浙教版七下第4章 因式分解（单元测试·培优卷）（含解析）

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第4章 因式分解（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式不能进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
5．以下是一名学生做的5道因式分解题
①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y）；
②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2+8x﹣13）；
③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6+x）；
④1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x）；
⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）
请问他做对了几道题？（　　）
A．5题 B．4题 C．3题 D．2题
6．分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是(　　)
A．7 B．2 C． D．
7．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
8．已知三个互不相等的非零实数，，满足，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．如果多项式能被整除，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
10．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，阴影部分的小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长，现给出以下关系式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若关于的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
12．若，则代数式的值等于 ．
13．因式分解： ．
14．已知，，则的值为 ．
15．已知，则的值为 ．
16．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
17．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．
18．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）分解因式
(1)； (2).
20．（8分）因式分解：
(1)； (2).
21．（10分）因式分解：
(1)； (2)．
22．（10分）因式分解：
(1); (2).
23．（10分）【代数推理】
观察规律：
；
；
…
(1)写出第10个等式为_______；
(2)写出第n个等式，并说明你的猜想．
24．（12分）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题：
(1)应用：代数式有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______．
(2)探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：
∴当n=-2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值．
(3)拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．
【详解】解：根据因式分解的定义可知A，C错误；
B： ，故B正确；
D：，故D错误；
故选：B
【点睛】本题考查因式分解的定义，提公因式法和公式法分解因式．掌握定义是解题关键．
2．D
【分析】先把每个多项式分解因式，然后再找出它们的公因式即可．
【详解】解：∵, ，
∴多项式与的公因式是．
故选：D．
【点睛】本题考查多项式的因式分解问题，平方差公式和完全平方公式的运用是解题的关键．
3．B
【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答．
【详解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合题意；
无法因式分解，故B符合题意；
利用完全平方公式，可得，故C不符合题意；
利用平方差公式，可得，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．
4．D
【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
又，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
5．D
【详解】此题只需根据因式分解的方法：提取公因式、运用公式法、分组分解法，进行分析判断．
解：①3x2﹣5xy+x=x（3x﹣5y+1），故错误；
②﹣4x3+16x2﹣26x=﹣2x（2x2﹣8x+13），故错误；
③6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6﹣x），故错误；
④根据平方差公式，得1﹣25x2=（1+5x）（1﹣5x），故正确；
⑤x2﹣xy+xz﹣yz=（x2﹣xy）+（xz﹣yz）=（x﹣y）（x+z），故正确．
所以④⑤正确．
故选D．
6．C
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：，
∴表示，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键．
把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：
∵，
∴
∵a、b、c是三角形的三边，
∴
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了等式性质、平方差公式的应用及代数式求值，根据等式性质进行变形得，，进而得出，由题意求出，再整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
．
为互不相等的非零实数，
，
，
．
故选：D．
9．A
【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值.
【详解】解：∵，
∴能被整除，
设商是A．
则，
则和时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当时， ①
当时， ②
，得，
∴，
∴．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出和时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．
10．D
【分析】正方形图案的边长7，同时还可用来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是，还可以是，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．
【详解】解：因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故①正确；
因为正方形图案面积从整体看是49，
从组合来看，可以是，还可以是，
所以有，
即，
所以，
即，故②正确；
由②可知，故③正确；
，故是错误的；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解答需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
11．
【分析】先利用完全平方公式因式分解，比较一次项的系数，常数项即可．
【详解】∵关于 x 的多项式 x2+4x+k 能用完全平方公式进行因式分解，
∴x2+4x+k=(x+)2 ，
∴x2+4x+k=x2+x+
∴2=
∴k=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查因式分解的问题，掌握因式分解的方法，会用完全平方公式因式分解确定待定系数是解题关键．
12．﹣4
【分析】根据，得出a－2＝b，两边平方移项即可得出的值．
【详解】解：∵，
∴a－2＝b，
∴
∴
∴
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查乘法公式的应用，熟练利用乘法公式将已知等式变形是解题的关键．
13．（x＋y）（x－y＋a）
【分析】根据因式分解-分组分解法分解因式即可．
【详解】解：原式=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了分解因式-分组分解法，熟记平方差公式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查代数式求值，涉及因式分解、解二元一次方程组等知识，由题中所给等式，利用因式分解化简后联立方程组求解得到的值，代入代数式即可得到答案，根据条件与所求代数式的关系变形化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
联立方程组得，解得，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将变形后再因式分解为，求出x的值，再代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：
16．
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴必须与一组，
∴
，
故答案为：
18． 20
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查利用公式法、提公因式法及十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可；
（2）利用提公因式及十字相乘法因式分解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：
（2）
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，
（1）本题先利用多项式乘以多项式计算得到两组多项式，再利用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先分组依次提公因式，再利用公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．(1)
(2)，证明见详解
【分析】（1）根据已有的形式直接作答即可；
（2）根据（1）的经验写出第n个等式，再根据整式的混合运算法则计算证明即可．
【详解】（1）根据已有的规律可知，第10个等式为，
故答案为：；
（2）第n个等式为，
证明：，
，
∴左边右边，
故等式成立．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
24．(1)最小，
(2)时，最小值为
(3)时，最小值为
【分析】（1）据非负数的性质即可得出答案；
（2）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【详解】（1）代数式有最小值，这个值是，此时m=0；
故答案为：最小，；
（2），
∴当时，取得最小值，最小值为；
（3）∵
∴当x2y=0，y6=0时，即x=12，y=6，多项式的最小值是-21．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
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