专题4.3 因式分解（全章分层练习）（提升练）（含解析）

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专题4.3 因式分解（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式a2－9与a2－3a的公因式是（　　）
A．a＋3 B．a－3 C．a＋1 D．a－1
3．已知，则（　　）
A． B．5 C． D．1
4．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（ ）.
A． B．
C． D．
5．下列多项式不能进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　）
A． B．4043 C． D．1
8．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A． B．5 C．1 D．
9．已知，，则代数式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
10．已知a，b满足，且，则关于a与b的数量关系，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若关于的两个多项式与的乘积是，则＝ .
12．已知，则 ．
13．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为 ．
14．分解因式： ．
15．分解因式： ．
16．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为
17．甲、乙两人在对进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，则因式分解的正确结果为 ．
18．添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式：
①；
又比如多项式可以这样分解：
②；
仿照以上方法，分解多项式的结果是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）将下列多项式分解因式
(1) ； (2) .
20．（8分）把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ．
21．（10分）分解因式：
①； ②．
22．（10分）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．
(1)请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
23．（10分）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．
24．（12分）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求的最小值．
解：
，
，
，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________．
(2)求的最小值．
(3)已知，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A．，等式左右两边都是多项式，不属于因式分解，故A选项不符合题意；
B．属于多项式乘法，不属于因式分解，故B选项不符合题意；
C．，等式左右两边都是多项式，不属于因式分解，故C选项不符合题意；
D．属于因式分解，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查判断因式分解．掌握因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
2．B
【详解】a2－9= ，a2－3a= ，故选B.
3．A
【分析】原始变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
原式
．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．B
【分析】通过观察知公因式为，提取后得即可判断.
【详解】解：
=
=
∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是.
故选B
【点睛】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.另外题中第二项为公因式，故提取后不可漏掉1也是解答此题的关键之处.
5．B
【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答．
【详解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合题意；
无法因式分解，故B符合题意；
利用完全平方公式，可得，故C不符合题意；
利用平方差公式，可得，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．
6．A
【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案．
【详解】解：A. ，正确，符合题意；
B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意；
C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．
7．C
【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
8．D
【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．
【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相减的差为：；
故选：D
9．D
【分析】由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
将，代入得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．
10．C
【分析】将等式整理即可得出①，根据因式分解及a≠3b即可得到④．
【详解】解：∵（3 9b）（a＋b）＋9ab＝4a a2，
∴3a＋3b 9ab 9b2＋9ab＝4a a2
∴a2 a＝9b2 3b
∴a2 9b2＝a 3b
故①正确，
∴（a＋3b）（a 3b）＝a 3b，
∵a≠3b，
∴a 3b≠0，
∴a＋3b＝1．
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键．
11．1
【分析】根据多项式乘以多项式的法则求出m，n的值，即可求出答案．
【详解】（x+3）（x+m）=x2+（m+3）x+3m=x2+nx-3
∴m+3=n，3m=-3
∴m=-1，n=2
∴.
故答案为1.
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型．
12．-3
【分析】先由题意将式子2b a+3=0，进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，使每一项都含有因式a-2b，再代入求值即可得出.
【详解】∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，再代入求值．
13．64
【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．
【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，
∴，
即，
则原式，
故答案为：64．
14．
【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，利用添括号把后三项放一起，得到，利用完全平方公式进行因式分解，得到，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分组分解法是解题的关键．
【详解】
解：原式，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了完全平方公式分解因式，利用完全平方公式即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】根据因式分解的恒等性，根据确定b的值，根据题意，，确定正确的a值，后重新因式分解即可．
【详解】∵甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的看错项问题，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．
18．
【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．
19．(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）将作为整体，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
原式
（2）解：
．
21．①；②
【分析】本题考查提公因式法、公式法以及十字相乘法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征以及十字相乘法是正确解答的前提．
①先提公因式，再利用完全平方公式即可进行因式分解；
②连续利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：①原式
；
②原式
．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图丁的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．
（1）图丁的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为的正方形，三个长为，宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和，据此求解即可；
（2）根据图丁的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．
【详解】（1）解：图丁的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积，则图丁的面积为，也可以看做一个边长为的正方形，三个长为，宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和，则图丁的面积为；
（2）解：由（1）得．
23．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键．
（1）利用分组分解法进行求解即可；
（2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
∴因式能被9整除．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解本题的关键；
（1）由完全平方公式的特点可得答案；
（2）把原式化为，再利用完全平方公式的特点先分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（3）把化为，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴添上的常数项是；
（2）
；
∵
∴
∴的最小值为1；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
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