浙教版七年级下册第四章 因式分解 培优练习（含解析）

浙教版七年级下册第四章因式分解培优练习
一、选择题
1． 下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把多项式分解因式，应提的公因式是（　　）
A． B． C． D．
3．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（　　）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
4．如果代数式是一个完全平方式，那么m的值为（　　）
A．6 B．-12 C．±6 D．±12
5．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（　　）
A．x2-1 B．x(x-2)+(2-x)
C．x2-2x+1 D．x2+2x+1
6．若4x2-3xy+2=0，y2-xy-18=0，则2x-y的值是（　　）
A．4 B．2 C．±2 D．±4
7．计算：101×1022-101×982=（　　）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
8．已知，，，则代数式的值为（　　）
A．4 B．10 C．8 D．6
9．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
10．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若多项式 能因式分解为（x+2）（x-3），则m+n的值为　 　.
12．若整式x2+ky2 (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k=　 　．(写出一个即可)
13． 规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为　 　．
14．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为14，面积为8，则m2n+mn2的值为　 　．
15．若实数a，b满足a2+5b2+4ab+6b+9=0，则a+5b的值为　 　 ．
16．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数　 　．
三、解答题
17．现有三个多项式： a2+a-4， a2+5a+4， a2-a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
18．若(xm÷x2n)3÷x2m-n与2x3是同类项，且m+5n=13，求m2-25n2的值。
19．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
20．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为　 　，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为　 　.
（2）由(1)的结果得出结论　 　.
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
21．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得 ，解得 ，∴
解法二：设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取 ，
2× ＝0，故 ．
（ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
22．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
23．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
D、，是因式分解，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
2．【答案】B
3．【答案】B
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2+mx+36=x2+mx+62是一个完全平方式，
∴2×6=±m，
∴m=±12.
故答案为：D.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可列出关于字母m的方程，求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、x2-1=（x+1）（x-1），此代数式含有因式x-1，因此A不符合题意；
B、原式=x(x-2)-(x-2)=（x-2）（x-1），此代数式含有因式x-1，因此B不符合题意；
C、x2-2x+1=（x-1）2，此代数式含有因式x-1，因此C不符合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，此代数式不含有因式x-1，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用平方差公式、完全平方公式、提公因式，对各选项先分解因式，再作出判断即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解： 4x2-3xy+2=0①，y2-xy-18=0②，
由①+②得
4x2-4xy+y2=16
（2x-y）2=16，
解之：2x-y=±4.
故答案为：D.
【分析】将两个等式相加，可转化为（2x-y）2=16，据此可求出2x-y的值.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：原式=101×（1022-982）=101×（102+98 ）×（102-98） =101×200×4=80800.
故答案为：D.
【分析】观察可知，两项含有公因数101，先提取公因数，再利用平方差公式进行计算，可求出结果.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可.
9．【答案】D
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
10．【答案】C
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
11．【答案】-5
【解析】【解答】解：由题意得，
得：，
∴.
故答案为：-5.
【分析】，对应系数相等，可得，代入，即可求解.
12．【答案】-1（答案不唯一）
【解析】【解答】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），
故答案为：-1（答案不唯一）．
【分析】令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．
13．【答案】50
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，，
，
．
故答案为：50．
【分析】根据新定义得，从而得，，求出，进而可求出的值．
14．【答案】56
【解析】【解答】解：由题意可知：m+n＝7，mn＝8，
原式＝mn（m+n）＝8×7＝56，
故答案为56
【分析】根据题意可知m+n＝7，mn＝8，然后根据因式分解法将多项式进行分解后即可求出答案．
15．【答案】-9
【解析】【解答】解： a2+5b2+4ab+6b+9=0 ，
a2+4ab+4b2+b2+6b+9=0 ，
（a+2b）2+(b+3)2=0,
则a+2b=0, b+3=0,
b=-3,a=6,
∴a+5b=6+（-3）×5=-9.
故答案为：-9.
【分析】先把左式配成两个完全平方式，因为非负数相加等于0，则每项等于0，列式求出a、b值，再求出a+5b值即可.
16．【答案】；
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
17．【答案】解：①（ a2+a-4）+（ a2+5a+4）= a2+a-4+ a2+5a+4=a2+16a=a（a+6）；
②（ a2+a-4）+（ a2-a）= a2+a-4+ a2-a=a2-4=（a+2）（a-2）；
③（ a2+5a+4）+（ a2-a）= a2+5a+4+ a2-a=a2+4a+4=（a+2） 。
【解析】【分析】先把多项式进行化简，再运用提公因式法、平方差公式、完全平方式进行因式分解。
18．【答案】解：，
∵ (xm÷x2n)3÷x2m-n与2x3是同类项 ，
∴xm-5n与2x3为同类项，
∴m-5n=3，
又m+5n=13
∴m2-25n2=(m-5n)(m+5n)=3×13=39.
【解析】【分析】先根据同底数幂的除法法则计算小括号内的除法，再根据幂的乘方运算法则计算，进而根据单项式除以单项式法则算出最简结果；然后根据同类项的意义，列出方程m-5n=3，然后将待求式子利用平方差公式分解因式后整体代入计算即可.
19．【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
20．【答案】（1）a2-b2；（a-b）（a+b）
（2）a2-b2=（a-b）（a+b）
（3）解：原式=（2017+2016）（2017-2016）=4033
【解析】【解答】解：（1）图1的阴影部分的面积为a2-b2；
图2中阴影部分的面积为
故答案为：a2-b2，（a-b）（a+b）.
（2）∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a-b）（a+b）.
故答案为：a2-b2=（a-b）（a+b）.
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积，可表示出图1中阴影部分的面积；由图2可知，阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形的面积公式，可表示出阴影部分的面积.
（2）利用已知可得到两个图形的阴影部分的面积相等，即可求解.
（3）利用a2-b2=（a-b）（a+b），导入公式进行计算.
21．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①，
取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②，
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
【解析】【分析】（1）根据因式分解的定义，设 2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 根据多项式的乘法法则，将等式的右边展开再合并同类项，按三次项，二次项，一次项，常数项依次排列，再与等式的左边进行比较即可得出答案； 设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式） 根据恒等式的性质，又为了方便计算，采用取特殊值的方法代入计算即可得出答案；
（2） 设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 仿照（1）中的第二种解法，分别取特殊值x=1,与x=2代入代数式即可得出两个关于m,n的方程，求解即可得出答案。
22．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
23．【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
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