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第5章 分式 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，是分式的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】选项、、中代数式的分母中不含有字母，不是分式；选项中代数式的分母中含有字母，属于分式．
故选．
2．若分式有意义时，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】分式有意义，
，
解得．
故选．
3．若分式的值为0，则实数的值为
A．0或5 B．5 C． 或0 D． 或5
【答案】
【解析】由题意可得且，
解得：，
故选．
4．下列分式中，最简分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式；
，不是最简分式；
故选．
5．若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是
A．5 B． C． D．
【答案】
【解析】和都扩大5倍，
扩大到原来的：倍，
分式的值也扩大5倍，
□扩大到原来的5倍，
扩大5倍，
“□”也要扩大到原来的5倍，
“□”可以是，
故选．
6．下列约分结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】、，错误；
、，错误；
、，正确；
、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．
故选．
7．如图，若为正整数，则表示分式的值落在
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
【答案】
【解析】．
为正整数，
最小值为1．
当时，取最小值．
．
分式的值落在线②处．
故选．
8．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：
，
被污染的代数式为，
故选．
9．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】两分式的最简公分母为，
，
则的分子变为．
故选．
10．过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进，两种规格的春联进行零售，其中种春联的进价比种春联的进价低5元，用1500元购进种春联的数量是用1000元购进种春联数量的2倍，求种春联的进价．若设种春联的进价为元，则根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】种春联的进价比种春联的进价低5元，且种春联的进价为元，
种春联的进价为元．
根据题意得：．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．分式与的最简公分母是 ．
【答案】．
【解析】与的最简公分母是，
故答案为：．
12．有下列方程：①，②，③为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②．
【解析】①方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
②方程的分母中含有未知数，是分式方程；
③方程为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程；
所以分式方程有②．
故答案为：②．
13．如果，，那么的值为 ．
【答案】．
【解析】，，
，可得，
，
，
故答案为：．
14．对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为 ．
【答案】1011．
【解析】，
，
，
，
故答案为：1011．
15．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍．
【答案】．
【解析】由题意得，
．
故答案为：．
16．关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】1或2．
【解析】，
方程转化为，
去分母，，
整理得，，
当时，方程无解，
，
．
，原分式方程无解．
故答案为：1或2．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1）方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程的解为；
（2）方程两边同时乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
18．先化简，再从，1，3中选择一个适当的数作头的值代入求值．
【解析】
，
，
，
，
要使分式有意义，则，0．
可取，
则原式．
19．已知关于的方程．
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求的值．
【解析】（1）把代入方程得：，
方程两边都乘以得：，
解方程得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；
（2），
方程两边都乘以得：①，
整理得：②，
有三种情况：
第一种情况：当时，方程无解，即此时，
把代入①得：，
解得：；
第二种情况：当时，方程无解，即此时，
把代入①得：，
解得：；
第三种情况：②，
当时，方程无解，
即此时；
所以或或1．
20．已知关于的分式方程．
（1）若方程的增根为，求的值；
（2）若方程无解，求的值．
【解析】去分母，得，
整理，得，
（1）将代入，
解得；
（2）方程无解，
当时，；
将代入，
解得，
当时，，
满足条件的的值有或或．
21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式与分式互为“关联分式”．如，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
（1）请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”．
（2）求分式的“关联分式”．
【解析】（1）
，
，
，
分式是分式的“关联分式”．
（2）设分式的“关联分式”为，
则，
解得：，
答：分式的“关联分式”是．
22．化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
解：原式
（1）甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【解析】（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
；
若选择乙同学的解法：
．
23．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为小时，可列方程为 ．
（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
【解析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，
依题意得：；
设甲型机器人搬运所用时间为小时，
依题意得：．
故答案为：；．
（2）选择小华同学的思路：，
化简得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路：，
变形得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
所以乙型机器人每小时搬运产品．
24．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验：都是方程的解，当时，，解得：，
当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，
原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（2）利用上述方法解方程：．
（3）模仿上述换元法解方程组：．
【解析】（1）由题意知，原方程可化为，
故答案为：；
（2）设，则原方程化为：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解为．
（3）设，，则原方程组可化为，
解得，
．
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第5章 分式 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，是分式的是
A． B． C． D．
2．若分式有意义时，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则实数的值为
A．0或5 B．5 C． 或0 D． 或5
4．下列分式中，最简分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是
A．5 B． C． D．
6．下列约分结果正确的是
A． B．
C． D．
7．如图，若为正整数，则表示分式的值落在
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
8．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为
A． B． C． D．
9．将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为
A． B． C． D．
10．过新年贴春联，是中国传统的过年习俗，既增添了喜庆的节日气氛，又寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某超市计划购进，两种规格的春联进行零售，其中种春联的进价比种春联的进价低5元，用1500元购进种春联的数量是用1000元购进种春联数量的2倍，求种春联的进价．若设种春联的进价为元，则根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．分式与的最简公分母是 ．
12．有下列方程：①，②，③为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
13．如果，，那么的值为 ．
14．对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为 ．
15．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍．
16．关于的方程无解，则的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．先化简，再从，1，3中选择一个适当的数作头的值代入求值．
19．已知关于的方程．
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求的值．
20．已知关于的分式方程．
（1）若方程的增根为，求的值；
（2）若方程无解，求的值．
21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式与分式互为“关联分式”．如，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
（1）请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”．
（2）求分式的“关联分式”．
22．化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式
解：原式
（1）甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
23．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为 ．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为小时，可列方程为 ．
（2）求乙型机器人每小时搬运多少千克产品．
24．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验：都是方程的解，当时，，解得：，
当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，
原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（2）利用上述方法解方程：．
（3）模仿上述换元法解方程组：．
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