专题4.1 因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题4.1 因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【知识点2】提公因式法：
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
【知识点3】公式法：
运用公式法，即用：
【知识点4】分组分解法：
（一）分组后能直接提公因式
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
（二）分组后能直接运用公式
分组后，每组内至少一组能用完全平方公式，组与组之间又有公因式或公式法进行因式分解。
【知识点5】十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
【考点目录】
【考点1】因式分解定义； 【考点2】公因式；
【考点3】提取公因式； 【考点4】公式法；
【考点5】分组分解法； 【考点6】十字相乘法；
【考点7】因式分解的应用.
【考点1】因式分解定义；
【例1】下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【变式1】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【变式2】若分解因式，则 ．
【考点2】公因式
【例2】已知
（1）求的值
（2）化简代数式
【变式1】整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
【变式2】把多项式分解因式，应提取的公因式是 ．
【考点3】提取公因式；
【例3】把下列各式分解因式：
(1)； (2)，
【变式1】将多项式提公因式后，另一个因式为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】分解因式＝ ．
【考点4】公式法；
【例4】因式分解：(1)； (2)
【变式1】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，则的值为 ．
【考点5】分组分解法；
【例5】常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
(1)； (2)．
【变式1】把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
【变式2】分解因式： ．
【考点6】十字相乘法.
【例6】分解因式：．
【变式1】若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【变式2】因式分解： ．
【考点7】分解因式的应用.
【例7】阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解；
(2)拓展：求当等于多少时，代数式．
【变式1】任意正整数都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为，并规定．例如：，现有下列说法：
①；②；③若是一个完全平方数，则；④若是一个完全立方数，即（是正整数），则．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】若，那么代数式的值为 ．
专题4.1 因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【知识点2】提公因式法：
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
【知识点3】公式法：
运用公式法，即用：
【知识点4】分组分解法：
（一）分组后能直接提公因式
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
（二）分组后能直接运用公式
分组后，每组内至少一组能用完全平方公式，组与组之间又有公因式或公式法进行因式分解。
【知识点5】十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
【考点目录】
【考点1】因式分解定义； 【考点2】公因式；
【考点3】提取公因式； 【考点4】公式法；
【考点5】分组分解法； 【考点6】十字相乘法；
【考点7】因式分解的应用.
【考点1】因式分解定义；
【例1】下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【答案】(1)不是因式分解； (2)不是因式分解； (3)是因式分解
(4)不是因式分解； (5)不是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式
（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；
（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（3）解：是因式分解；
（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．
【变式1】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．
解：设，
则，
∴，
解得：，
故选C．
【变式2】若分解因式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，掌握因式分解与整式的乘法之间的关系是解题的关键．
根据整式的乘法计算，即可求得的值，进而求得代数式的值．
解：
∵
∴
解得
．
故答案为：3．
【考点2】公因式
【例2】已知
（1）求的值
（2）化简代数式
【答案】（1）；（2）20
【分析】（1）根据平方差公式得到，代入即可；
（2）由（1）可解出a，b的值，再化简代数式计算即可．
解：（1）
又∵ ，
∴
（2）由，解得
∵
∵，
∴原式．
【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，以及整式的化简求值问题，解题的关键是掌握运算法则．
【变式1】整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
【变式2】把多项式分解因式，应提取的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式，提公因式，即可求解．
解：把多项式分解因式，应提取的公因式是，
故答案为：．
【考点3】提取公因式；
【例3】把下列各式分解因式：
(1)； (2)，
【答案】(1)； (2)
【分析】本题考查了用提公因式法因式分解；
（1）直接提取公因式进行因式分解；（2）先变形，再提取公因式进行因式分解．
解：（1）；
（2）．
【变式1】将多项式提公因式后，另一个因式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式．
解：
，
∴公因式是，另一个因式为．
故选：B
【变式2】分解因式＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为，再提取公因式即可求解．
解：
．
【考点4】公式法；
【例4】因式分解：(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查因式分解，
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
解题的关键是掌握分解因式的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
（1）解：
；
（2）
．
【变式1】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式分解因式的特点是解本题的关键．根据平方差公式分解因式的特点逐项分析即可．
解：A. 是b与a的平方差的形式，故选项正确，符合题意；
B. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
C. 是a、b的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
D. 不是平方差的形式，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2】已知，则的值为 ．
【答案】64
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
把两个方程相加，即可求出的值，然后再代入进行计算即可解答．
解：，
得，，
，
故答案为：64．
【考点5】分组分解法；
【例5】常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】此题考查了分组分解法分解因式，
（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（2）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式即可；
解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用．
解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
．
【变式1】把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
【答案】A
【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
【变式2】分解因式： ．
【答案】
【分析】先分组得到，再把每组分解，然后提公因式即可．
解：原式
故答案为
【点拨】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．
【考点6】十字相乘法.
【例6】分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可．
解：
．
【变式1】若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
解：已知等式整理得：，
可得，，
解得：，，
故答案为：D．
【点拨】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】因式分解： ．
【答案】
【分析】利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案．
解：原式．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键．
【考点7】分解因式的应用.
【例7】阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解；
(2)拓展：求当等于多少时，代数式．
【答案】(1)；(2)1或
【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
（1）根据题目中给出的方法分解因式即可；
（2）先将分解因式得出，根据得出或，求出的值即可．
（1）解：
；
（2）
；
，
当或时，，
或时，，
或时，．
【变式1】任意正整数都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为，并规定．例如：，现有下列说法：
①；②；③若是一个完全平方数，则；④若是一个完全立方数，即（是正整数），则．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关键．
①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；
②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；
③根据题意找出n的符合题意的分解即可得出结论；；
④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可．
解：①∵，，此说法正确；
②24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24-1＞12-2＞8-3＞6-4，所以4×6是24的符合题意的分解，所以，故错误；
③是一个完全平方数，
设，
是n的符合题意的分解，则，此说法正确；
④若是一个完全立方数，即（是正整数），是正整数，如，，则不一定成立，此说法错误．
综上所述，有两个正确，
故答案为：B．
【变式2】若，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案．
解：，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
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