浙教版七下第4章 因式分解（单元测试·综合卷）（含解析）

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第4章 因式分解（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
2．在把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，．那么的值是（ ）
A． B． C．21 D．10
4．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．将多项式再加上一项，不能成为的形式的是（ ）
A． B． C． D．
6．若为任意整数，则的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
7．小贤在抄题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知满足，，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．0 D．-8
9．已知满足，，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．0 D．-8
10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．因式分解： ．
12．若多项式有一个因式为，那么 ．
13．边长为、的长方形的周长为，面积为，则的值为 ．
14．分解因式： ．
15．若，，那么式子的值为 ．
16．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
17．正整数p，q（）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，并且，则n＝ ．
18．一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若是完全平方数，则正整数x的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）把下列多项式分解因式
(1)； (2)．
20．（8分）用分组分解法或拆项法对下列多项式进行因式分解：
①； ②．
（10分）因式分解：
（1） （2）
22．（10分）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．
23．（10分）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
24．（12分）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．
（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；
（2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；
（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A．左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
2．B
【分析】根据确定公因式的方法，公因式的系数是各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项的相同字母，指数取最低次幂，所以公因式为：a．
【详解】解：a2x与ay与a3xy的公因式为a，
故把分解因式时应该提取公因式是a．
故选B．
【点拨】本题考查了用提取公因式法分解因式，提取公因式法的关键是正确地确定公因式：（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时） （2）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低指数次幂．
3．C
【分析】本题主要考查利用因式分解，整体带入求值，直接对因式分解，，然后直接带入，即可算出答案．
【详解】由题可知，；
∵，；
∴；
故选：C．
4．C
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
【详解】解：A、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
C、，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意；
D、，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：．
5．D
【分析】本题考查了完全平方式，注意分，是平方项与乘积二倍项以及1是乘积二倍项三种情况讨论求解，熟记完全平方公式是解题的关键．分①是平方项，②是乘积二倍项，③1是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】A．，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
B．，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C．，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D．，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为，然后进行判断即可．
【详解】解：
，
∴的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除．
故选：C．
7．B
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．直接利用公式法分解因式得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能分解因式，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．C
【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】解：，，
又，
，
，，
，
，
，
代入得，=0．
故选：C．
【点拨】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．
9．C
【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】解：，，
又，
，
，，
，
，
，
代入得，=0．
故选：C．
【点拨】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．
10．B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点拨】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
11．/
【分析】直接利用提公因式法，提出m2分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出各项中的公因式是解题的关键．
12．3
【分析】设另一个因式为2x+a，利用因式分解是乘法运算的逆运算求解即可．
【详解】解：设另一个因式为2x+a，
∵(2x+a)(x-1)
=
=，
∴=，
∴a-2=-5，m=-a，
∴a=-3，m=3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查因式分解与乘法运算的关系，熟练掌握因式分解是乘法运算的逆运算是解答本题的关键．
13．
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接利用已知得出，的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案，正确分解因式是解题关键．
【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】通过十字相乘法，即可得出结果．
【详解】解：
，
故答案为：
【点拨】本题考查了用十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法．
15．
【分析】把两个等式相减化简后可得，再把中的拆成，再分别与前后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决．
【详解】∵，
∴
即
∵
∴
故答案为： 2020
【点拨】本题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在．
16．
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
17．20
【分析】利用因式分解变形等式，讨论求值即可．
【详解】解：∵正整数p，q（）分别是正整数n的最小质因数和最大质因数，
∴可以设，
∵，
∴，
当时，有，
∵，
∴，
∵，p为质因数，
∴，
∴，
∴；
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是因式分解的应用以及代数式求值，解答此题的关键是利用因式分解对等式变形．
18．341或86．
【分析】设，则，然后运用完全平方公式变形整理得到，再因式分解得出两个二元一次方程组，解之可得．
【详解】解：设，
则，
∴，整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴或，
∴或86，
故答案为：341或86．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解答时应根据整式的特征选择适当方法进行分解．
（1）先提公因式，再用平方差公式进行分解；
（2）先提公因式，再用完全平方公式进行分解；
【详解】（1）原式
（2）原式
20．①；②
【分析】（1）先分组，然后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可；
（2）先将原式变形，然后用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：①
；
②．
【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，平方差公式和完全平方公式．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）将看作整体，利用十字相乘法分解为两个多项式相乘，然后再每个多项式利用十字相乘法进行分解即可；
（2）先对前两项提公因式再运用平方差公式分解，然后把后两项看作整体，进行提公因式整理即可.
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=
=.
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法是解题的关键
22．（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解；
（2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状．
【详解】解：（1）
．
（2）为等腰三角形．理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，为三边，
∴，
∴，
即，
∴为等腰三角形．
【点拨】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
23．（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点拨】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
24．(1)；（2）画图见解析，；（3）266．
【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；
(2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；
(3)根据题意列出方程，求出即可．
【详解】解：(1)用面积和差计算得：；
用长方形面积公式计算得：；
可得等式为：；
(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：
根据面积公式可得，；
(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则，
解得，，
∴，即，
图1中小长方形的面积为24，则，
则，
；
拼成的长方形面积是266．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．
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