值；
②若三个实数，，满足，，求的值．
七．完全平方式（共3小题）
32．（2023春 上城区校级期中）如果是完全平方式，那么的值为
A．5或1 B．7或 C．5 D．7
33．（2023春 开化县期末）若多项式是完全平方式，则的值是 ．
34．（2023春 柯桥区期末）一个正方形的面积是，则此正方形的边长是 ．
八．平方差公式（共3小题）
35．（2023春 瓯海区月考）下列各式不能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
36．（2023春 南浔区期中）下列各式能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
37．（2023春 吴兴区期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
九．平方差公式的几何背景（共2小题）
38．（2023 城区二模）如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②，则上述操作所能验证的公式是
A． B．
C． D．
39．（2023春 开化县校级期中）如图①所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含，的式子表示和．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①；
②．
一十．整式的除法（共2小题）
40．（2023春 瑞安市期中）一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则宽为 ．
41．（2023春 瓯海区月考）计算： ．
一十一．整式的混合运算（共3小题）
42．（2023春 苍南县校级期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为．若，则的值为
A． B． C． D．
43．（2023春 镇海区校级期末）蛟蛟和川川一起玩拼图游戏，蛟蛟将六块拼图拼成如图所示的矩形，其中①②③④为正方形，川川发现如果知道⑤⑥两块拼图的周长差，就可以知道其中一块正方形的边长了，那么这个正方形为
A．① B．② C．③ D．④
44．（2023春 开化县期中）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是
A． B． C． D．
一十二．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
45．（2023春 苍南县校级期末）若满足关系式，则代数式的值是 ．
46．（2023春 瓯海区校级月考）先化简，再求值：，其中，．
47．（2023春 绍兴期中）先化简，再求值：，其中．
48．（2023春 义乌市校级期中）定义：对于形如的多项式，，为常数，其中，若取两个不相等的数值，时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作，．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值无“，记作，．
（1）下列各组数值中，是多项式的“等值元“的有 ．（填写序号）
① 和；②1和；③和．
（2）若，是 的一组“等值元”求的值；
一十三．负整数指数幂（共2小题）
49．（2023春 东阳市期末）已知，，，那么，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
50．（2023春 拱墅区校级期中）若有意义，则的取值范围是
A． B． C．或 D．且
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第3章 整式的乘除常考（13个考点50题专练）
一．幂的乘方与积的乘方（共3小题）
1．（2023春 诸暨市期中）已知，，其中，为正整数，则
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方运算法则，把和写成底数是2的幂，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2023春 余杭区月考）若，，则 45 ．
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将所求式子进行变形，，代入计算即可．
【解答】解：，
故答案为：45．
【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂乘法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（2023春 瑞安市期中）计算： 2 ．
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解答本题的关键．
二．同底数幂的除法（共3小题）
4．（2023 嘉善县一模）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：、应为，故本选项错误；
、，正确；
、应为，故本选项错误；
、应为，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
5．（2023春 开化县期中）若，，则等于
A．3 B．11 C． D．7
【分析】根据同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
6．（2023春 新昌县期中）已知，，则 ．
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用把表示成、的形式，然后代入数据计算即可．
【解答】解：，，
，
，
．
故填．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
三．单项式乘单项式（共2小题）
7．（2023春 滨江区校级期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同类项定义，同底数幂乘法法则，单项式乘以单项式，幂的乘方法则依次计算并判断．
【解答】解：、与不是同类项，故该项不正确，不符合题意；
、，故该项不正确，不符合题意；
、，故该项正确，符合题意；
、，故该项不正确，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了整式的计算，正确掌握同类项定义，同底数幂乘法法则，单项式乘以单项式，幂的乘方法则是解题的关键．
8．（2023春 柯桥区期末）下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】、利用合并同类项法则判断即可；、根据同底数幂的除法法则判断即可；、根据单项式乘单项式的运算法则判断即可；、根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：、原式，不合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不合题意；
、原式，不合题意；
故选：．
【点评】此题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
四．多项式乘多项式（共8小题）
9．（2023春 慈溪市校级期中）如果的乘积中不含一次项，则为
A．5 B． C． D．
【分析】把式子展开，找到所有项的系数，令其为0，求解即可．
【解答】解：，
又乘积中不含一次项，
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
10．（2023春 长兴县期中）已知，，则的值为
A．13 B．3 C． D．
【分析】先根据多项式乘多项式法则将式子展开，再将，整体代入即可求解．
【解答】解：
，
，，
原式，
故选：．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则及运用整体代入思想是解题的关键．
11．（2023春 绍兴期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A． B．
C． D．
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解答】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
故选：．
【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
12．（2023春 金华期末）使的乘积不含和，则、的值为
A．， B．， C．， D．，
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据乘积不含和项，求出与的值即可．
【解答】解：原式，
由乘积不含和项，得到，，
解得：，，
故选：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
13．（2023春 海曙区期中）如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为
A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7
【分析】由，得类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，因此需要类卡片2张，类卡片6张，类卡片7张．
【解答】解：长为，宽为的大长方形的面积为：，
类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为，
需要类卡片2张，类卡片6张，类卡片7张．
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
14．（2023春 海曙区校级期末）若的展开式中不含和项，则的值为 17 ．
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得、的值．
【解答】解：原式
，
展开式中不含和项，
，，
解得：，，
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
15．（2023春 苍南县校级期末）已知，则代数式的值为 ．
【分析】将代入原式，计算可得．
【解答】解：当时，
原式
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．
16．（2023春 吴兴区校级期中）已知与的乘积中不含和项，求、的值．
【分析】把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：
．
乘积中不含与项，
，，
，．
【点评】考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
五．完全平方公式（共7小题）
17．（2023春 杭州期中）若，，则的值为
A．9 B． C．27 D．
【分析】由可求出，将代入该式中即可求出的值，将的值代入求值即可．
【解答】解：，
，
又，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，熟练掌握两数和或差的平方，两数平方的和，两数乘积的二倍三者之间的关系是解题的关键．
18．（2023春 余杭区月考）若、是某长方形的长和宽，且有，，则该长方形面积为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】将所给两个式子作差可得，即可求长方形面积．
【解答】解：，，
，
，
长方形的面积为3，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式，理解题意，能灵活运用公式是解题的关键．
19．（2023春 富阳区期中）若，，则的值为
A．3 B．5 C．17 D．
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特点，灵活变形是解决问题的关键．
20．（2023春 绍兴期中）设，则
A． B． C． D．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，即可确定出．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．（2023春 新昌县期中）若，，则
A． B． C．2 D．1
【分析】先将完全平方公式进行变形，然后将已知条件整体代入即可求出答案．
【解答】解：，，，
；
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记完全平方公式：是解题的关键．
22．（2023春 宁波期中）已知实数、、满足，则的最大值是
A．12 B．20 C．28 D．36
【分析】由题意实数、、满足，可以将，用和表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：实数、、满足，
当时的最大值是28．
故选：．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
23．（2023春 柯桥区期末）已知，，则代数式的值为 49 ．
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：①，②，
②①得，
，
故答案为：49．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题关键在于牢记该公式．
六．完全平方公式的几何背景（共8小题）
24．（2023春 义乌市校级期中）如图，在长方形中，，，其内部有边长为的正方形与边长为的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为
A．20 B．25 C． D．
【分析】先利用边长，推导出，则可得，，从而得到，再由，求出，可求，根据，求出，再由，求出，即为所求．
【解答】解：两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形与正方形的面积之和为25，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，矩形的面积公式，正方形的面积公式是解题的关键．
25．（2023春 上城区校级期中）一个正方形的边长增加，它的面积增加了，则原来这个正方形的面积为 36 ．
【分析】设这个正方形的边长原来是，列方程得，求解即可．
【解答】解：设这个正方形的边长原来是，列式得，
解得，
所以这个正方形的面积是，
故答案为：36．
【点评】此题考查了正方形的性质，一元一次方程的应用，正确掌握正方形的性质是解题的关键．
26．（2023春 慈溪市校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行应用即可；
（3）设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可
【解答】解：（1）图2，大正方形的边长为，
因此面积为，
小正方形的边长为，
因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得，，
故答案为：；
（2）由（1）得，，
即，
或；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
由于，两正方形的面积和，
因此，，
，即，
，
阴影部分的面积为．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提．
27．（2023春 湖州期中）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，．
则，，．
解决问题：
（1）若满足．求的值；
（2）如图，在矩形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在矩形外侧作正方形和，若矩形的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据题目提供的解题方法进行计算即可；
（2）设，，则，，求出即可．
【解答】解：（1）设，．则，
而，
；
（2）由，，，则，，
矩形的面积为160平方单位，
，
，
设，，则，，
，
，
即阴影部分的面积为384．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是解决问题的前提．
28．（2023春 滨江区校级期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1，2，，若阴影部分的面积分别记为，，．
（1）用含，的代数式分别表示，，；
（2）若，，求的值；
（3）若对于任意的正数、，都有，为常数），求，的值．
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是；图2中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把，和代入（1）中，便可解出，值，整体代入；
（3）把（1）中的三个等式代入，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．
【解答】解：（1）图1中，阴影的边长都是，所以；
图2中，阴影面积；
图3中，．
（2）当，时，
，
解得，，代入，得，
，
（3）因为；；．
对于任意的正数、，都有，为常数），
则，
整理得：，
由于，为常数，故由待定系数法得：
，，解得，．
【点评】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力，从而求得，值．
29．（2022秋 灵宝市期末）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：、、之间的等量关系式为 ；
（2）若、均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，、分别表示边长为、的正方形的面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解．
（2）根据求解．
（3）由，，求解．
【解答】解：（1）由图象可得：．
故答案为：．
（2），
，
，，
．
．
（3），
，
．
【点评】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
30．（2023春 宁波期中）把一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形（图，然后如图2围成一个大的长方形．
（1）用两种不同的方法求图2中阴影正方形的面积．
（2）观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．
（3）若，，求的值．
【分析】（1）方法1：阴影部分面积等于边长为的大正方形面积减去四个长方形面积（长为，宽为；方法2：阴影部分面积等于边长为的小正方形面积；
（2）根据（1）种两种方法表示的面积相等即可得到答案；
（3）根据（2）中的关系式求解即可．
【解答】解：（1）方法
阴影部分面积等于边长为的大正方形面积减去四个长方形面积（长为，宽为，
；
方法
阴影部分面积等于边长为的小正方形面积，
；
（2）（1）中两种方法表示的阴影部分面积相等，
；
（3），
，
，，
，
．
【点评】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，列代数式，完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
31．（2023春 鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数，，满足，，求的值；
②若三个实数，，满足，，求的值．
【分析】（1）根据图形得出等式即可；
（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；
②先求出，再根据求出即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①，，，
；
②，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
七．完全平方式（共3小题）
32．（2023春 上城区校级期中）如果是完全平方式，那么的值为
A．5或1 B．7或 C．5 D．7
【分析】完全平方公式：这里首末两项是和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和4积的2倍，故，所以或．
【解答】解：，
在中，，
解得：或．
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
33．（2023春 开化县期末）若多项式是完全平方式，则的值是 ．
【分析】根据已知可得完全平方式是，依据对应相等可得，解得．
【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是两数和的平方，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是两数差的平方，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．
34．（2023春 柯桥区期末）一个正方形的面积是，则此正方形的边长是 ．
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：一个正方形的面积是，
此正方形的边长是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
八．平方差公式（共3小题）
35．（2023春 瓯海区月考）下列各式不能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
【解答】解：．，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
．原式，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
．原式，不能利用平方差公式，因此选项符合题意；
．原式，能利用平方差公式，因此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的前提．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
36．（2023春 南浔区期中）下列各式能用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：能用平方差公式计算的是．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
37．（2023春 吴兴区期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：不符合平方差公式的特点，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
九．平方差公式的几何背景（共2小题）
38．（2023 城区二模）如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②，则上述操作所能验证的公式是
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
【解答】解：由图①得，空白图形面积；
由图②得，空白图形面积．
故可得公式：．所以可排除，，选项．
所以本题答案为．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
39．（2023春 开化县校级期中）如图①所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含，的式子表示和．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①；
②．
【分析】（1）图①中的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②中的阴影部分是上底为，下底为，高为的梯形，利用梯形面积公式可得答案；
（2）图①、图②面积相等可得等式；
（3）①连续两次利用平方差公式可求结果；②将转化为，即可利用平方差公式求出结果．
【解答】解：（1），；
（2）；
（3）①原式；
②
．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
一十．整式的除法（共2小题）
40．（2023春 瑞安市期中）一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则宽为 ．
【分析】根据长方形的宽面积长列出式子，根据整式的除法法则计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
41．（2023春 瓯海区月考）计算： ．
【分析】根据积的乘方和整式的除法法则求解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了积的乘方和整式的除法，掌握积的乘方和整式的除法是关键．
一十一．整式的混合运算（共3小题）
42．（2023春 苍南县校级期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为．若，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入，即可求解．
【解答】解：设大长方形的宽为，
由图2知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
43．（2023春 镇海区校级期末）蛟蛟和川川一起玩拼图游戏，蛟蛟将六块拼图拼成如图所示的矩形，其中①②③④为正方形，川川发现如果知道⑤⑥两块拼图的周长差，就可以知道其中一块正方形的边长了，那么这个正方形为
A．① B．② C．③ D．④
【分析】设①的边长为，②的边长为，③的边长为④的边长为，观察图中几个图形之间的边之间的数量关系，用含、、、的整式把⑤⑥的周长表示出来，然后相减看与几号图形的边长有关即可．
【解答】解：设①的边长为，②的边长为，③的边长为④的边长为，
观察图片中⑤的周长为：，
观察图片中⑥的周长为：，
⑤的周长⑥的周长的差是：，
与图片④的边长有关，
故选：．
【点评】本题考查了整式的加减，几个整式的相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号合并同类项，整式的加减实质就是合并同类项．
44．（2023春 开化县期中）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是
A． B． C． D．
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可．
【解答】解：由图可得，
，
，
，
，
，
即．
故选：．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的计算方法是关键．
一十二．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
45．（2023春 苍南县校级期末）若满足关系式，则代数式的值是 ．
【分析】设，，根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：设，，
则，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
46．（2023春 瓯海区校级月考）先化简，再求值：，其中，．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
，
当，时，原式
．
【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
47．（2023春 绍兴期中）先化简，再求值：，其中．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
48．（2023春 义乌市校级期中）定义：对于形如的多项式，，为常数，其中，若取两个不相等的数值，时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作，．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值无“，记作，．
（1）下列各组数值中，是多项式的“等值元“的有 ①③ ．（填写序号）
① 和；②1和；③和．
（2）若，是 的一组“等值元”求的值；
【分析】（1）将各组的数值代入计算，再根据“等值元”的新定义判断即可；
（2）根据“等值元”的新定义得出含的方程，即，再求解即可．
【解答】解：（1）将 和分别代入多项式中，
即，，，
①符合题意；
将1 和分别代入多项式中，
即，，，
②不符合题意；
将 和分别代入多项式中，
即，，，
③符合题意；
综上，多项式的“等值元“的有①③，
故答案为：①③．
（2），是 的一组“等值元”，
，
解得：．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则和题目中的新定义是解题的关键．
一十三．负整数指数幂（共2小题）
49．（2023春 东阳市期末）已知，，，那么，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】先将各数化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案．
【解答】解：，，，
，
故选：．
【点评】本题考查实数大小比较，解题的关键是正确化简原数，本题属于基础题型．
50．（2023春 拱墅区校级期中）若有意义，则的取值范围是
A． B． C．或 D．且
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于的不等式组，解不等式组即可求出的范围．
【解答】解：有意义，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的知识，即：零指数幂：；负整数指数幂：，为正整数）．
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