浙教版数学七年级下册4.3 用乘法公式分解因式 同步练习 含解析

浙教版数学七年级下册4.3同步练习
一、选择题
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B．2a-b C． D．
2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是 （　　）
A． B． C． D．
3．已知是完全平方式，则常数k可以取（　　）
A． B． C． D．
4．下列因式分解中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
6．计算：101×1022-101×982=（　　）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
7．已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 的值为 （　　）
A．25 B．50 C．75 D．100
8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （　　）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
二、填空题
9．分解因式：(1)　 　(2) 　 　
10．已知是一个完全平方式，则m的值是：　 　．
11． 规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为　 　．
12．若，且，则代数式的值为　 　．
13．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是　 　；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是　 　．
三、解答题
14．已知A=a+2，B=a2+a-7，其中a>2，求出A与B哪个大？
15．
（1）分解因式：
　 　；
　 　.
（2）根据以上两式，试求当x，y各取何值时，的值最小 请求出最小值.
16．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在聊天.老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195 ”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩的年龄的平方差也是195.”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩的年龄的平方差也是195.”请你想一想，这些人的年龄各是多少岁？
17．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：x2-y2=（x+y）（x-y）.
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式和完全平方公式逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：是完全平方式，
，
，
故答案为：C．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、 正确，故不符合题意；
C、 正确，故不符合题意；
D、∵-a2-12a-9不是一个完全平方式，∴， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式可判断A、B选项；先利用提取公因式法分解，再利用完全平方公式进而第二次分解因式后可判断C选项；由于-a2-12a-9不是一个完全平方式，所以不能使用完全平方公式分解，据此可判断D选项.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：M-N= 8x2-y2+6x-2-（ 9x2+4y+13 ）
=8x2-y2+6x-2-9x2-4y-13=-x2+6x-9-y2-4y-4-2=-（x-3）2-（y+2）2-2
∵（x-3）2≥0，（y+2）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，-（y+2）2≤0，
∴-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，
∴M-N的值为负数.
故答案为：B.
【分析】将M，N代入M-N，可转化为-（x-3）2-（y+2）2-2，再利用偶次方的非负性，可得到-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，由此可得到M-N的符号.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：原式=101×（1022-982）=101×（102+98 ）×（102-98） =101×200×4=80800.
故答案为：D.
【分析】观察可知，两项含有公因数101，先提取公因数，再利用平方差公式进行计算，可求出结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，
∴2(a+b)=10，ab=5，
∴a+b=5；
∴a2b+ab2=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积及周长计算方法可得a+b=5，ab=5，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
9．【答案】(x+1)(x-1)(x2+1)；2x(3x+2)2
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(x+1)(x-1)(x2+1).
（2）
故答案为：2x(3x+2)2.
【分析】（1）利用平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式2x，然后根据完全平方公式即可求解.
10．【答案】4
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：4.
【分析】形如"“”的式子就是完全平方式，据此即可求解.
11．【答案】50
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，，
，
．
故答案为：50．
【分析】根据新定义得，从而得，，求出，进而可求出的值．
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
图1阴影部分面积为：a2+b2=32+42=25，
故答案为：25；
（2）由题意得a2+b2=3，
∵am-bn=2，an+bm=4，
∴将两式分别平方得：a2m2-2abmn+b2n2=4①，
a2n2+2abmn+b2m2=16②，
∴①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）=20，
∵a2+b2=3，
∴m2+n2=，
∴图2阴影部分的面积=S四边形ABCD--
=5-
=5-
=
故答案为：.
【分析】 （1）根据正方形的面积公式计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2=3，将题干中两个等式分别平方后求和，然后再将等式的一边分解因式得（a2+b2）（m2+n2）=20，求得m2+n2=，最后利用割补法求图2中阴影部分的面积．
14．【答案】解：B-A= a2+a-7-（a+2）
=a2+a-7-a-2=a2-9=（a+3）（a-3）
∵a＞2，
∴a+3＞0
当2＜a＜3时，a-3＜0，
∴（a+3）（a-3）＜0，
∴B＜A；
当a＞3时，a-3＞0，
∴（a+3）（a-3）＞0，
∴B＞A.
【解析】【分析】 先求出B-A的值，再利用a的取值范围，分情况讨论：当2＜a＜3时；当a＞3时；可得到B与A的大小关系.
15．【答案】（1）(2x-3y)2；(y+2)
（2）解：4x2-12xy+10y2+4y+9
=4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5
=(2x-3y)2+(y+2)2+5
∵(2x-3y)2≥0，（y+2）2≥0，
∴当(2x-3y)=0，（y+2）=0，即：x=-3，y=-2时，代数式4x2-12xy+10y2+4y+9的值最小.且最小值为5.
【解析】【解答】解：（1）①原式=（2x）2-2×2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
②原式=y2+2·y·2+22=(y+2)2.
故答案为：(2x-3y)2，(y+2)2.
【分析】（1）①根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解；
②根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”即可求解；
（2）由题意现将多项式拆项并结合完全平方公式可得：4x2-12xy+9y2+y2+4y+4+5=(2x-3y)2+(y+2)2+5，然后根据偶次方的非负性即可求解.
16．【答案】解：设这些人的年龄从高到低分别为x，y，a，b，m，n，则由题意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.∵195=1×195=3×65=5×39=13×15（最后一组数据不符合题意，舍去），
∴
解得：
所以两位老人的年龄分别是98岁、97 岁，中年夫妇的年龄分别是34岁、31岁，两个青年的年龄分别是22岁、17岁.
【解析】【分析】由题意可知：这两个老人，两个年青人，一对中年夫妇的年龄都是正整数，而且年龄差不大。所以由意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.然后列方程组 ，，，分别求出方程组的解，验证即可.
17．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
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