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专题5-5 分式方程
模块1：学习目标
1. 了解解分式方程的基本思路和解法。
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。
3. 体会解分式方程过程中的化归思想。
4. 结合分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的数学模型。
模块2：知识梳理
1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
模块3：核心考点与典例
考点1、分式方程的辨别
例1．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）下列关于的方程中不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2. （23-24八年级上·浙江·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
(1)；(2)；(3)（是常数．）；(4)．
考点2、解分式方程
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程：(1)(2)
变式1.（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程：(1)；(2)．
变式2.（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算：(1)；(2)．
考点3、分式方程有增根
例1．（2024八年级下·江苏·专题练习）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ．
变式1.（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程有增根，则m的值是 ．
变式2.（2023·重庆·八年级校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
考点4、分式方程无解
例1．（2023·四川眉山·三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
变式1. （2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ．
变式2. （23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）关于x的分式方程无解，则 ．
考点5、列分式方程
例1．（23-24九年级下·山东潍坊·阶段练习）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·浙江杭州·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·四川宜宾·模拟预测）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得（ ）
A． B． C．26+10 D．26﹣10
考点6、分式方程的实际应用
例1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）“耕读传家远，诗书济世长．”我国传统的教育一直注重劳动教育，积累了丰富的劳动教育智慧．《关于全面加强新时代中小学生劳动教育的意见》强调，学校要注重劳动教育系统化、课程化，要组织相关力量搭建劳动平台，支持学生开展劳动实践．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地每捆菜苗价格的1.5倍，用300元在市场上购买的这种菜苗比在菜苗基地购买的少4捆．求菜苗基地每捆这种菜苗的价格．
变式1．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
变式2．（2023·江西上饶·校联考一模）为创建国家卫生城市，我市计划将城市道路两旁的人行道进行改造．经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做，恰好能在规定时间内完成．若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的3倍．若甲、乙两工程队合作3天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需4天完成．(1)问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付工资3万元，乙工程队做一天需付工资0.8万元．应该怎样安排才能在规定的时间完成这项工程，并使工程花费最少？最少是多少元？
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级·浙江·随堂练习）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川巴中·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南周口·模拟预测）五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级·北京怀柔·期末）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是( )
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（ ）
A．4 B． C． D．3
8．（2024·浙江·一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
9．（2024·青海西宁·一模）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是（ ）
A．0.3km/min B．0.6km/min C．0.8km/min D．1.2km/min
10．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江七年级月考）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
12．（2024·江苏徐州·一模）方程的解为 ．
13．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
14．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15．（2024·山东青岛·一模）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
16．（2024·湖南·九年级统考期末）对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为______．
17．（2023·四川巴中·模拟预测）某区进行雨水、污水管道改造工程，经测算，若由甲工程队单独完成这项工程，则需要120天；若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做36天，即可完成．乙队单独完成这项工程需要 天．
18．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东烟台·期中）解分式方程：(1)(2) ．
20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程
(1)若该方程的增根为，求的值；(2)若该方程有增根，求的值．(3)若该方程无解，求的值．
21．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理 第二步，去分母…
(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．
22．（2023·江西新余·模拟预测）下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设……等量关系：甲图书单价乙图书单价20
任务：（1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________；
A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
23．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程：①的解是；
②的解是；③的解是；④的解是 ；
(1)请完成上面的填空；(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
(3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解
24．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
25．（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
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专题5-5 分式方程
模块1：学习目标
1. 了解解分式方程的基本思路和解法。
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。
3. 体会解分式方程过程中的化归思想。
4. 结合分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型。
模块2：知识梳理
1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
模块3：核心考点与典例
考点1、分式方程的辨别
例1．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）下列关于的方程中不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式方程的定义：方程两边由分式构成的方程即为分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：A、B、C都符合定义；D中没有分式，故不是分式方程；故选：D．
变式1.（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；故选：A．
变式2. （23-24八年级上·浙江·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
(1)；(2)；(3)（是常数．）；(4)．
【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)是
【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程；
（2）是关于的分式方程；
（3）是整式方程，不是关于的分式方程；
（4）是关于的分式方程
考点2、解分式方程
例1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解分式方程：(1)(2)
【答案】(1)(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键．
（1）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验并作答的步骤解答即可；
（2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验并作答的步骤解答即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，解得：，
经检验，是方程得解，所以分式方程的解是；
（2），方程两边同时乘，得：，
去括号，得：，解得：，
检验，时，所以不是原方程的解，原分式方程无解．
变式1.（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．（1）两边同时乘以，化成整式方程求解即可．（2）两边同时乘以，化成整式方程求解即可．
【详解】（1）∵，
去分母，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：当时，，
∴是原方程的根；
（2）∵ ，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
变式2.（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)无解(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验；
（2）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验．
【详解】（1）解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
（2）解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
考点3、分式方程有增根
例1．（2024八年级下·江苏·专题练习）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：，解得：．故答案为：1．
变式1.（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程有增根，则m的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．故答案为：
变式2.（2023·重庆·八年级校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
【答案】D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解： 去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
考点4、分式方程无解
例1．（2023·四川眉山·三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以，即，求出即可．
【详解】解：，方程两边同时乘以，得，
去括号得，，移项、合并同类项得，，
方程无解，，，，故答案为：1
变式1. （2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，整理得：，
当时，方程无解，
∵分式方程的增根是：，∴把代入，得，解得：，
所以的范围是，且．故答案为：，且．
变式2. （23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程去分母得：，解得：，
当时分母为0，方程无解，
即，时方程无解．故答案为：．
考点5、列分式方程
例1．（23-24九年级下·山东潍坊·阶段练习）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里，，故选：B．
变式1.（2024·浙江杭州·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设第一次分钱的人数为x人，根据“第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得：．故选：C
变式2.（2024·四川宜宾·模拟预测）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得（ ）
A． B． C．26+10 D．26﹣10
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意可得原计划生产个，因为多生产了10个，因此实际生产了个，因为实际比原计划每天多生产5个，因此实际每天生产个，根据实际生产的零件数量÷工作效率天，故可得方程．
【详解】解：根据“实际生产的零件数量÷工作效率天”可列方程：．故选：B．
考点6、分式方程的实际应用
例1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）“耕读传家远，诗书济世长．”我国传统的教育一直注重劳动教育，积累了丰富的劳动教育智慧．《关于全面加强新时代中小学生劳动教育的意见》强调，学校要注重劳动教育系统化、课程化，要组织相关力量搭建劳动平台，支持学生开展劳动实践．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地每捆菜苗价格的1.5倍，用300元在市场上购买的这种菜苗比在菜苗基地购买的少4捆．求菜苗基地每捆这种菜苗的价格．
【答案】菜苗基地每捆这种菜苗的价格为25元．
【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设菜苗基地每捆这种菜苗的价格为x元，则市场上每捆菜苗的价格是元，根据题意列出方程，求解，再检验即可．
【详解】解：设菜苗基地每捆这种菜苗的价格为x元，则市场上每捆菜苗的价格是元，
根据题意有：，解得：，
经检验是原分式方程的解，
所以菜苗基地每捆这种菜苗的价格为25元．
变式1．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】(1)试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
(2)超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额总成本销售盈利，列出算式，即可求解．
【详解】（1）解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
（千克），
答：试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
（2）解：（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
变式2．（2023·江西上饶·校联考一模）为创建国家卫生城市，我市计划将城市道路两旁的人行道进行改造．经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做，恰好能在规定时间内完成．若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的3倍．若甲、乙两工程队合作3天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需4天完成．(1)问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付工资3万元，乙工程队做一天需付工资0.8万元．应该怎样安排才能在规定的时间完成这项工程，并使工程花费最少？最少是多少元？
【答案】(1)我市要求完成这项工程规定的时间是8天
(2)应安排甲做天，乙做8天．最少花费万元
【分析】（1）设规定时间是天，根据题意列出分式方程，解方程即可作答；
（2）先求出甲乙单独完成该工作需要的时间以及费用，即可判断出完成相同工作量乙的花费更少，因此在按时完成的基础上，应该让乙参与的天数更多，据此即可作答．
【详解】（1）设规定时间是天，
由题意列方程为：，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：我市要求完成这项工程规定的时间是8天；
（2）根据（1）可知：甲单独完成该工作需要8天，则需要费用24万元，
乙单独完成该工作需要24天，则需要费用19.2万元，
则有：可得完成相同工作量乙的花费更少，
因此在按时完成的基础上，应该让乙参与的天数更多．
即乙需要参与该工作的天数为8天，
则甲参与的天数为：（天），
∴应安排甲做天，乙做8天． 最少花费（万元）．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．解分式方程记得对所得的根进行经验．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级·浙江·随堂练习）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A． 方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B． 方程分母中不含未知数x，故不是分式方程；
C． 方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，不是分式方程；
D． 方程分母中含未知数x，故是分式方程．故答案选D．
2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．故选：B．
3．（2023·四川巴中·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程得：即，由题意可知，即可得到m．
【详解】解：，方程两边同时乘以，得：，整理得：，
∵分式方程有解，∴，∴，即，∴，故选：D．
4．（2024·河南周口·模拟预测）五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列分式方程，根据速度、时间、路程之间的关系，以及“同时到达”的等量关系建立方程即可．
【详解】解：由题意得，大巴车所用时间为：小时，
老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，
老师自驾小车所用时间为：小时，可列方程为，故选：A．
5．（23-24八年级·北京怀柔·期末）定义：如果一个关于x的分式方程 的解等于我们就说这个方程叫和解方程. 比如 : 就是个和解方程. 如果关于x的分式方程是一个和解方程，那么 n的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了新定义和分式方程，弄清题中的新定义的含义、正确利用分式方程的解是解此题的关键．
根据题中和解方程的定义得出未知数x的解，把x的值代入分式方程就可求出答案．
【详解】关于x的分式方程是一个和解方程
根据题中新定义得： 解得： 将代入得故选：D
6．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）用换元法解方程时，如果设，那么可以得到一个关于的整式方程，该方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，根据题设，原方程化为，去分母化为整式方程，整理方程即可解答．
【详解】解：设，则原方程化为，
方程两边同乘以y，得，即，故选：C．
7．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根．
将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可；
【详解】解：将分式方程变为整式方程得：．整理得：，
∵原分式方程无解，∴，∴，解得：．故选A．
8．（2024·浙江·一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键．
设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
【详解】设绫布有尺，则罗布有尺，∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．故选：C．
9．（2024·青海西宁·一模）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是（ ）
A．0.3km/min B．0.6km/min C．0.8km/min D．1.2km/min
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设自行车的速度是km/min，根据汽车的速度是自行车的速度的2倍，他们同时到达，列出分式方程进行求解即可．
【详解】解：设自行车的速度是km/min，则汽车的速度是km/min，由题意，得：
，解得：；经检验，是原方程的解，故选：A．
10．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：去分母得，，解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴∴，
∴满足条件的所有整数a的和为，故选：B
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·浙江七年级月考）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
【答案】3
【分析】把代入方程中，即可求出m值．
【详解】解：把代入中，得：
，解得：，故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是理解方程的解能使方程左右两边相等．
12．（2024·江苏徐州·一模）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化为整式方程，解方程并检验即可求解．
【详解】解：，，解得：，
经检验，是原方程的解，故答案为：．
13．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：，即，故答案为：．
14．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查分式方程的增根；熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键．根据分式方程的求解方法求出，再由是方程的增根，得到等式，即可求解．
【详解】解：将变形为，
方程两边同时乘以，得：，∴．
∵方程有增根，∴，即，∴，∴．故答案为：4．
15．（2024·山东青岛·一模）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为元/斤，根据题意可列方程为
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设该种水果打折前的价格为元/斤，根据等量关系“对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤”列出方程即可．
【详解】解：设该种水果打折前的价格为元/斤，
依题意得：．故答案为：．
16．（2024·湖南·九年级统考期末）对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为______．
【答案】##
【分析】根据新定义可得：若，则；若，则，分别求出，即可．
【详解】解：根据新定义可得：
若，即，则，
∵，∴，∴，解得，
∵，∴不符合题意，舍去；
若，即，则，
∵，∴，∴，解得，
当时，，故答案为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论．
17．（2023·四川巴中·模拟预测）某区进行雨水、污水管道改造工程，经测算，若由甲工程队单独完成这项工程，则需要120天；若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做36天，即可完成．乙队单独完成这项工程需要 天．
【答案】80
【分析】本题考查分式方程的应用．设乙队单独完成这项工程需要天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙队单独完成需天，
根据题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，答：乙队单独完成需80天．故答案为：80．
18．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程，再化简得出，结合分式无解，即为分母为0，列式计算，即可作答．
【详解】解：；∴ ∴
∵关于x的分式方程无解，∴或，即解得或
把代入得解得
综上：m的值是或故答案为：或
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级上·山东烟台·期中）解分式方程：(1)(2) ．
【答案】(1)x＝3(2)原方程无解
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）根据分式方程的解法可进行求解；（2）根据分式方程的解法可进行求解
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，应舍去，原方程无解
20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程
(1)若该方程的增根为，求的值；(2)若该方程有增根，求的值．(3)若该方程无解，求的值．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）根据分式方程解法，去分母得到方程，再由增根的定义得到方程求解即可得到答案；（2）根据分式方程增根的定义，得到增根为或，根据分式方程解法去分母，将增根代入求解即可得到答案；（3）根据解分式方程的方法，当有增根时，方程无解；当，方程无解；从而得到答案．
【详解】（1）解：，
去分母得，即，
该方程的增根为，，解得；
（2）解：若分式方程有增根，则增根为或，
由（1）去分母得，当时，，解得；
当时，，解得；综上所述，或；
（3）解：由（2）知当或，方程有增根，则分式方程无解；
由（1）可知，原分式方程去分母后得到，
当，即时，方程无解；综上所述，或．
【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式方程有增根、分式方程无解的条件、增根定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
21．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理 第二步，去分母…
(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质；等式的性质(2)见解析
【分析】本题考查了分式的基本性质和等式的性质、解分式方程，掌握解分式方程的方法与步骤是解题的关键．（1）理解根据分式的基本性质整理方程，根据等式的性质去分母，得出答案即可；
（2）根据解分式方程的方法与步骤，将方程整理，去分母，去括号，移项合并，系数化，验根即可．
【详解】（1）解：第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以，得，
第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以，
故答案为：分式的基本性质；等式的性质；
（2）解：，
第一步：整理得：，
第二步：去分母得：，去括号得：，
移项合并得：，系数化得：，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．
22．（2023·江西新余·模拟预测）下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设……等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设……等量关系：甲图书单价乙图书单价20
任务：（1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________；
A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
【答案】（1）甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量；（2）甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元
【分析】本题查分式方程的实际应用：（1）根据题意可得解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量；（2）根据解分式方程的基本步骤解答，即可求解．
【详解】解：（1）解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量；故答案为：甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量
（2）解法一：解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，所以，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元；
解法二：解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元．
23．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程：①的解是；
②的解是；③的解是；④的解是 ；
(1)请完成上面的填空；(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
(3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解
【答案】(1)(2)的解是；(3)的解是．
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．（1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可；（2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
经检验，为方程的解，
故答案为：．
（2）解：由题意得：⑤的解是；
故答案为：的解是；
（3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是．
24．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①；②；③；④(2)(3)
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；（2）根据“关联数对”定义计算即可；（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，，
∵，∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，解得：，
，②不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，解得，
，③是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，此方程无解，
④是关于的分式方程的“关联数对”；故答案为：①；②；③；④．
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，解得：，，解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，
，，，解得，
∵可化为，
∴，解得：，
方程有整数解，整数，即，
又，，．
25．（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米(2)共需修建费用元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，列方程并进行计算，注意验根；（2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，
依题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，∴（千米），
∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得，解得，
∴甲施工队单独修建5天，则（元），
∴共需修建费用元．
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