中小学教育资源及组卷应用平台
【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
2．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（ ）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
3．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
4．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
5．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
6．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
7．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
8．已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．
9．若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
10．计算3×（ ﹣2018×（ ）+1的结果等于（ ）
A．﹣2017 B．﹣2018 C．﹣2019 D．2019
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
12．若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
13．若，则 ．
14．阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？
解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
若为常数有一个因式为，则因式分解 .
15．阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
16．若a, b, c 满足，则________
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2—4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
19．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8=32—12，16=52—32，24=72—52，
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
20．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
21．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
22． 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
23．[阅读材料]分解因式：
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设为常数)，通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：
； ；
（2）请你用“试根法”分解因式：；
（3）①若多项式为常数)分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求mn的值.
24．先阅读下列材料，然后解决后面的问题.
材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8.
（1）判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”.
（2）对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除.
（3）已知有两个十位数相同的“协和数”，（＞），且，若，用含b的式子表示y.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么可取值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【解析】∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或9=1×（-9）且a为整数
∴，
又∵是一个二次三项式，
∴不合题意
∴或
∴
故答案为：A.
2．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（ ）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
【答案】C
【解析】x2-xz-xy+yz=23，
x（x-z）-y（x-z）=23，
（x-y）（x-z）=23，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x-z=1，x-y=23或x-z=23，x-y=1，
∵a=x-z，
∴a=1或a=23，
[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a
=（3a2+6a-a-2-5a+2）÷a
=3a2÷a
=3a，
当a=1时，原式=3，
当a=23时，原式=69，
∴[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a的值为3或69；
故答案为：C.
3．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【解析】3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，
x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，
（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，
则x+2y＝0，x﹣1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣ ，
则x+y＝ ，
故答案为：D．
4．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
【答案】C
【解析】当n是偶数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，
当n是奇数时，
[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ，
设n=2k﹣1（k为整数），
则 = =k（k﹣1），
∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，
故选C．
5．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（ ）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
【答案】B
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)能被6整除。
故选B.
6．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【解析】∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3=m3 -mn-mn+n3=m(m2-n)+n(n2-m)= 2022m +2022n= 2022(m +n)=2020 ×(-1)=-2022.
故答案为：B.
7．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【解析】∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
8．已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．
【答案】B
【解析】∵，
∴， ，
故答案为：B.
9．若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
10．计算3×（ ﹣2018×（ ）+1的结果等于（ ）
A．﹣2017 B．﹣2018 C．﹣2019 D．2019
【答案】B
【解析】3× ﹣2018×（ ）+1
＝ ×（3× ﹣2018）+1
＝﹣ × +1
＝﹣ +1
＝﹣2019+1
＝﹣2018
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．利用简便方法计算： (1-)×(1-)×……×(1-)×(1-)=
【答案】
【解析】∵；
；
；
······
；
故
=
=
=
；
故答案为：.
12．若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【解析】∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
13．若，则 ．
【答案】49
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
14．阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？
解：∵有一个因式为，∴当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
若为常数有一个因式为，则因式分解 .
【答案】
【解析】∵有一个因式为，∴当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
因式分解，
故答案为：.
15．阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
【答案】（2x+y-3）（x-11y+1）
【解析】∵，
设，
∴，
解得m=-3，n=1，
∴，
故填： （2x+y-3）（x-11y+1）.
16．若a, b, c 满足，则________
【答案】
【解析】∵
∴ ，即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵
即
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
【答案】（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012，
8m+4=2012，
m=501，
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
（2）解：是；理由如下：
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
（3）解：由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，
∵2n-1是奇数，
∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
19．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
20．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【解析】（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
21．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
22． 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
【答案】（1）解：，．
，，解得：，．
；
（2）解：，，
，即，．，是等腰的两边长，
当是腰，是底时，的周长；
当是腰，是底时，的周长．
（3）解：，，
，，，为正整数，∴，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，或2.5或1.5且，，为正整数，，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
23．[阅读材料]分解因式：
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设为常数)，通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：
； ；
（2）请你用“试根法”分解因式：；
（3）①若多项式为常数)分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求mn的值.
【答案】（1）；
（2）当时，
（3）①根据题意得，x=2时，
把代入
得
∴
②根据题意得，和时
把和代入得
【解析】（1）第一空：当x=1时，x2+x-2=0，
设x2+x-2=（x-1）（x+m），
x2+x-2=x2+mx-x-m=x2+(m-1)-m，
∴m-1=1，解得m=2，
即x2+x-2=（x-1）（x+2）；
故答案为：（x-1）（x+2）.
第二空：当x=-1时，2x2-5x-7=0，
设2x2-5x-7=（x+1）(2x+m)，
2x2-5x-7=2x2+mx+2x+m=2x2+（m+2）x+m，
∴m+2=-5，解得m=-7，
即2x2-5x-7=（x+1）(2x-7)；
故答案为：（x+1）(2x-7).
24．先阅读下列材料，然后解决后面的问题.
材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，∵它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8.
（1）判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”.
（2）对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除.
（3）已知有两个十位数相同的“协和数”，（＞），且，若，用含b的式子表示y.
【答案】（1）132
（2）解：∵是“协和数”，
∴a+c=b，
∵=100a＋10b＋c＝99a＋10b＋a＋c＝99a＋11b＝11（9a＋b），
∵a是整数，b是整数，
∴9a＋b是整数，
∴“协和数”能被11整除；
（3）解：∵，
∴=1，、、b均为整数，＞，
∴－＝1， b－－＝1，
∴＋=b-1，
∴，，
①+②得：，
∴
=
.
【解析】（1）∵1＋2＝3，
∴132是“协和数”，
∵1+3≠2，
∴123不是“协和数”，
∵3+1≠2，
∴321不是“协和数”，
故答案为：132；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
