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专题5-3 分式的乘除
模块1：学习目标
1. 类比分数的乘除法运算法则，探究分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘、除运算。
2. 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质。
3. 能用科学记数法表示小于1的正数。
模块2：知识梳理
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用式子表示为：。
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
用式子表示为：。
3.分式的乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：为正整数，。
4.科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法。
注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则 10n 的指数 n=m+1。
模块3：核心考点与典例
考点1、分式乘法
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查分式的乘法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可．
【详解】．故选：A．
变式1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．据乘法法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；B．，故不正确；
C．，故不正确；D．，正确；故选D．
变式2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可．
【详解】解：；故选B
考点2、分式除法
例1．（2024·陕西渭南·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，变除法为乘法进行计算即可．
【详解】解：．故选：D．
变式1．（2024·河北石家庄·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
把除法转化成乘法再约分即可．
【详解】解：故答案为：B．
变式2．（2024·山西朔州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的除法运算，先将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质约分，即可求解．
【详解】解：故选：A．
考点3、分式乘方
例1．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，故答案为：．
变式1．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的乘方运算：分式乘方是把分式的分子、分母分别乘方，据此求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
变式2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘方，按照分式的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：.故答案为：.
考点4、分式乘除混合运算
例1．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．（1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解；（2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解；
（3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
变式1. （23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根据分式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
变式2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【详解】解：
运算的结果为整式，中式子一定含有的单项式，故只有B项符合．故选：B
考点5、分式混合运算（含乘方）
例1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）化简：
【答案】
【分析】先算乘方，然后根据分式乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算、乘方等知识点，掌握整式乘除混合运算法则是解答本题的关键．
变式1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)(2)(3)
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式
变式2．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)；(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．（1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
考点6、分式乘除实际应用
例1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，故选B．
变式1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍．
【答案】
【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可．
【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为，“丰收2号”的面积为，
则“丰收1号”的单位面积产量为，“丰收2号”的单位面积产量为，
因此，所求的倍数为：．故答案为：．
变式2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 第一次过滤后水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)(2)①，②方案C(3)
【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，（1）根据水中的杂质含量为计算即可；（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．
【详解】（1），故答案为：；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：，
第二次过滤后水中杂质含量为：，故答案为：，；
② 解：=．
∵，∴，．∴．∴．
同理，可得．∴．
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为：，∴第二次净水后，杂质含量为：，
∵，
∵，∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，故答案为：．
考点7、科学记数法（绝对值小于1）
例1．（2024·河南濮阳·一模）某公司设计的麒麟9006C芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
根据，把换成单位为“”的量，根据科学记数法的表示，，其中，即可得到答案．
【详解】解：，．故选：．
变式1.（2023·江苏·校考三模）疫苗接种，是防范新冠肺炎的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈现皇冠的形状，它的大小为毫米，毫米用科学记数法记作___________毫米．
【答案】
【分析】绝对值小于1的数科学记数法写成的形式，其中，n为小数点向左移动位数的相反数．
【详解】解：用科学记数法记作：．
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法，熟记科学记数法的形式是解题的关键．
变式2.（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是8位小数 D．是7位小数
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题．
【详解】解：， A项错误，不符合题意；
， B项错误，不符合题意；
是8位小数，故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意；故选：C．
变式3.（2024·河北保定·一模）已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了数轴及科学记数法，关键是掌握数轴上的数，负数在原点左边，正数在原点右边．先还原小数，再进行选择即可．
【详解】解：，，，且b靠近原点，故选：B
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·河南周口·一模）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可．
【详解】解：原式；故选C．
2．（2024·贵州毕节·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的除法和乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘方，再算除法即可．
【详解】解：．故选C．
3．（2024·陕西·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键．
【详解】解：，故选D．
4．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项正确，不符合题意；
D、，故本选项错误，符合题意；故选：D．
5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过约分化简即可判定A、D，据分式的乘法法则计算判定C，据分式除法法则计算判定C．
【详解】解：A．原式，故此选项不符合题意；
B．原式，故此选项符合题意；
C．原式，故此选项不符合题意；
D．原式，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题词考查分式化简和分式乘除法，熟练掌握分式化简与分式乘除法法则是解题的关键．
6．（2024九年级下·浙江·专题练习）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．故选：A
7．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．
先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案．
【详解】解：==，
∵运算结果为整式，∴“□”中的式子应该是含有因式的式子，
只有选项C中符合题意，故选：C．
8．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：的计算结果为；乙：当时，；丙：当时，的值为正数
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则．
【详解】，故甲对；
当时，，故分式无意义，故乙错；
当时，，∴，故丙错．故选：C．
9．（2022秋·安徽宣城·七年级校考期中）如图，设（），则有（ ）
A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2
【答案】C
【分析】分别计算出甲图阴影部分面积和乙图阴影部分面积，然后计算比值即可．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，乙图中阴影部分的面积为：，
∴，∵，∴，∴故选：C．
【点睛】本题考查分式运算的应用，计算图中阴影部分面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
10．（2023春·浙江七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】D
【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的，然后根据工作时间工作总量工作效率列式计算即可．
【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的，
∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（小时）；故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可．
【详解】解：．故答案为：
12．（2024·河北邯郸·模拟预测）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运算；先算分式的乘方，再算分式的乘法即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
13．（2024·山西太原·三模）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，先把除法变成乘法，然后约分化简即可得到答案．
【详解】解： ，故答案为：．
14．（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算= ．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．
【详解】解：原式．故答案为： ．
15．（23-24八年级上·浙江·课后作业）计算：
（1） .（2） .（3） .
【答案】
【分析】（1）根据分式的乘方运算法则求解；（2）根据分式的乘方运算法则求解；
（3）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法.
【详解】解：（1）；故答案为：；
（2）；故答案为：；
（3）；故答案为：.
【点睛】本题考查了分式的乘方和分式的乘法，熟练掌握分式的乘方和乘法运算法则是解题关键.
16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为 （用含x的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，及分式的运算，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍” 得数量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，甲路线的平均速度为，
∵甲路线的平均速度为乙路线的倍，∴乙路线的平均速度为，故答案为：．
17．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的除法计算，根据题意列得分式除法计算式子，计算可得答案，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，∴，故答案为．
18．（23-24八年级上·浙江·课后作业） ．
【答案】－1
【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可．
【详解】
．故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：．
20．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了分式的乘除运算．（1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解；（2）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解；（3）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解；
（4）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：（可看成．）；
（3）解：；
（4）解：．
21．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可；（2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可；
（3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
22．（23-24八年级上·浙江·课后作业）（1）计算：.
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法；（2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键.
23．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）现有一块宽为（），长是宽的2倍的长方形空地，想采取下列两种方案进行改造．
方案一：如图1，在长方形内预留一块宽为1，长为2的小长方形空地，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为；
方案二：如图2，在长方形内部四周预留宽均为1的小路，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为；
(1)请用含的代数式表示和；(2)计算的结果．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查整式的运算，分式的化简，掌握整式运算法则，分式的性质化简是解题的关键．
（1）根据题意，分别表示出长方形的长和宽，结合图形面积的计算方法即可求解；
（2）运用因式分解，分式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：宽为，长为宽的倍，∴长为，∴，
∵在长方形内部四周预留宽均为1的小路，∴长为：，宽为：，
∴；
（2）解：．
24．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)化简：；(2)若令，且，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；（1）根据题中所给新定义运算及分式的除法运算进行求解即可；（2）先根据新定义运算进行求解，然后再利用整体思想进行求值即可
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：．
∵，∴，∴，∴．
25．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值：
(3)若分式的“巧整式”为．①求整式A．②是“巧分式”吗？
【答案】(1)①③(2)(3)①；②是“巧分式”
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可；（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，①是“巧分式”；
，不是整式，②不是“巧分式”；
，是整式，③是“巧分式”；故答案为：①③；
（2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为，
，，；
（3）解：①分式的“巧整式”为．，
，即；
②，
又是整式，是“巧分式”．
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专题5-3 分式的乘除
模块1：学习目标
1. 类比分数的乘除法运算法则，探究分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘、除运算。
2. 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质。
3. 能用科学记数法表示小于1的正数。
模块2：知识梳理
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用式子表示为：。
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
用式子表示为：。
3.分式的乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：为正整数，。
4.科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法。
注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则 10n 的指数 n=m+1。
模块3：核心考点与典例
考点1、分式乘法
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．2
变式1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点2、分式除法
例1．（2024·陕西渭南·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河北石家庄·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·山西朔州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点3、分式乘方
例1．（23-24八年级上·北京延庆·期末）计算： ．
变式1．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）计算： ．
变式2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）计算： ．
考点4、分式乘除混合运算
例1．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：
(1)；(2)；(3)．
变式1. （23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算的结果是 ．
变式2．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
考点5、分式混合运算（含乘方）
例1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）化简：
变式1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)(2)(3)
变式2．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)；(2)
考点6、分式乘除实际应用
例1．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
变式1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍．
变式2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 第一次过滤后水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
考点7、科学记数法（绝对值小于1）
例1．（2024·河南濮阳·一模）某公司设计的麒麟9006C芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·江苏·校考三模）疫苗接种，是防范新冠肺炎的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈现皇冠的形状，它的大小为毫米，毫米用科学记数法记作___________毫米．
变式2.（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是8位小数 D．是7位小数
变式3.（2024·河北保定·一模）已知，，则数a，b在数轴上的位置大致是（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·河南周口·一模）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州毕节·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九年级下·浙江·专题练习）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：的计算结果为；乙：当时，；丙：当时，的值为正数
A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对
9．（2022秋·安徽宣城·七年级校考期中）如图，设（），则有（ ）
A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2
10．（2023春·浙江七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ．
12．（2024·河北邯郸·模拟预测）化简： ．
13．（2024·山西太原·三模）化简： ．
14．（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算= ．
15．（23-24八年级上·浙江·课后作业）计算：
（1） .（2） .（3） .
16．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为 （用含x的代数式表示）．
17．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为 ．
18．（23-24八年级上·浙江·课后作业） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）计算：．
20．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
21．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)．
22．（23-24八年级上·浙江·课后作业）（1）计算：.
（2）化简：.
23．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）现有一块宽为（），长是宽的2倍的长方形空地，想采取下列两种方案进行改造．方案一：如图1，在长方形内预留一块宽为1，长为2的小长方形空地，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为；方案二：如图2，在长方形内部四周预留宽均为1的小路，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为；
(1)请用含的代数式表示和；(2)计算的结果．
24．（23-24八年级上·浙江·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)化简：；(2)若令，且，求的值．
25．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值：
(3)若分式的“巧整式”为．①求整式A．②是“巧分式”吗？
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