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专题5-4 分式的加减
模块1：学习目标
1. 能利用分式的基本性质进行通分，了解最简公分母的概念。
2. 类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则。
3. 能进行简单的分式加、减运算，及分式的加、减、乘、除混合运算。
4. 掌握分式的化简求值。
模块2：知识梳理
1.分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
2.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
3.分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
4.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
模块3：核心考点与典例
考点1、分式的加减-同分母加减
例1．（2024·河北·一模）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握分式的化简是解决本题的关键．
由题意列出盖住部分的代数式，然后进行化简．
【详解】解：盖住部分化简的结果为：，故选：D．
变式1.（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．直接利用同分母分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式．故答案为：．
变式2.（2024·河南信阳·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
直接根据同分母分式加法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，故选：D．
考点2、最简公分母
例1．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确的对分母分解因式．将各个分式的分母因式分解即可求解．
【详解】解：，，
分式与的最简公分母是，故答案为：．
变式1.（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）分式的最简公分母为 ．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
【详解】解：分式的最简公分母为．故答案为：
变式2.（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简公分母，将两个分式的分母进行因式分解，即可求解．
【详解】解：的分母为，分解因式可得，
的分母为，分解因式可得，
因此分式与的最简公分母是．故答案为：．
考点3、通分
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）通分：
(1)，；(2)，；(3)，，．
【答案】(1)，(2)，
(3)，，
【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键．
（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．
【详解】（1）解：（1）最简公分母是，，；
（2）解：最简公分母是，
，
；
（3）解：最简公分母是，，
，．
变式1. （22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)与；(2)与．
【答案】(1)；(2)；
【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）找出两分母的最简公分母，通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母为，
；．
（2）解：最简公分母为，
故；．
变式2. （23-24八年级下·浙江·课后作业）通分：(1)， (2)
【答案】(1)，(2)，，
【分析】本题主要考查分式的通分：（1）先确定最简公分母为，然后再通分即可；
（2）先确定最简公分母为，然后再通分即可
【详解】（1）解：；；
（2）解：
考点4、分式的加减-异分母加减
例1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.（1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解；（2）通分并利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
变式1.（2024·天津河北·一模）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的加减法，掌握分式加减的计算方法是解题的关键．
利用平方差公式，将原式通分并化简即可．
【详解】解：故选：D．
变式2．（23-24八年级上·浙江·假期作业）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）原式．
（2）原式
考点5、分式加减的实际应用
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由．
【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析
【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断．
【详解】解：乙的购买方式更合算．理由：
甲的平均价格为；乙的平均价格为；
；
∵，∴；∴甲的平均价格乙的平均价格，∴乙的购买方式更合算．
变式1. （2024八年级·浙江·培优）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可．
【详解】解：根据题意：，故答案为：．
变式2.（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案．
【详解】解：根据题意得，，
，
，，，即，所以选项正确；
，，所以选项错误．故选：．
考点6、分式混合运算-改错问题
例1．（2024八年级下·江苏·专题练习）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答都有错误：
甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；
请重新写出完成此题的正确解答过程．
【答案】一，二，见详解
【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．（1）观察解答过程，找出出错步骤，并写出原因即可；（2）写出正确的解答过程即可．
【详解】解：（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误，
故答案为：一，二；
（2）原式．
变式1.（2023·河南濮阳·模拟预测）小明同学化简的过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
． 第五步
(1)小明同学化简的第一步是______．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______．(3)请你书写正确的化简过程及结果．
【答案】(1)因式分解(2)三，去括号时，第二项没有变号；(3)见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算：（1）根据因式分解的定义，判断即可；
（2）第三步，去括号时，出现错误；（3）通分后进行计算即可．
【详解】（1）解：小明同学化简的第一步是因式分解；故答案为：因式分解；
（2）第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号；
故答案为：三；去括号时，第二项没有变号；
（3）原式．
变式2.（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：．
【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可；任务二：根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：一，分式的基本性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号，
故答案为：二，去括号没有变号；
任务二：．
考点7、零指数幂、负指数幂
例1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中） ；若，则 ．
【答案】 / 5
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，幂的乘方的运用，根据运算法则计算即可．
【详解】解：，，，，故答案为：，5．
变式1.（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘除法等计算：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可；
（2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
变式2.（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算：．
【答案】1
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方法则计算，再算加减．
【详解】
考点8、分式的化简求值
例1．（2024·北京·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
先进行减法运算，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求值即可．
【详解】解：，将代入得，原式．
变式1. （2024·北京·一模）如果，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【详解】解：；
∵，∴，∴原式．故答案为：．
变式2.（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先化简，再从1，2，3中选择合适的数代入求值．
【答案】
【分析】本题考查了分式乘法运算，化简求值等知识点，利用分式的乘法法则先化简，然后从1，2，3中挑选一个使分式有意义的值代入即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】 ，
∵，∴当时，原式．
变式3. （23-24八年级下·四川内江·阶段练习）先化简：，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．
【答案】；当时，；当时，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．
先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．
【详解】，
∵，∴，
∴当时，原式；当时，原式．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2024·河北邯郸·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C．x D．
【答案】A
【分析】本题考查分式化简．根据题意直接两式相加，再将分子因式分解后约分即可．
【详解】解：，，，，故选：A．
2．（2023·福建·八年级统考期末）分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【详解】解：的分母为：，
∴最简公分母为：，故选：A．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
3．（2024·福建龙岩·二模）下列四个数中，是负数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正数与负数，绝对值，零次幂，负整数指数幂，有理数的乘方，掌握以上知识点是解题的关键．
根据绝对值的性质判断A选项；根据零次幂判断B，负整数指数幂判断C选项；根据有理数的乘方判断D选项．
【详解】解：，是正数，不符合题意；，是正数，不符合题意；
，是正数，不符合题意；，是负数，符合题意；故选：D．
4．（23-24八年级下·浙江·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母．
【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意；
B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意；
C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意；
D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意，故选：D．
5．（2024·山西晋城·二模）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后约分化简即可得到答案．
【详解】解：，故选：C．
6．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减乘除运算，逐项计算即可求解．
【详解】解：A. ，不合题意；
B. ，不合题意； C. ，符合题意，
D. ，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
7．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】B
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则计算并判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：根据运算法则，开始出现错误的步骤是第二步，正确的是，故选：．
8．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．
【详解】解：（吨）．故选：D．
9．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如果，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】原式先将括号内的进行通分，因式分解后进行约分得到，代入条件可得结论．
【详解】解：∵，
∴=====3故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．
10．（2023春·浙江八年级课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，先算零指数幂、负整数指数幂，再计算加法即可．
【详解】解：．故答案为：．
12．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的加减法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【详解】解：故答案为：.
13．（2024·山东聊城·一模）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分式加减，根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．故答案为：．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算的结果为______.
【答案】
【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可.
【详解】解：
；故答案为：.
【点睛】本题考查了分式的运算，属于基础题型，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题的关键.
15．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）若，则A=_________．
【答案】
【分析】根据分式的加减法则，变形通分计算即可．
【详解】∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，通分，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）计算：_____．
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．……第五步
小王计算的第一步是__________（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第__________步出现错误．直接写出正确的计算结果是__________．
【答案】 因式分解 三
【分析】观察解题的过程，分析每一步变形的依据，根据异分母分式的减法找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【详解】解：
，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是．
故答案为：因式分解，三，．
【点睛】本题考查异分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可；
【详解】解：，，
．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分：
(1)，，；(2)，，．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查通分，找到各分母的最简公倍数是解题的关键．
（1）根据，，的最简公倍数为进行通分即可；
（2）根据，，的最简公倍数为进行通分即可．
【详解】（1）解：，，的最简公倍数为，
；
；
；
（2）解：，，的最简公倍数为，
；；．
20．（23-24八年级下·福建漳州·期中）计算：(1)；(2)
【答案】(1)6(2)
【分析】本题考查了有理数的加减运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简等知识．
（1）根据有理数的加减运算法则，零指数幂，负整数指数幂的定义解答即可，
（2）根据同分母的分式加减法进行运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
21．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)1(3)
【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简．（1）根据同分母分式加减法则进行运算即可；
（2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
（3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
【详解】（1）解：，，，；
（2）解：，，，；
（3）解：，，．
22．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）（1）计算：
（2）先化简，再求值，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值．
【答案】（1）（2），
【分析】本题考查分式的运算，化简求值，掌握分式的运算法则，是解题的关键．
（1）先通分，再根据同分母的分式的减法法则，计算即可；
（2）先根据分式的混合运算法则，进行约分化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
∵，∴，∴当时，原式．
23．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）老师所留的作业中有这样一个分式化简题：，下面是小明的化简过程，
解：
…①
…②
…③
请仔细阅读，并解答下面的问题．
(1)第一步的依据是______；
(2)从第______步开始出现错误（填序号）；
(3)请写出正确的化简过程．
【答案】(1)分式的基本性质(2)②(3)，正确的化简过程见解析
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：（1）根据分式的基本性质即可作答；
（2）观察解题过程可知，第②步开始出现错误，原因是数字2前面的符号没有变号；
（3）根据所给计算过程进行求解即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；
（2）观察解题过程可知，第②步开始出现错误，原因是数字2前面的符号没有变号，故答案为：②；
（3）解：
．
24．（2024·浙江杭州·二模）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
【答案】见详解
【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键．计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明．
【详解】解：
25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：(1)分式（）的最大值是 ；(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
【答案】(1)9(2)7(3)4，6，8
【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键．（1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题．
（2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题
（3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，∴，即：的最小值为1，∴的最大值为8，
∴的最大值为9，即：分式（）的最大值是9，故答案为：9；
（2）由题意可知，，
∵，∴，即：的最小值为1，∴的最大值为3，
∴的最大值为7，即：分式的最大值是7；
（3）由题意可知，，
∵分式（）的值为整数，且为整数，∴的值为整数，，
∵，∴的值为，1，3，∴的值为4，6，8．
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专题5-4 分式的加减
模块1：学习目标
1. 能利用分式的基本性质进行通分，了解最简公分母的概念。
2. 类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则。
3. 能进行简单的分式加、减运算，及分式的加、减、乘、除混合运算。
4. 掌握分式的化简求值。
模块2：知识梳理
1.分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
2.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
3.分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
4.分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
模块3：核心考点与典例
考点1、分式的加减-同分母加减
例1．（2024·河北·一模）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
变式1.（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）化简： ．
变式2.（2024·河南信阳·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
考点2、最简公分母
例1．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
变式1.（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）分式的最简公分母为 ．
变式2.（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
考点3、通分
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）通分：
(1)，；(2)，；(3)，，．
变式1. （22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)与；(2)与．
变式2. （23-24八年级下·浙江·课后作业）通分：(1)， (2)
考点4、分式的加减-异分母加减
例1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算(1)(2)
变式1.（2024·天津河北·一模）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24八年级上·浙江·假期作业）计算：(1)；(2)．
考点5、分式加减的实际应用
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由．
变式1. （2024八年级·浙江·培优）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务．
变式2.（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
考点6、分式混合运算-改错问题
例1．（2024八年级下·江苏·专题练习）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答都有错误：
甲同学的解答从第 步开始出现错误；乙同学的解答从第 步开始出现错误；
请重新写出完成此题的正确解答过程．
变式1.（2023·河南濮阳·模拟预测）小明同学化简的过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
． 第五步
(1)小明同学化简的第一步是______．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______．(3)请你书写正确的化简过程及结果．
变式2.（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
考点7、零指数幂、负指数幂
例1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中） ；若，则 ．
变式1.（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算
(1)；(2)．
变式2.（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）计算：．
考点8、分式的化简求值
例1．（2024·北京·一模）先化简，再求值：，其中．
变式1. （2024·北京·一模）如果，那么代数式的值为 ．
变式2.（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先化简，再从1，2，3中选择合适的数代入求值．
变式3. （23-24八年级下·四川内江·阶段练习）先化简：，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2024·河北邯郸·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C．x D．
2．（2023·福建·八年级统考期末）分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建龙岩·二模）下列四个数中，是负数的为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·浙江·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
5．（2024·山西晋城·二模）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）下列式子运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
8．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·北京顺义·九年级校考阶段练习）如果，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
10．（2023春·浙江八年级课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算： ．
12．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）计算： ．
13．（2024·山东聊城·一模）计算： ．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算的结果为______.
15．（2022秋·山东威海·八年级统考期末）若，则A=_________．
16．（2023春·浙江八年级课时练习）计算：_____．
17．（2023·浙江·九年级专题练习）按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
．……第五步
小王计算的第一步是__________（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第__________步出现错误．直接写出正确的计算结果是__________．
18．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东聊城·期中）通分：
(1)，，；(2)，，．
20．（23-24八年级下·福建漳州·期中）计算：(1)；(2)
21．（23-24八年级下·浙江·课后作业）计算：
(1)(2)(3)
22．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）（1）计算：
（2）先化简，再求值，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值．
23．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）老师所留的作业中有这样一个分式化简题：，下面是小明的化简过程，
解：
…①
…②
…③
请仔细阅读，并解答下面的问题．
(1)第一步的依据是______；
(2)从第______步开始出现错误（填序号）；
(3)请写出正确的化简过程．
24．（2024·浙江杭州·二模）圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：(1)分式（）的最大值是 ；(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
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