专题4.4 因式分解（全章分层练习）（培优练）（解析版）

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专题4.4 因式分解（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )

A．15 B．30 C．60 D．78
2．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
3．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
4．已知，mn=12，则的值为（ ）
A．-84 B．84 C． D．300
5．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
6．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　）
A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11
7．已知（ ）.
A．3 B．-3 C．5 D．-5
8．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
10．下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．多项式18xn+1-24xn的公因式是 .
12．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝ ．
13．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
14．设为正整数，且，则等于 ．
15．如果因式分解的结果为 ．
16．已知，，那么 ， ．
17．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
18．一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”． 例如，对于258，因为，所以258是“合十数”． 在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）因式分解：
（1）（x+2）（x+3）+； （2）3a（x2+4）2﹣48ax2
20．（8分）用简便方法计算：．
21．（10分）因式分解：
（1）； （2）（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90.
22．（10分）（2）如果，求的值．
23．（10分）（1）已知，求的值．
因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式,求m的值;
（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值;
（3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为　 ．
24．（12分）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
2．D
【详解】【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999×(-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案.
【详解】(-2)1999+(-2)2000
=(-2)1999+(-2)1999×(-2)1
=(-2)1999×(1-2)
=(-2)1999×(-1)
=21999
故选：D．
【点睛】此题考核知识点：同底数幂乘法公式am an=am+n的运用. 解题的关键：借助公式，灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果．
3．D
【详解】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选D.
4．C
【分析】根据，mn=12，利用完全平方公式变形求出，，再分情况求出答案.
【详解】∵，mn=12，
∴==，
∴，，
当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=；
当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84；
当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84；
当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84；
故选：C.
【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题.
5．C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
6．B
【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
7．A
【分析】观察已知m2-m-1=0可转化为m2-m=1，再对m4-m3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m2-m作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
【详解】∵m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m4-m3-m+2=m2 (m2-m)-m+2=m2-m+2=1+2=3，
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m2-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数.
8．D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
9．C
【分析】由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.
【详解】解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.
10．D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确；
B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确；
C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误；
D： x2 4y2=(x+2y)(x 2y) ，原式因式分解正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
11．6xn
【详解】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公因式为6xn．
故答案为6xn.
12．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式，应考虑为一组．
【详解】解：a2﹣1+b2﹣2ab
＝（a2+b2﹣2ab）﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【点睛】此题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解．
13．6．
【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】解：，
把代入得，
再把代入得；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
14．
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．
15．
【分析】把当成一个整体，再因式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．
16． -1 0
【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵m≠2n，
∴
∴m＋2n＝ 1；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案是： 1；0．
【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．
17． 20
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
18．
【分析】根据“合十数”定义，我们可以设一个“合十数”n 的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c , 则有, 然后根据题意得到 , ，然后通过,进行因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出n的值.
【详解】设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b, 个位数字是c, 则有,
则,,
∵,
∴,
,
,
,
,
∵a、b、c都是一位正整数,
∴也是正整数,
当时, (不符合条件, 舍去),
当时, (不符合条件, 舍去),
当时, ,
当时, (不符合条件, 舍去),
当时,(不符合条件, 舍去),
故, 符合题意, 则
,
故答案为: .
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给定的新定义，列出整式，通过因式分解，得到对应的式子，通过讨论，得到最后的值.
19．（1）（x+）2； （2）3a（x+2）2（x﹣2）2
【分析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）原式＝x2+5x+＝（x+）2；
（2）原式＝3a[（x2+4）2﹣16x2]＝3a（x+2）2（x﹣2）2
【点睛】此题考查多项式的因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键，还需注意分解因式需分解到不能再分解为止.
20．．
【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用．
【详解】解：设，
则原式，
，
，
∴原式．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）观察式子可令，然后利用完全平方公式进行化简，最后再将a和b换成含x的代数式即可；
（2）先利用十字相乘法将和因式分解，再通过乘法的交换律得出两个式子中均含有，用换元法可得，从而可利用十字相乘法分解因式，然后再将t换成x，最后利用十字相乘法分解因式即可.
【详解】（1）令，则
原式
；
（2）原式
令
则原式
再将t换成得：原式
.
【点睛】本题考查了利用完全平方公式、换元法、十字相乘法分解因式，观察多项式巧妙运用换元法是解题关键.
22．（1）4; （2）0.
【分析】将第一个式子变形后代入第二个式子，化简变形后整体代入已知等式求解；
将所求式子分组后，提取公因式变形，将已知等式代入计算即可.
【详解】（1），即，
（2），
【点睛】本题考查的是整式的运算及分解因式，能正确的对算式进行变形及分解是关键.
23．（1）m=-6;（2）；（3）(x-1)(x+2)(x-3)
【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x2+mx+8=0，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x=1和x=-2时，x3+ax2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的值；
（3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2-5x+b，则由题意知（x-1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【详解】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，则x=4使x2+mx+8=0，
∴16+4m+8=0，解得m=-6；
（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式，
则x=1和x=-2都使=0，
得方程组为：，解得；
（3）由（2）得，x3-2x2-5x+6有两个因式（x﹣1）和（x+2），
又，
则第三个因式为(x-3)，
∴x3-2x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)．
故答案为：(x-1)(x+2)(x-3)．
【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
24．（1）；（2）；（3）4．
【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）
当时，有最小值；
（3）
解得
则．
【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
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