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4.3 用乘法公式分解因式
第1课时
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.会用平方差公式分解因式。
2.了解因式分解的思考步骤。
复习回顾
一、确定公因式的方法：
1.公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
2.字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
4.如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开。
5.若多项式中首项符号是“－”号，一般情况下公因式符号为负。
复习回顾
二、提取公因式法的一般步骤：
1.确定应提取的公因式。
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。
3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
复习回顾
一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆半径为 7.5 m，内圆半径为 5.5 m，这个环形绿化带的面积是多少？怎样计算比较简便？
新知讲解
说一说：平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
整式乘法
因式分解
a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
新知讲解
做一做：下列各式能用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)分解因式吗？a，b分别表示什么？把下列各式分解因式。
(1)x2－1； (2)m2－9； (3)x2－4y2.
解：都能用平方差公式分解因式。
(1)a表示x， b表示1，x2-1=(x+1)(x-1).
(2)a表示m，b表示3，m2-9=(m+3)(m-3).
(3)a表示x， b表示2y，x2-4y2=(x+2y)(x-2y).
新知讲解
说一说：下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由。
(1)4x2+y2 不可以，不符合平方差公式的特点
(2)4x2-(-y)2 可以，符合平方差公式的特点
(3)-4x2-y2 不可以，不符合平方差公式的特点
(4)-4x2+y2 可以，符合平方差公式的特点
(5)a2-4 可以，符合平方差公式的特点
(6)a2+3 不可以，不符合平方差公式的特点
新知讲解
例1：把下列各式分解因式：
(1)16a2-1. (2)-m2n2+4l2 (3) (4)(x+z)2-(y+z)2.
解：(1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1).
(2)-m2n2+4l2=(2l)2-(mn)2=(2l+mn)(2l-mn).
(3)==
(4)(x+z)2-(y+z)2
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y).
新知讲解
例2：分解因式 4x3y-9xy3
解：原式=xy（4x2-9y2）
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y).
注意：多项式的因式分解到不能再分解为止.
一般地，如果一个多项式可以转化为a2-b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。
新知讲解
一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化 带的外圆半径为 7.5 m，内圆半径为 5.5 m，这个环形绿化带的面积是多少？怎样计算比较简便？
解：7.52π-5.52π
=(7.52-5.52)π
=(7.5+5.5)(7.5-5.5)π
=13×2π
=26π
答：这个环形绿化带的面积是26πm2.
新知讲解
归 纳
因式分解的思考步骤：
（1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。
（3）因式分解要彻底
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
D
课堂练习
2．计算（ ）
A． B． C． D．
A
课堂练习
3．将下列多项式分解因式：
(1) (2) (3) (4)
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
．
课堂练习
4．把下列各式因式分解：
(1)；(2)
解：（1）
．
（2）
．
课堂练习
【知识技能类作业】 选做题：
用平方差公式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
5．课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，马小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（ ）
A．第（1）道题 B．第（2）道题
C．第（3）道题 D．第（4）道题
B
课堂练习
【综合实践类作业】
6．观察下列式子的因式分解做法：
①；
②；
③；…
(1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
(2)观察以上结果，猜想：______；（n为正整数）
(3)根据以上结论，试求的值．
解：（1）；
（2）；
（3）∵，
∴．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
一、平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
二、因式分解的思考步骤：
（1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。
（3）因式分解要彻底
板书设计
课题：4.3 用乘法公式分解因式 第1课时
教师板演区
学生展示区
一、用平方差公式分解因式
二、因式分解的思考步骤
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
B
作业布置
2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
C
作业布置
3．分解因式：
(1)；(2)；
(3)．(4)．
解：（1）．
（2）
（3）
（4）
作业布置
4．把下列各式因式分解．
(1)；(2)．
解：（1）
（2）
．
作业布置
选做题：
5．若，则M，N分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
A
作业布置
【综合实践类作业】
6．下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式∶．
解∶原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，
分解因式的正确结果为 ．
四
进行乘法运算
谢谢
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4.3 用乘法公式分解因式 第1课时 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要内容是利用乘法公式中的平方差公式进行分解因式，是在学习了整式的乘法之后，让学生利用逆向思维而得到因式分解法。因式分解是代数式的一种恒等变形，它是分式运算的基础，又在代数式的运算、方程、函数中都有着广泛的应用，所以本节课的内容是为后面的学习做好准备，它具有承前启后的作用。
学习者分析 学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，在上一节课学习了提公因式法分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。
教学目标 1.会用平方差公式分解因式。 2.了解因式分解的思考步骤。
教学重点 会运用平方差公式因式分解。
教学难点 准确理解和掌握公式的结构特征及因式分解的思考步骤。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题。 一、确定公因式的方法： 1.公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。 2.字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3.相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。 4.如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开。 5.若多项式中首项符号是“－”号，一般情况下公因式符号为负。 二、提取公因式法的一般步骤： 1.确定应提取的公因式。 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式，提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 情境问题：一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆半径为 7.5 m，内圆半径为 5.5 m，这个环形绿化带的面积是多少？怎样计算比较简便？ 学生活动1： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 回顾提取公因式法分解因式的方法，为继续探究因式分解做好准备，情境问题的引入，激发学生的学习兴趣。环节二：探究用平方差公式分解因式 教师活动2： 说一说：平方差公式 预设：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 讲解： 归纳：平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 即：a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b) 做一做：下列各式能用平方差公式a2－b2 ＝ (a＋b) (a－b)分解因式吗？a，b分别表示什么？把下列各式分解因式。 (1)x2－1； (2)m2－9； (3)x2－4y2. 解：都能用平方差公式分解因式。 (1)a表示x，b表示1， x2-1=(x+1)(x-1). (2)a表示m，b表示3， m2-9=(m+3)(m-3). (3)a表示x，b表示2y， x2-4y2=(x+2y)(x-2y). 说一说：下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由。 (1)4x2+y2 答案：不可以，不符合平方差公式的特点 (2)4x2-(-y)2 答案：可以，符合平方差公式的特点 (3)-4x2-y2 答案：不可以，不符合平方差公式的特点 (4)-4x2+y2 答案：可以，符合平方差公式的特点 (5)a2-4 答案：可以，符合平方差公式的特点 (6)a2+3 答案：不可以，不符合平方差公式的特点 例1：把下列各式分解因式： (1)16a2-1. (2)-m2n2+4l2 (3) (4)(x+z)2-(y+z)2. 解：(1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1). (2)-m2n2+4l2=(2l)2-(mn)2=(2l+mn)(2l-mn). (3)== (4)(x+z)2-(y+z)2 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y).学生活动2： 学生回答乘法的平方差公式，然后根据因式分解和整式乘法的互逆关系，归纳出用平方差公式来分解因式的方法 学生尝试练习，小组讨论交流，并说出能应用平方差公式分解因式时的结构特征 学生积极回答问题 学生先独立尝试，然后小组讨论交流后，派代表班内汇报，然后听老师点评活动意图说明： 让学生探究、发现能用平方差公式因式分解的代数式所具备的特征，让学生理解公式中的a和b并不只是单独指数字、字母或单项式，也可是多项式，并运用平方差公式进行因式分解。环节三：运用提取公因式法和平方差公式分解因式 教师活动3： 例2：分解因式 4x3y-9xy3 解：原式=xy（4x2-9y2） =xy[(2x)2-(3y)2] =xy(2x+3y)(2x-3y). 注意：多项式的因式分解到不能再分解为止. 归纳：一般地，如果一个多项式可以转化为a2-b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。 情境问题：一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆半径为 7.5 m，内圆半径为 5.5 m，这个环形绿化带的面积是多少？怎样计算比较简便？ 解：7.52π-5.52π =(7.52-5.52)π =(7.5+5.5)(7.5-5.5)π =13×2π =26π 答：这个环形绿化带的面积是26πm2. 归纳：因式分解的思考步骤： （1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。 （2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。 （3）因式分解要彻底.学生活动3： 2名学生板演，其他学生独立完成 学生尝试用平方差公式解决实际问题 学生归纳因式分解的思考步骤活动意图说明： 通过例题及解决情境问题，让学生体会因式分解的思考步骤及注意事项，提高学生应用知识解决实际问题的能力
板书设计 课题：4.3 用乘法公式分解因式 第1课时 一、用平方差公式分解因式 二、因式分解的思考步骤
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．计算（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．将下列多项式分解因式： (1) (2) (3) (4) 解：（1）； （2）； （3）； （4） ． 4．把下列各式因式分解： (1)； (2) 解：（1） ． （2） ． 选做题： 5．课堂上，老师在黑板上布置了如图所示的题目作为课后作业，马小虎同学不小心抄错了一道题，则他抄错的题目是（ ） 用平方差公式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 答案：B 【综合实践类作业】 6．观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③；… (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解； (2)观察以上结果，猜想：______；（n为正整数） (3)根据以上结论，试求的值． 解：（1）； （2）； （3）∵， ∴．
作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．分解因式： (1)； (2)； (3)． (4)． 解：（1） ． （2） （3） （4） 4．把下列各式因式分解． (1)； (2)． 解：（1） （2） ． 选做题： 5．若，则M，N分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 答案：A 【综合实践类作业】 6．下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式∶． 解∶原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ； 任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ． 解：任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为； 任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为．
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 一、平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 二、因式分解的思考步骤： （1）形如a2-b2形式的多项式可以用平方差公式分解因式。 （2）因式分解通常先考虑提取公因式法方法。 （3）因式分解要彻底
教学反思 本节课教学以教师为主导，学生为主体，让学生在合作探究中学习，充分调动了学生学习的积极性，使学生很好地掌握了用平方差公式分解因式的特点，但还有个别学生存在没有把因式分解彻底现象，要在作业点评时要及时反馈给学生。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生在学习因式分解前，已经具备的整数分解知识，熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，为学习分解因式打下了良好根底。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底。所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点，学生在七年级下册第三章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识，对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等将是又一个难点。
单元目标 （一）教学目标 本章的总目标是经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。 2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次）分解因式〔指数是正整数）。 3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。 4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养. （二）教学重点、难点 通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进行因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的能力。 重点： 1.因式分解的概念和方法。 2.能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进行因式分解。 难点： 1.综合运用若干种方法分解因式。 2.分解因式要分解的彻底以及灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。了解因式分解的意义；了解因式分解与整式乘法的互逆关系。在经历因式分解的过程中主动探究，能够发现因式分解与整式乘法的互逆关系。4.2提取公因式法1.会用提取公因式法分解因式。 2.理解添括号法则。掌握用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。通过积极探究提取公因式法分解因式的过程，掌握并正确运用这种方法对多项式进行因式分解，并发现添括号法则。4.3用乘法公式分解因式1.会用平方差公式分解因式。 2.了解因式分解的思考步骤。掌握用平方差公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用平方差公式进行因式分解。1.会用完全平方公式分解因式。 2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。掌握用完全平方公式分解因式。通过因式分解与整式乘法的关系，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用完全平方公式进行因式分解。
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