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专题5-7 分式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏南京·八年级期中）关于分式的判断，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数
2．（2023·山西祁县·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·济宁市八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
4．（2023·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
老师→甲→乙→丙→丁
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
5．（2023·陕西莲湖·八年级期末）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
6．（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
7．（2023·晋州市月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．（2023·河北邯郸·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·绵阳市·八年级阶段练习）下列分式，，通分的最简公分母是______．
12．（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
13．（2023·湖南·八年级阶段练习）若，则分式的值为_______．
14．（2023·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是 。
15．（2023·厦门七年级期中）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
16．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
17．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则的值是_______．
18．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4、6、x，若要能组成调和数，则x的值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西贵港·八年级期中）先化简，再求值
(1)，其中；(2)，其中a满足．
20．（2023·河南·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
(1) ； ．（用含a的式子表示）；(2)求证：．(3)求的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
21．（2023·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)； (2)．
22．（2023·山东龙口·八年级期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由 知x≠0，所以，即
所以
故的值为．
（类比探究）（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（拓展延伸）（2）已知，，，求的值．
23．（2023·湖南岳阳八年级阶段练习）疫情期间，某校根据政府防控要求用4000元购买了一批口罩，两天后，学校后勤人员发现口罩数量不多了，学校决定再次用5000元购买一批口罩作为备用，后勤人员发现这时每只口罩价格涨了0.2元，结果两次购买口罩的数量相同．
(1)学校两次购买口罩的单价分别是多少元？
(2)学校两次共购买口罩多少只？
24．（2023·福建福州八年级期中）阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+的解为 ；②方程x﹣1+的解为 ．
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．
25．（2023·江苏鼓楼·七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
26．（2023·河南信阳·八年级期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．
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专题5-7 分式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏南京·八年级期中）关于分式的判断，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，分式的值为零 B．当x＝﹣1时，分式无意义
C．当x≠2时，分式有意义 D．无论x为何值，分式的值总为负数
【答案】C
【分析】利用分式有无意义、值为0的条件，逐个判断得结论．
【详解】解：当x=2时，分式无意义，故说法错误；
当x=-1时，分式的值为0，故说法错误；
当x≠2时，分式有意义，故说法正确；
当x=3时，分式的值不为负数，故说法错误．故选：C．
【点睛】本题考查了分式有无意义及值为0的条件．当分式的分母为0时，分式无意义；当分式的分子为0，分母不为0时分式的值为0；当分式的分母不为0时，分式总有意义．
2．（2023·山西祁县·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可．
【详解】解：A、，故A为“和谐分式”；
B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”；
C、，故C不是“和谐分式”；
D、，故D不是“和谐分式”；故选：A．
【点睛】本题主要考查约分，根据题意正确理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
3．（2023·山东·济宁市八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的
【答案】D
【分析】根据题意将，都扩大10倍，再通过整理约分与原式进行比较即可．
【详解】解：把的与（，均为正）都扩大10倍，
可得：，
∴这个代数式的值缩小到原来的．故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解本题的关键．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．（2023·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示：
老师→甲→乙→丙→丁
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：====，
∴出现错误的是乙和丁；故选D．
【点睛】本题主要考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键．
5．（2023·陕西莲湖·八年级期末）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据分式方程的解的定义，可将x=3代入方程，求得a=-1．然后，代入a-3检验是否为0，进而得出a=-1．
【详解】解：∵x=3是分式方程的解，∴，
∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合题意）．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义以及解分式方程，熟练掌握解分式方程是解本题的关键．
6．（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
7．（2023·晋州市月考）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（2023·河北邯郸·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
【详解】解：∵，∴．∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
9．（2023·山东青州·初二期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【解析】解：由得x=
∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
10．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得：，解得：，
∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．
∵，∴，∴，∴，
综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·绵阳市·八年级阶段练习）下列分式，，通分的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法即可判断．
【详解】解：三分式中的常数项系数的最小公倍数是20，a的最高次幂是1，b的最高次幂是2，c的最高次幂是3，三分式的最简公分母是．故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂，掌握最简公分母的求法以及定义是解题的关键．
12．（2023·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即∴④
联立解之得、、，．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
13．（2023·湖南·八年级阶段练习）若，则分式的值为_______．
【答案】6
【分析】将原式进行化简，由得，代入化简结果即可求出答案．
【详解】解：∵，∴，即，
∴．故答案为：6．
【点睛】本题考查了求分式的值，解题的关键是正确将原式进行化简．
14．（2023·石家庄市八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是 。
【答案】且
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【详解】解：，去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程有解，∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：，
∴且，即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
15．（2023·厦门七年级期中）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；，解得：或；
，解得：或；得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
16．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
【答案】
【分析】设甲单独做需x天，则乙单独做需天，再根据甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成列出方程即可．
【详解】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需天，
由题意得：，故答案为：
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间工作总量工作效率，当题中没有一些必须的量时，
17．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）若关于的分式方程有增根，则的值是_______．
【答案】1
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，去分母，得：；
∵分式方程有增根，∴，
把代入，则，解得：；故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4、6、x，若要能组成调和数，则x的值为________．
【答案】12、3或
【分析】根据题意可建立关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】当时，根据题意得：，整理得：，解得：；
当时，根据题意得：，整理得：，解得：；
当时，根据题意得：，整理得：，解得：．
故答案为12、3或．
【点睛】本题考查了分式方程得解法，根据题意建立正确方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广西贵港·八年级期中）先化简，再求值
(1)，其中；(2)，其中a满足．
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）先算括号，再算除法，能因式分解的先进行因式分解，进行化简计算，再代值求解即可；
（2）利用整体通分法，先算括号，再算除法进行化简，利用整体思想求值．
【详解】（1）解：原式；
当时，原式；
（2）解：原式，
∵，∴， 当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则正确的进行化简，是解题的关键．
20．（2023·河南·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
(1) ； ．（用含a的式子表示）；(2)求证：．(3)求的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)，(2)证明见解析(3)(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
【分析】（1）利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得；
（2）根据分式的减法法则计算，利用偶次方的非负性即可得证；
（3）根据分式的除法法则进行计算即可得；
（4）先求出时，的值，再根据（2）的结论即可得．
（1）解：由题意得：，，故答案为：，．
（2）证明：
，
∵，∴，∴，即．
（3）解：．
（4）解：当时，，
∵，，，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
21．（2023·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)分式方程无解
【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；
（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得∶
检验：当 时，，
∴是原方程的的解．
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母得
，
，
，
．
检验：当时，，
∴是原方程的增根，∴分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．
22．（2023·山东龙口·八年级期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由 知x≠0，所以，即
所以
故的值为．
（类比探究）（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（拓展延伸）（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）已知等式变形求出，原式变形后，将代入计算即可；
（2）已知三等式变形后相加求出，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵ ∴x≠0，∴，即
∴ ∴=-；
（2）∵，，，
∴=，∴
∵，∴
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2023·湖南岳阳八年级阶段练习）疫情期间，某校根据政府防控要求用4000元购买了一批口罩，两天后，学校后勤人员发现口罩数量不多了，学校决定再次用5000元购买一批口罩作为备用，后勤人员发现这时每只口罩价格涨了0.2元，结果两次购买口罩的数量相同．
(1)学校两次购买口罩的单价分别是多少元？
(2)学校两次共购买口罩多少只？
【答案】(1)第一次购买口罩的单价为0.8元，第二次购买口罩的单价为1元
(2)学校两次共购买口罩10000只
【分析】（1）设学校第一次购买口罩的单价为x元，则第二次购买口罩的单价为（）元，两次购买口罩的数量相同列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
（1）解：设学校第一次购买口罩的单价为x元，则第二次购买口罩的单价为（）元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：学校第一次购买口罩的单价为0.8元，第二次购买口罩的单价为1元；
（2）解：两次购买口罩为（只），
答：学校两次共购买口罩10000只．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（2023·福建福州八年级期中）阅读下列材料：关于x的方程：x+的解是x1＝c，x2＝；x﹣（可变形为x+）的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；x+的解为：x1＝c，x2＝；……
（1）①方程x+的解为 ；②方程x﹣1+的解为 ．
（2）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观征、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是末知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的末知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于x的方程：（a≠1）．
【答案】（1）①；②；（2），验证见解析；（3）
【分析】（1）①②根据题意即可求解；（2）由（1）的形式猜想方程的解，代入方程的左右两边判断即可；
（3）先将方程转化为的形式，然后根据题意即可求得方程的解．
【详解】（1）①方程x+的解为，
经检验是原方程的解，故答案为：；
②方程x﹣1+，或，
方程x﹣1+的解为，
经检验是原方程的解 故答案为：；
（2）关于x的方程x+（m≠0）的解为
验证：当时，方程的左边 方程的右边
方程的左边方程的右边 是原方程的解；
当时，方程的左边 方程的右边
方程的左边方程的右边 是原方程的解；
（3）方程整理得
由题意可得或 解得
经检验，是原方程的解
【点睛】本题考查了解分式方程，方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
25．（2023·江苏鼓楼·七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析
【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；
（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；
【详解】解：（1）①；故答案为；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.
（2）①（）
②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，
所以占原长方形的，即.
【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
26．（2023·河南信阳·八年级期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．
【答案】(1)真分式， (2)或或或 (3)
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；
（2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案；
（3）先把原分式化为再结合从而可得答案．
（1）解：根据新定义可得：是真分式，故答案为：真分式，
（2）∵且为整数，为整数，∴或或或 解得：或或或
（3）∵而 ∴ ∴ ∴ 所以
【点睛】本题考查的是新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解新定义，掌握分式的加减运算的逆运算是解本题的关键．
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