5.2 分式的基本性质-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含答案）

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5.2分式的基本性质 同步分层作业
基础过关
1．下列式子从左到右变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　）
A． B． C． D．
3．分式变形＝中的整式A＝　　，变形的依据是　 　．
4．①　 　②　 　．
5．（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．
6．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号．
（1）； （2）； （3）．
7．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
8．根据分式的基本性质，完成下列各等式．
（1）＝；
（2）＝；
（3）（b≠0）；
（4）；
（5）3x﹣2＝；
（6）．
9．下面两位同学做的两种变形，请你判断正误，并说明理由；
甲：＝＝；
乙：＝＝．
10．先化简，再求值．
（1），其中m＝5．
11．下面的约分对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）．
12．对于问题“当a为何值时，分式有意义？”小亮的解题过程如下：
解：先将分式进行约分，＝＝a+3，所以对任意实数a，分式都有意义．
你认为小亮的解答正确吗？如果不正确，应当怎样解答？说明理由．
13．约分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
能力提升
14．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
15．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
16．下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
17．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（　　）
A． B． C． D．
18．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高项的系数是正数：
（1）； （2）； （3）； （4）﹣．
19．约分：
（1）； （2）； （3） （4）．
20．已知a，b是常数，多项式的结果是一个整式，多项式的结果也是一个整式，求b﹣a的值．
培优拔尖
21．若m为整数，则能使也为整数的m有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中，　　是和谐分式（填写序号即可）；
；；；④
（2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；
（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式＝＝＝
小强：原式＝＝＝．
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，请你接着小强的方法完成化简．
答案与解析
基础过关
1．下列式子从左到右变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、≠，故A不符合题意；
B、≠，故B不符合题意；
C、≠，故C不符合题意；
D、＝，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可．
【解析】解：＝＝
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．分式变形＝中的整式A＝　x2﹣2x　，变形的依据是　分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变　．
【点拨】依据x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），即可得到分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x．
【解析】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
∴分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：x2﹣2x，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．①　6a2　②　a﹣2　．
【点拨】①比较左右两边的分母可知，法则：分母同乘以2a；
②约分时首先要确定分子、分母的公因式，分子、分母如果是多项式，首先要分解因式．
【解析】解：①分母5xy变形成10axy，是乘以2a，因而分子是3a 2a＝6a2；
②分子a+2变形成1，是除以a+2，分母应进行相同的变化，因而分母是a﹣2．
故本题答案为：6a2，a﹣2．
【点睛】约分就是分子、分母同时除以它们的公因式，约分是分式基本性质的运用．
5．（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．
【点拨】根据分式的基本性质作答．
（1）同时×n．
（2）同时÷4ac．
（3）同时×x．
（4）同时÷（x+y）．
【解析】解：（1）bn+n；
（2）3b；
（3）2x2；
（4）x+y．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
6．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号．
（1）； （2）； （3）．
【点拨】根据分式的基本性质作答．①分数值除以﹣1，分母除以﹣1，②③分子分母同时除以﹣1．
【解析】解：（1）＝；
（2）＝；
（3）＝﹣．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
7．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】观察每一分式的分子分母变化的倍数，然后根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进行答题．
【解析】解：（1）将等式左边的分式的分子与分母都乘以z；
（2）将等式左边分式的分子与分母都除以axy；
（3）将等式左边分式的分子与分母都除以（x﹣1）．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．属于基础题，比较简单．
8．根据分式的基本性质，完成下列各等式．
（1）＝；
（2）＝；
（3）（b≠0）；
（4）；
（5）3x﹣2＝；
（6）．
【点拨】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不，从而求出答案．
【解析】解：（1）＝（b≠0）；
（2）＝；
（3）＝（b≠0；
（4）＝，（x≠0且y≠0）；
（5）3x﹣2＝，；
（6）＝；
故答案为：b，y，2ab+2b2，x，9x2﹣4，2m2﹣2mn；
【点睛】此题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
9．下面两位同学做的两种变形，请你判断正误，并说明理由；
甲：＝＝；
乙：＝＝．
【点拨】甲同学把分式的分子分母都乘以（x+y），乙同学把分式的分子分母都乘以（x﹣y），可得答案．
【解析】解：甲同学的正确，理由是：
x+y 是分母，所以x+y一定不等于零，甲同学把分式的分子分母都乘以（x+y），分式的值不变；
乙同学的不正确，理由是：
x﹣y 是在分子，它可能等于0．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以个不为零的整式，分式的值不变．
10．先化简，再求值．
（1），其中m＝5．
（2），其中m＝3，n＝4．
【点拨】（1）先分别将分子与分母进行因式分解，再约分化为最简分式，然后把m的值代入求解即可；
（2）先分别将分子与分母进行因式分解，再约分化为最简分式，然后把m、n的值代入求解即可．
【解析】解：（1）＝＝，
当m＝5时，原式＝＝；
（2）＝＝，
当m＝3，n＝4时，原式＝＝﹣4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，分式约分的依据是分式的基本性质，将分子与分母进行因式分解是解题的关键．
11．下面的约分对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】先对分式的分子和分母进行因式分解，再分别进行约分即可求出结果．
【解析】解：（1）不正确，应该为：＝﹣1；
（2）正确；
（3）不正确，应该为：＝＝m+n．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，解题时首先对分式的分子和分母进行因式分解是本题的关键．
12．对于问题“当a为何值时，分式有意义？”小亮的解题过程如下：
解：先将分式进行约分，＝＝a+3，所以对任意实数a，分式都有意义．
你认为小亮的解答正确吗？如果不正确，应当怎样解答？说明理由．
【点拨】根据分式有意义的条件得出要使有意义，必须a+3≠0，再求出答案即可．
【解析】解：小亮的解答不正确，
理由是：要使有意义，必须a+3≠0，
即a≠﹣3，
所以当a≠﹣3时，分式有意义．
【点睛】本题考查了约分和分式有意义的条件，能熟记当分母B≠0时分式（A、B都是整式）有意义是解此题的关键．
13．约分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【点拨】分别根据分式的基本性质进行化简即可得出答案．
【解析】解：（1）＝﹣；
（2）＝；
（3）＝﹣；
（4）＝＝﹣；
（5）＝＝；
（6）＝＝﹣．
【点睛】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式，熟练掌握分式的基本性质是本题的关键．
能力提升
14．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
【点拨】直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解析】解：∵，
∴＝＝，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
15．如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
【点拨】根据题意得出，再根据分式基本性质化简即可．
【解析】解：，
∴把分式中的m和n都扩大3倍，分式的值不变，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，
16．下列等式中，从左向右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质进行解题即可．
【解析】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子或分母同时乘以或除以一个相同的不为0的数或式子，分式的值不变．
17．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】不改变分式的值，是依据分式的基本性质进行变化，分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解析】解：对于分式，把分子和分母同时乘以50，就可以把分式各项系数化为整数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质的应用，是一个基础题．
18．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高项的系数是正数：
（1）； （2）； （3）； （4）﹣．
【点拨】利用分式的基本性质求解即可．
【解析】解：（1）＝﹣；
（2）＝；
（3）＝﹣；
（4）﹣＝．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．
19．约分：
（1）； （2）； （3） （4）．
【点拨】（1）、（2）、（3）、（4）先把分子分母进行因式分解，再除以公因式即可．
【解析】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝；
（4）原式＝＝．
【点睛】本题考查的是约分，熟知约分是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分是解答此题的关键．
20．已知a，b是常数，多项式的结果是一个整式，多项式的结果也是一个整式，求b﹣a的值．
【点拨】根据多项式约分结果为整式求出a与b的值，即可求出b﹣a的值．
【解析】解：由多项式的结果是一个整式，多项式的结果也是一个整式，
得到a＝3，b＝4，
则b﹣a＝4﹣3＝1．
【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
培优拔尖
21．若m为整数，则能使也为整数的m有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】首先将原式分子与分母分解因式，进而化简，再将符合题意的m值代入即可．
【解析】解：∵＝＝，
∴能使也为整数的m有：m＝﹣2或m＝﹣3或m＝0，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了约分以及代数式求值，正确因式分解是解题关键．
22．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中，　②　是和谐分式（填写序号即可）；
；；；④
（2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；
（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式＝＝＝
小强：原式＝＝＝．
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　小强通分找的是最简公分母　，请你接着小强的方法完成化简．
【点拨】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解析】解：（1）不符合和谐分式的定义，故①不是和谐分式，
，故②是和谐分式，
，故③不是和谐分式，
，故④不是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为整数，
∴a＝10，a＝6，a＝﹣6；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分找的是最简公分母，
故答案为：小强通分找的是最简公分母；
小强：原式＝＝＝＝＝＝＝．
【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
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