浙教版七下第4章 因式分解（单元测试·拔尖卷）（含解析）

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第4章 因式分解（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列因式分解正确的是（　）
A． B．
C． D．
2．多项式各项的公因式是( )
A． B． C． D．
3．下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )

A．15 B．30 C．60 D．78
5．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．10
6．已知，求的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．设 ，，．若，则的值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
8．若，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
10．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　）
A．45 B．63 C．54 D．不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若有一个因式为，则的值应当是 ．
12．已知，则 ．
13．化简： ．
14．已知， 则 ．
15．已知，为自然数，且，若，则 ， ．
16．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ．
17．若，则 ．
18．小明从标有到的卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数倍的平方减去较小数的平方刚好等于这张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）分解因式：
(1)； (2).
20．（8分）分解因式：
(1); (2).
21．（10分）（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
22．（10分）按要求回答问题：
(1)把下列各式因式分解：
①； ②．
(2)用简便方法计算：
①； ②．
23．（10分）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
(1)分解因式：
(2)若a，都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值．
24．（12分）观察下列各式，解答问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
第n个等式：______．（n为整数，且）
【尝试】
(1)根据以上规律，写出第4个等式：______；
【发现】
(2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性；
【应用】
(3)利用以上规律，直接写出的值为______．
(4)利用以上规律，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据因式分解：把一个整式化为几个因式的积的形式，从而可以得到答案．
【详解】解：A．没有把化成因式的积的形式，故A选项错误；
B．从左到右，不是把一个整式化为几个因式的积的形式，故B选项错误；
C．没有把化成因式的积的形式，故C选项错误；
D．是把化为几个因式的积的形式，是因式分解，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键．
2．C
【详解】在中，
∵系数的最大公约数是9,相同字母的最低指数次幂是a2x2，
∴公因式是9a2x2.
故选C.
3．A
【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可．
【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意；
、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；
、与有公因数，此选项不符合题意，排除；
、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
4．D
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
5．B
【分析】先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
6．A
【分析】依据平方差公式求得，结合，可求得．
【详解】解：，
，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用及平方的非负性；解题的关键是掌握平方差公式．
7．C
【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解．
【详解】，，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键．
8．D
【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：，，，
，，，
则
，
当，，时，原式．
故选：D．
9．B
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．
10．B
【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），
∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），
∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），
∴n﹣2＝9，m＝，
∴n＝11，m＝63．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．
11．-6
【分析】根据有一个因式为，可知当时，，解方程即可求出k值．
【详解】由题意，当时，，解得＝－6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查的是因式分解，将一个多项式改写成几个多项式乘积的形式是因式分解，一个因式为0，则多项式也为0．
12．
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是利用特殊值法，消去x，得出a、b、c、d、e的等式，然后利用整体思想求出结果即可．
【详解】解：令，则；①
令，则；②
令，则，
得：，
把代入得：
，
解得：．
故答案为：．
13．；
【分析】原式进行提取公因式，然后一步步的进行提取，最后计算即可得到结果．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了整式的乘法，解题的关键在于能够熟练提取公因式进行求解.
14．0
【分析】利用完全平方式的特点把原条件变形为，再利用几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0的结论可得答案．
【详解】解：因为：
所以
所以
所以 ，解得
所以
故答案为0．
【点睛】本题考查完全平方式的特点，非负数之和为0的性质，掌握该知识点是关键．
15． 8 2
【分析】化简原式可得：，设，则，再根据可求，．
【详解】，
，
，
．
设，则，
，为自然数，
，，
，或 ，，
不合题意，舍去或，，
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．
16．．
【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】解：由面积可得：．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
17．
【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案．
【详解】解：当时，
原式=
=．
故答案为：．
18．40
【分析】设两个数分别为，，列出方程，进一步利用平方差公式因式分解，探讨得出答案即可．
【详解】解：设这两个数分别为，由题意可得：，
即或，
即或，
解得：或(不符合题意，舍去），
当，，则。
【点睛】本题考查平方差公式分解因式，二元一次方程组的解法，理解题意，分析讨论得出答案是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．
（1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解；
（2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）把看做一个整体，运用十字相乘法分解即可；
（2）先运用分组分解法，前三项分一组，后一项分一个，将第一个组运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法与分组分解法是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了利用因式分解求值，
（1）由已知可得，，再结合整体代入即可求解．
（2）由已知可得，而，再整体代入即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，
∴，
当时，；
当时，．
（2）∵，
∴，
∴，
∵
．
22．(1)①； ②
(2)①； ②
【分析】（1）①利用提公因式直接因式分解；②先利用完全平方公式展开、合并同类项，然后再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）①利用提公因式法进行简便运算即可；②利用平方差公式简便运算即可．
【详解】（1）①原式
；
②原式
．
（2）①
；
②
.
【点睛】本题考查了因式分解及其在简便运算中的应用，解题的关键是熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解．
23．(1)
(2)
(3)S的最小值为6
【分析】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键．
（1）根据题意分组分解即可；
（2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值；
（3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值．
【详解】（1）
；
（2）由得，
，
，
，
，
，
，
，，
解得，，
；
（3）由得，
，
，
，，
，
当，时，
，
∴S的最小值为6．
24．(1)；
(2)，证明见解析；
(3)4045；
(4)9800
【分析】（1）根据规律即可求解；
（2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性；
（3）根据（2）的结论即可得到；
（4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据以上规律，第4个等式为；
故答案为：；
（2）解：根据这个规律猜想第n个等式为；
证明：，
∴猜想正确；
（3）解：根据以上规律，；
故答案为：4045；
（4）解：
=
．
【点睛】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键．
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