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专题5-1 分式+专题5-2 分式的基本性质
模块1：学习目标
1. 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念。
2. 了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式。
3. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质。
4. 能利用分式的基本性质进行约分，了解最简分式的概念。
模块2：知识梳理
1.分式相关概念
定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式有意义的条件：B≠0； 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。
3.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。
4.分式的约分：与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
模块3：核心考点与典例
考点1、分式的辨别（定义）
例1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列式子：，其中分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2、分式的相关概念（有意义、无意义）
例1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
变式1.（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．2022
变式2.（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、分式的相关概念（值为零、正负数、整数）
例1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．以上均有可能
变式1.（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是( )
A． B． C． D．且
考点4、分式性质相关运用
例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
变式2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
考点5、约分
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
(1)；(2)；(3)；(4)．
变式1. （2023·浙江湖州·模拟预测）化简： 。
变式2. （23-24九年级下·河北邯郸·期中）化简的结果是（ ）
A．m B． C． D．
考点6、最简分式
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （23-24八年级下·四川眉山·期中）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0
C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2
4．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（23-24八年级下·浙江·课后作业）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍
7．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）对下列分式约分，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）．
12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零．
13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则的值为 ；
14．（23-24八年级上·山东烟台·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ．
15．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ．
16．（23-24八年级上·山东烟台·期中）化简：= ．
17．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ．
18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）若分式的值是正整数，则正整数的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母：
(1)括号内应填入 ；(2)括号内应填入 ；
(3)括号内应填入 ．
21．（2023·浙江·七年级专题练习）已知分式，解答下列问题：
(1)分式的值可以是0吗？说明理由；(2)若分式的值是负数，求x的取值范围．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．(1)；(2)；(3)．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
25．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题(1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式化为带分式的形式；(3)如果分式的值为整数，求整数x的值．
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专题5-1 分式+专题5-2 分式的基本性质
模块1：学习目标
1. 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念。
2. 了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式。
3. 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质。
4. 能利用分式的基本性质进行约分，了解最简分式的概念。
模块2：知识梳理
1.分式相关概念
定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式有意义的条件：B≠0； 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。
3.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。
注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。
4.分式的约分：与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
模块3：核心考点与典例
考点1、分式的辨别（定义）
例1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
【详解】解：式子、、中，分母中都不含有字母，都不是分式，
中，分母中含有字母，是分式，故选：D．
变式1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．
【详解】解：，，，的分母中不含有字母，都不是分式，
，的分母中含有字母，都是分式，共2个．故选：C．
变式2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列式子：，其中分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，关键是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的式子，形如 (A、B是整式，，B中含有字母)是分式， 注意不是字母，根据分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：是分式，共有3个，故选：B．
考点2、分式的相关概念（有意义、无意义）
例1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，解得，故选：．
变式1.（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．2022
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】解：由题意可知：，解得：，故选：A．
变式2.（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母为0时，分式无意义是解题的关键．根据分式的分母为0时，分式无意义即可解答．
【详解】解：A．分式没有意义时，，故A不符合题意；
B．分式没有意义时，，故B符合题意；
C．分式没有意义时，，故C不符合题意；
D．分式没有意义时，，故D不符合题意；故选：B
考点3、分式的相关概念（值为零、正负数、整数）
例1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．以上均有可能
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：且，解得：，故选：A．
变式1.（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，∴，解得．故选：D．
变式2.（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是( )
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
∵分式的值为正，∴，∴，∴且．故选：D．
考点4、分式性质相关运用
例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：A． ∵a与b不一定相等，∴不一定正确，故不符合题意；
B．不正确，故不符合题意；C．不正确，故不符合题意；
D．正确，故符合题意；故选D．
变式1．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即，
，又分式的分母不能为0，，x应满足的条件是且，故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0．
变式2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．故选：D
变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键．
先写出x和y同时扩大4倍得到的分式，再计算比较即可解答．
【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的4倍为，
∴该分式的值扩大为原来的4倍，故选：B．
考点5、约分
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）分子分母约去即可；（2）分子分母约去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
变式1. （2023·浙江湖州·模拟预测）化简：
【答案】/
【分析】本题考查了分式的化简，分子因式分解，然后约分，即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
变式2. （23-24九年级下·河北邯郸·期中）化简的结果是（ ）
A．m B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，对分式的分子分母分别因式分解成为解题的关键．
先对分式的分子和分母分别因式分解，然后再约分即可解答．
【详解】解：．故选D．
考点6、最简分式
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简分式，根据分子分母没有公因式，不能约分的分式是最简分式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；D、，不是最简分式，不符合题意；故选C．
变式1. （23-24八年级下·四川眉山·期中）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
【详解】解：A．，故不是最简分式；B．是最简分式；
C．，故不是最简分式；D．，故不是最简分式；故选B．
变式2. （22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；B.，不符合题意；
C.，不符合题意；D.，不符合题意；故选A．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A.该代数式是整式，故此选项不符合题意；B.该代数式是整式，故此选项不符合题意；
C.该代数式是分式，故此选项符合题意；D.该代数式是整式，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义：一般地，如果表示两个式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解题的关键．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（ ）小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间．
【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米，
该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米，
则从A城到B城需要小时，故选：B．
【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0
C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确；B．当时，分式无意义，故说法错误；
C．当时，分式的值为，故说法正确；D．，
∵，∴分式的值不可能为2，故说法正确；．故选：B．
4．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式的意义是解题的关键．
利用分式的意义和非负数的意义解答即可得出结论．
【详解】解：，
的值可以等于2，故选：D．
5．（23-24八年级下·浙江·课后作业）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据分式的基本性质， 根据分式的基本性质进行变形即可得到答案．
【详解】解：.故选：D．
6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍
【答案】A
【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：把分式中的和都扩大为原来的倍，
∴，∴分式的值不变，故选：．
7．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义：“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式”．根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；C、，故C不是最简分式，不符合题意；
D、，故D不是最简分式，不符合题意；故选：B．
8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）对下列分式约分，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了约分，对分子、分母进行因式分解，约去公因式，逐一判断，即可求解；掌握约分的方法是解题的关键．
【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意；
B.不能进行约分，结论错误，故不符合题意；
C.，结论错误，故不符合题意；
D.，结论正确，符合题意；故选：D．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
，……，由此发现，，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
10．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1
【答案】A
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可．
【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意；B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意．故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义求解即可．
【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零．
【答案】 3
【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
分式无意义：分母等于零；分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零．
【详解】解：当分母，即时，分式无意义；
当分子，且分母时，
分式的值为零，解得，．故答案为：3；．
13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值．根据得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．
14．（23-24八年级上·山东烟台·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ．
【答案】
【分析】把分子分母同时除以，即可求解．
【详解】解：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
15．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘即可求解，掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：，故答案为：．
16．（23-24八年级上·山东烟台·期中）化简：= ．
【答案】/
【分析】本题考查了约分，对于分子分母是多项式的分式，先因式分解，再约分．
【详解】解：，故答案为：
17．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：分式的值为正，，，解得，且
故答案为：且．
18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）若分式的值是正整数，则正整数的值为 ．
【答案】2或3或5．
【分析】本题主要考查了分式的值，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．利用已知条件得到关于的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可．
【详解】解：分式的值是正整数，的整数，且的可能值为：1，2，4，
或3或5．故答案为：2或3或5．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·八年级专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可．
【详解】（1）解：∵有意义，
∴，即；
（2）∵有意义，
∴，即；
（3）∵有意义，
∴，即；
（4）∵有意义，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键．
20．（23-24八年级下·浙江·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母：
(1)括号内应填入 ；(2)括号内应填入 ；
(3)括号内应填入 ．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式分子分母同时乘以或者除以一个不为0的数，分式的值不变．（1）根据，确定分子，分母同乘以计算即可．
（2）根据，确定分子，分母同乘以计算即可．
（3）根据，分式的分子，分母同时除以x计算即可．
【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：．
（2）∵∴，故答案为：
（3）∵，∴，故答案为：．
21．（2023·浙江·七年级专题练习）已知分式，解答下列问题：
(1)分式的值可以是0吗？说明理由；(2)若分式的值是负数，求x的取值范围．
【答案】(1)不可以为0，见解析(2)＞2
【分析】（1）根据分式的意义即可求解；
（2）根据两数相除异号得负，即可求解．
【详解】（1）解：不可以为0．
由于2除以任何数均不为0，因此分式的值不为0；
（2）解：由题意得，，解得：
所以当＞2时，分式值是负数．
【点睛】此题考查了分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
22．（2024八年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可；
（2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可；
（3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若（a，b都不为0），请直接写出的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．(2)见解析 (3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；（2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算；（3）把代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵，∴原式＝＝＝，
∵，∴，∴原式=；
（3）∵，∴，
∴=1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．
【答案】(1)②③④(2)或或
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：①，是“和谐分式”；
②，分式可以约分，不是“和谐分式”；
③，分式可以约分，不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，不是“和谐分式”；
综上，不是“和谐分式”的是②③④；故答案为：②③④；
（2）解：∵为“和谐分式”，
∴可以进行因式分解，且不能有因式，
∴或或或，∴或或．
【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．
25．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题(1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式化为带分式的形式；(3)如果分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)真(2)(3)，，，．
【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算．（1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断；（2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可；
（3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式；故答案为：真．
（2）解：∵，故答案为：．
（3）解：，
∵的值为整数，的值也是整数，故的值为：，，，，
∴的值为：，，，．故答案为：，，，．
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