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4.3 用乘法公式分解因式
第2课时
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.会用完全平方公式分解因式。
2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
复习回顾
a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
1.平方差公式：
2.因式分解的思考步骤：
（1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。
（3）因式分解要彻底。
新知讲解
说一说：完全平方公式
(a+b)2 =a2 +2ab+ b2
两数和(或者差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或者减去)这两数积的2倍。
整式乘法
因式分解
a2 ±2ab+ b2 =(a±b)2
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和 （或者差）的平方。
新知讲解
形如 的多项式称为完全平方式.
首2±2×首×尾＋尾2＝(首±尾)2
新知讲解
完全平方式特征：
先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）.
判断方法：
1. 三项式（或可以看成三项的）；
2. 有两项为数或式的平方和；
3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关.
新知讲解
平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
完全平方公式法：适用于完全平方式的多项式
一般地，利用公式a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)，或a2 ±2ab+ b2 =(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。
公式法
公式中的a，b可以是数，也可以是整式
新知讲解
做一做：填写下表
多项式 是否是完全平方式 表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式 a，b各表示什么
是 a表示x,b表示3
是 a表示2y,b表示1
不是 不适用 不适用
不是 不适用 不适用
是 a表示1,b表示
是 a表示2y,b表示3x
新知讲解
例1：把下列各式分解因式
; ;
解：
①首项为负，一般需提出负号；
②有公因式的应先提取公因式。
新知讲解
例2：分解因式
解：
(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32
把2x＋y看做a2－2ab＋b2
中的字母“a”，即设
a＝ 2x＋y ，这种数学思
想称为换元思想
新知讲解
因式分解的方法与步骤:
一提：有公因式，先提取公因式
二套：套用公式，用公式法（平方差公式、完全平方公式）来分解因式
三注意：分解到不能再分解为止
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列多项式中是完全平方式的为（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
2．下列各式可直接用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；
②；
③；
④．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
D
课堂练习
3．分解因式：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
课堂练习
4．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
解：（1）
．
（2）
．
课堂练习
【知识技能类作业】 选做题：
5．分解因式：
(1)；(2)．
解：（1）．
（2）
．
课堂练习
【综合实践类作业】
6．已知，求的值．
解：
，
∵，∴原式．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.公式法：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法．
2.特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式．因式分解的步骤是“一提”、“二套”、“三注意”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式，因式分解要分解到不能再分解为止．
3.注意：(1)作为首项的二次项系数为负数时，一般应先提取－1或整个系数；(2)如果各项有公因式，应先提取公因式.
板书设计
课题：4.3 用乘法公式分解因式 第2课时
教师板演区
学生展示区
一、完全平方公式
二、公式法
三、因式分解的步骤
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
A
作业布置
2．已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．12 B． C．24 D．
D
作业布置
3．分解因式
(1) (2)
解：（1）
．
（2）
．
作业布置
4．利用因式分解计算下列各式：
(1)； (2)
解：（1）
；
（2）
．
作业布置
选做题：
5．分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
作业布置
【综合实践类作业】
6．有一系列等式
；
；
；
；
(1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：_____；
(2)试猜想：_________________；
(3)试说明（2）中猜想的正确性．
11881
（3）证明：
．
谢谢
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4.3 用乘法公式分解因式 第2课时 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要内容是利用乘法公式中的完全平方公式进行分解因式，并掌握因式分解的步骤，是在学习了整式的乘法之后，让学生利用逆向思维而得到因式分解法。因式分解是代数式的一种恒等变形，它是分式运算的基础，又在代数式的运算、方程、函数中都有着广泛的应用，所以本节课的内容是为后面的学习做好准备，它具有承前启后的作用。
学习者分析 学生已经学习了乘法公式中的完全平方公式，在上一节课学习了用平方差分解因式，体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。
教学目标 1.会用完全平方公式分解因式。 2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
教学重点 用完全平方公式分解因式。
教学难点 领会因式分解的解题步骤，并能完成步骤比较复杂的因式分解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题 1.平方差公式： 预设：a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 2.因式分解的思考步骤： 预设：（1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。 （2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。 （3）因式分解要彻底。学生活动1： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 回顾平方差公式及因式分解的思考步骤，为继续探究完全平方公式及因式分解的步骤做好准备。环节二：探究公式法分解因式 教师活动2： 说一说：完全平方公式 预设：两数和(或者差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或者减去)这两数积的2倍。 讲解： 归纳：两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和 （或者差）的平方。 即：a2 ±2ab+ b2 =(a±b)2 指出：形如，的多项式称为完全平方式. 如： 即：首2±2×首×尾＋尾2＝(首±尾)2 归纳：完全平方式特征： 1. 三项式（或可以看成三项的）； 2. 有两项为数或式的平方和； 3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关. 判断方法：先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）. 归纳：公式法 一般地，利用公式a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)，或a2 ±2ab+ b2 =(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。 公式中的a，b可以是数，也可以是整式 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式的多项式 做一做：填写下表 多项式是否是完全平方式表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式a，b各表示什么是a表示x,b表示3
答案： 多项式是否是完全平方式表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式a，b各表示什么是a表示x,b表示3是a表示2y,b表示1不是不适用不适用不是不适用不适用是a表示1,b表示是a表示2y,b表示3x
学生活动2： 学生根据老师的问题回答乘法的完全平方公式 学生逆思考，归纳出完全平方公式 听老师讲解完全平方式 与老师一起归纳完全平方式的特征 和老师归纳公式法 先独立填表，然后小组合作探究，最后派代表班内交流 活动意图说明： 让学生探究、发现能用完全平方公式因式分解的代数式所具备的特征，让学生理解公式中的a和b并不只是单独指数字、字母或单项式，也可是多项式，并能判断出一个多项式是否是完全平方公式。环节三：运用公式法分解因式教师活动3： 例1：把下列各式分解因式 ; ; 解： 归纳：①首项为负，一般需提出负号； ②有公因式的应先提取公因式。 例2：分解因式 分析：把2x＋y看做a2－2ab＋b2中的字母“a”，即设a＝2x＋y，这种数学思想称为换元思想 解： (2x＋y)2－2·(2x＋y)·3＋32 .学生活动3： 3名学生板演，其他学生独立完成 学生先独立尝试进行因式分解，然后小组合作探究，班内交流后听老师讲解和点评 活动意图说明： 通过两道例题，让学生掌握完全平方公式进行因式分解，并体会因式分解步骤并能对复杂的式子进行因式分解，提高学生应用知识解决实际问题的能力
板书设计 课题：4.3 用乘法公式分解因式 第2课时 一、完全平方公式 二、公式法 三、因式分解的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列多项式中是完全平方式的为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列各式可直接用完全平方公式分解因式的有（ ） ①； ②； ③； ④． A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 答案：D 3．分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 解：（1） （2） （3） （4） 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 解：（1） ． （2） ． 选做题： 5．分解因式： (1)； (2)． 解：（1） ． （2） ． 【综合实践类作业】 6．已知，求的值． 解： ， ∵， ∴原式．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ） A．12 B． C．24 D． 答案：D 3．分解因式 (1) (2) 解：（1） ． （2） ． 4．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 解：（1） ； （2） ． 选做题： 5．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1） （2） （3） （4） 【综合实践类作业】 6．有一系列等式 ； ； ； ； (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到：______； (2)试猜想：______； (3)试说明（2）中猜想的正确性． 解：（1）∵； ； ； ∴ ． 故答案为：11881； （2）猜想：． 故答案为：； （3）证明： ．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 1.公式法：利用公式a2－b2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法． 2.特征：公式中的a，b可以是数，也可以是整式．因式分解的步骤是“一提”、“二套”、“三注意”，即先看有没有公因式可提，有公因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式，因式分解要分解到不能再分解为止． 3.注意：(1)作为首项的二次项系数为负数时，一般应先提取－1或整个系数；(2)如果各项有公因式，应先提取公因式.
教学反思 本节课的教学目标有两个，一是会用完全平方公式分解因式，其中会判断一个多项式是完全平方式成为核心知识，通过学生思考，教师引导，共同探索出完全平方式，并利用完全平方公式进行因式分解，二是会综合运用提取公因式、公式法分解因式，掌握分解因式的一般步骤，这其中也培养了学生数学观察能力，归纳能力。在教学过程中，注意让学生亲身体验知识的产生过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成，同时培养学生的观察问题、分析问题以及解决问题的能力。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生在学习因式分解前，已经具备的整数分解知识，熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，为学习分解因式打下了良好根底。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底。所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点，学生在七年级下册第三章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识，对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等将是又一个难点。
单元目标 （一）教学目标 本章的总目标是经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。 2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次）分解因式〔指数是正整数）。 3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。 4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养. （二）教学重点、难点 通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进行因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的能力。 重点： 1.因式分解的概念和方法。 2.能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进行因式分解。 难点： 1.综合运用若干种方法分解因式。 2.分解因式要分解的彻底以及灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。了解因式分解的意义；了解因式分解与整式乘法的互逆关系。在经历因式分解的过程中主动探究，能够发现因式分解与整式乘法的互逆关系。4.2提取公因式法1.会用提取公因式法分解因式。 2.理解添括号法则。掌握用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。通过积极探究提取公因式法分解因式的过程，掌握并正确运用这种方法对多项式进行因式分解，并发现添括号法则。4.3用乘法公式分解因式1.会用平方差公式分解因式。 2.了解因式分解的思考步骤。掌握用平方差公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用平方差公式进行因式分解。1.会用完全平方公式分解因式。 2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。掌握用完全平方公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用完全平方公式进行因式分解。
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