专题4.7 因式分解（常考核心知识点分类专题）（基础练）（含解析）

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专题4.7 因式分解（常考核心知识点分类专题）（基础练）
考点目录：
【考点1】因式分解的判断；
【考点2】因式分解的结果求参数；
【考点3】公因式与提取公因式；
【考点4】判断能否用公式法进行因式分解；
【考点5】用公式法进行因式分解；
【考点6】综合运用平方差公式与完全平方公式进行因式分解；
【考点7】综合运用提取公因式与公式法进行因式分解；
【考点8】十字相乘法；
【考点9】分组分解法；
【考点10】因式分解在运算中的简便方法；
【考点11】因式分解的应用；
一、选择题
【考点1】因式分解的判断
1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】因式分解的结果求参数
3．若多项式因式分解得，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．4
【考点3】公因式与提取公因式
5．整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
6．已知，，则代数式的值（ ）
A．6 B． C． D．5
【考点4】判断能否用公式法进行因式分解
7．下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点5】用公式法进行因式分解
9．因式分解“”得，则“？”是（ ）
A． B． C． D．
10．已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．12 B． C．24 D．
【考点6】综合运用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
11．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【考点7】综合运用提取公因式与公式法进行因式分解
13．多项式因式分解为（ ）
A． B． C． D．
14．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，2，，a，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学
【考点8】十字相乘法
15．将多项式分解因式正确的结果为（　　）
A． B．
C． D．
16．甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　）
A． B．
C． D．
【考点9】分组分解法
17．用分组分解的因式，分组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
【考点10】因式分解在运算中的简便方法
19．计算（ ）
A． B． C． D．
20．已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（　　）
A．11 B．28 C．﹣11 D．﹣28
【考点11】因式分解的应用
21．如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （ ）
A． B．
C． D．
22．若为任意整数，则的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
二、填空题
【考点1】因式分解的判断
23．观察下列从左到右的变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
其中是因式分解的有 （填序号）．
24．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．

【考点2】因式分解的结果求参数
25．若多项式可因式分解为，则的值为 ．
26．已知，多项式可因式分解为，则的值为 ．
【考点3】公因式与提取公因式
27．与的公因式是 ．
28．已知可因式分解为，其中a，b均为正整数，则的值为 ．
【考点4】判断能否用公式法进行因式分解
29．给出下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能够因式分解的是： （填上序号）．
30．图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则 ．
【考点5】用公式法进行因式分解
31．因式分解： ．
32．因式分解： ．
【考点6】综合运用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
33．分解因式 ．
34．多项式可以分解成两个一次因式的积，那么整数的值可取 个．
【考点7】综合运用提取公因式与公式法进行因式分解
35．把多项式分解因式的结果是 ．
36．因式分解： ．
【考点8】十字相乘法
37．因式分解： ．
38．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ．
【考点9】分组分解法
39．因式分解： ．
40．因式分解： ．
【考点10】因式分解在运算中的简便方法
41． ．
42．计算： ．
【考点11】因式分解的应用
43．若a，b，c是的三边，且满足，则是 三角形．
44．对于任意的三位数，若十位数字的平方等于百位数字与个位数字的积，则称这个数为“平方积数”例如：，因为，所以是“平方积数”．
（1）最小“平方积数”是 ；
（2）已知为“平方积数”，且百位数字与个位数字不相等，满足条件的的最大值为 ．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了提公因式法的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
根据因式分解的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A．，属于整式乘法，故此选项不符合题意；
B．符合分解因式的定义，故原选项符合题意；
C．，等号的左边不是多项式，故此选项不符合题意；
D．不符合分解因式的定义，故不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解本题的关键，
【详解】解：A、属于整式的乘法计算，不符合题意；
B、因式分解错误，不符合题意；
C、属于因式分解，符合题意；
D、因式分解错误，不符合题意；；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m和n的值，再求解即可．
【详解】解：由已知，
故可得，，
∴，，
∴，
故选：D
4．C
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用等知识点，先由因式分解的方法将变形得，再将已知条件代入即可得解，熟练掌握代数式的恒等变形是解决此题的关键．
【详解】由题意得，，
∵，，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．D
【分析】
本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到，再把原式变形为，最后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，
故选：D．
9．D
【分析】此题考查了利用平方差公式分解因式与计算，解题的关键是熟悉平方差公式．先用平方差公式展开，根据对应项相等即可求出．
【详解】∵，
∴“？”是，
故选D．
10．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键．根据题意可知，由此即可得到答案．
【详解】解：能运用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故选D．
11．C
【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可．
【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意；
B、，因式分解正确，故不符合题意；
C、不能进行因式分解，
D、，因式分解正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键．
12．D
【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．
【详解】a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选：D．
【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
13．C
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故选；C．
14．C
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是关键．
题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息．
【详解】解：∵
，
分别对应4个汉字：我，爱，数，学．
则呈现的密码信息可能是：我爱数学．
故选：C．
15．C
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
．
故选：．
16．B
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c，根据乙分解的结果求出b，然后代入利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
故选：B．
17．D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
18．C
【分析】把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．
【详解】解：多项式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），
∵m＞﹣1，
∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，
∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，
故选：C．
19．A
【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
20．D
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，再将已知代入求出答案．
【详解】∵ab＝4，b﹣a＝7，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
＝4×（﹣7）
＝﹣28．
故选D．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
21．C
【分析】
本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
【详解】解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为，
∴甲、乙两块场地中草坪面积的比是，
故选：C．
22．C
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为，然后进行判断即可．
【详解】解：
，
∴的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除．
故选：C．
23．（3）
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1）不是因式分解，不符合题意；
（2）不是因式分解，不符合题意；
（3）是因式分解，符合题意；
（4）是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
【点睛】本题考查了整式的因式分解，正确理解整式的因式分解是解本题的关键．
24．
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
【详解】解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
25．25
【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，也考查了平方差公式，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，得出，即可作答．
【详解】解：依题意，∵多项式可因式分解为，
∴
∴
故答案为：25
26．1
【分析】
本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，多项式可因式分解为，
∴，
∴，即，
故答案为：1．
27．
【分析】本题考查了公因式；
根据公因式的定义，找出系数的最大公约数6，相同因式的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：∵和的最大公约数是6，
∴与的公因式是，
故答案为：．
28．
【分析】本题考查的是因式分解的应用，先提取公因式，得到，再求解，的值，代入计算即可．
【详解】解：
．
∵可分解因式为，
∴，
则，，
故．
故答案为．
29．②④⑤⑥
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
【详解】①，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
②，故可以因式分解；
③，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④，故可以因式分解；
⑤，故可以因式分解；
⑥，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
30．
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，正方形的面积，根据，再根据，整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
，
∵，，
∴．
故答案为：．
31．/
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．整理后用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
32．
【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
33．
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
．
故答案为：．
34．6
【分析】把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和．
【详解】解：∵把12分成两个整数乘积的形式有：；；；；；，
∴p的值为；；；；；，
∴整数p的值为或或，共6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次三项式的分解因式：．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和．
35．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
36．
【分析】本题考查了运用提公因式和公式法进行分解因式，先进行提公因式，再运用完全平方公式，进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
37．
【分析】本题考查因式分解，根据十字相乘法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
38．
【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键．
先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解．
【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）．
∴，
故答案为：．
39．
【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答．
【详解】解：
故答案为：．
40．
【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
41．
【分析】本题考查了平方差公式；根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
42．408
【分析】本题主要考查了提取公因式法的应用，先提取公因式102，再进行计算即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：408．
43．等腰
【分析】此题考查了因式分解的应用．已知等式分解因式后，利用等式的性质即可求解．
【详解】解：为等腰三角形，理由如下：
，，分别为的三边，
，即，
已知等式整理得：，
分解因式得：，即，
，即，
则为等腰三角形．
故答案为：等腰．
44． 100 964
【分析】本题考查了因式分解的应用．
（1）按照定义判断列方程求解即可；
（2）按照定义判断列方程求解即可．
【详解】解：（1）百位数为1时，三位数最小，
设各位数为x，
∵十位数字的平方等于百位数字与个位数字的积，
∴需满足为平方数，
∵最小的平方数为0，
∴，
∴，
∴最小“平方积数”是100．
故答案为：100．
（2）百位数为9时，三位数最大，
设个位数为x，需满足为平方数，
∵百位数字与个位数字不相等，
∴时最大，
∴，
∴满足条件的m的最大值为964．
故答案为：964．
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