浙教版七年级下册数学第三章 因式分解单元培优卷（含解析）

浙教版七年级下册数学第三章因式分解单元培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）计算：101×1022-101×982=（　　）
A．404 B．808 C．40400 D．80800
5．（3分）若，，则的值为（　　）
A．1 B．11 C．30 D．35
6．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（　　）
A．x2-1 B．x(x-2)+(2-x)
C．x2-2x+1 D．x2+2x+1
7．（3分）如果代数式是一个完全平方式，那么m的值为（　　）
A．6 B．-12 C．±6 D．±12
8．（3分）已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
9．（3分）如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （　　）
A． B． C． D．
10．（3分）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题(共6题；共24分)
11．（4分） 式子与的公因式是 　 　．
12．（4分）已知 则 =　 　.
13．（4分）将16y2+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为　 　.
14．（4分）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数　 　．
15．（4分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是　 　(写出一个即可).
16．（4分）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）（2分）若，，则图阴影部分的面积是　 　；
（2）（2分）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是　 　．
三、解答题(共7题；共46分)
17．（5分）已知x，y满足方程组 求 的值.
18．（5分）将一个三位数的百位数字与个位数字互相交换位置，得到的新数与原数之差能被99整除吗 请说明理由.
19．（6分）已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）（3分）分解因式：(2n+1)2-1．
（2）（3分）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
20．（6分）
（1）（3分）若a，b，c分别表示三角形ABC 的三边长，且 试说明三角形ABC是等边三角形.
（2）（3分）若 求 x，y 的值
21．（6分）阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
（8分）认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）（2分）上述因式分解的方法是 .
（2）（3分）分解因式：
（3）（3分）猜想 分解因式的结果.
23．（10分）许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）（3分）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）（3分）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）（4分）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：Ａ、是整式的乘法，不是因式分解，故符合题意.
B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意.
C、等式右边不是整式积的形式，不符合题意.
D、符合因式分解的定义，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分解因式是把一个多项式化成几个因式连乘积的形式，根据定义分别判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】 添括号时，如果括号前面是加号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号．根据法则分别判断，即可解答．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，则本项不符合题意；
B、，则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先找出多项式中各项的公因式，提取各项的公因式，进而将多项式的各项除以公因式，将剩下的商式写在一起作为积的一个因式，逐项分析即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：原式=101×（1022-982）=101×（102+98 ）×（102-98） =101×200×4=80800.
故答案为：D.
【分析】观察可知，两项含有公因数101，先提取公因数，再利用平方差公式进行计算，可求出结果.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x+y=5，x-y=6，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=5×6=30.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差，将待求式子分解因式，再把x+y=5，x-y=6直接代入计算即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、x2-1=（x+1）（x-1），此代数式含有因式x-1，因此A不符合题意；
B、原式=x(x-2)-(x-2)=（x-2）（x-1），此代数式含有因式x-1，因此B不符合题意；
C、x2-2x+1=（x-1）2，此代数式含有因式x-1，因此C不符合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，此代数式不含有因式x-1，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用平方差公式、完全平方公式、提公因式，对各选项先分解因式，再作出判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2+mx+36=x2+mx+62是一个完全平方式，
∴2×6=±m，
∴m=±12.
故答案为：D.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可列出关于字母m的方程，求解即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
9．【答案】C
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
10．【答案】B
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：式子与的公因式是，
故答案为：．
【分析】两个式子因数的最大公约数与相同字母或含字母式子的最低次幂的积就是两个式子的公因式，据此求解即可.
12．【答案】9
【解析】【解答】解：，
把代入得：原式=.
故答案为：9.
【分析】利用提公因式法、完全平方公式因式分解，可得：，代数求值即可.
13．【答案】8y，-8y，64y4
【解析】【解答】解：∵16y2+1=（4y）2+1，
∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，
∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，
∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2.
故答案为：8y，-8y，64y4.
【分析】若添加的是中间项，根据完全平方式的特点可得中间项应为±2·4y×1；若16y2为中间项，则二次项应为(16÷2)2y4，据此解答.
14．【答案】；
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
15．【答案】104020，102040等写出一个即可
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
16．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
图1阴影部分面积为：a2+b2=32+42=25，
故答案为：25；
（2）由题意得a2+b2=3，
∵am-bn=2，an+bm=4，
∴将两式分别平方得：a2m2-2abmn+b2n2=4①，
a2n2+2abmn+b2m2=16②，
∴①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）=20，
∵a2+b2=3，
∴m2+n2=，
∴图2阴影部分的面积=S四边形ABCD--
=5-
=5-
=
故答案为：.
【分析】 （1）根据正方形的面积公式计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2=3，将题干中两个等式分别平方后求和，然后再将等式的一边分解因式得（a2+b2）（m2+n2）=20，求得m2+n2=，最后利用割补法求图2中阴影部分的面积．
17．【答案】解： ∵
∴=(2x-y)2(2x-y-x+3y) =(2x-y)2(x+2y) =122×11=1584.
【解析】【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式得(2x-y)2(x+2y) ，然后整体代入计算即可.
18．【答案】解：能.理由如下：
设原来三位数的个位为a，十位为b，百位为c，
∴
∴得到的新数与原数之差能被99整除.
【解析】【分析】设原来三位数的个位为a，十位为b，百位为c，根据各个数位上的数字所表示的实际意义分别表示出原数与新数，再根据整式减法法则计算后即可得出结论.
19．【答案】（1）解： (2n+1)2-1
=
=
=
故答案为：
（2）解：所有“白银数”的最大公约数是8.
理由：∵n是正整数.
∴在n与n+1中必有一个数为偶数.
∴n（n+1）一定是2的倍数.
∴4n（n+1）一定是8的倍数.
∴所有“白银数”的最大公约数是8.
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公式将(2n+1)2 展开进行合并同类项，然后提公因式算出答案即可.
（2）首先由（1）题的结果，然后根据白银数的定义判断出所有白银数的最大公约数即可.
20．【答案】（1）解：∵
∴
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
（2）解：∵，
∴(x-2y)2+(y-1)2=0，
∴x-2y=0，y-1=0，
解得x=2，y=1.
【解析】【分析】（1）把原等式化为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0，再利用偶次幂的非负性可得a=b=c，根据等边三角形的判定即证；
（2）将原式化为(x-2y)2+(y-1)2=0，根据偶次幂的非负性求出x、y的值.
21．【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
∴ ，
解得：，
∴另一个因式为 ，m的值为65 .
【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边x的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可.
22．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
23．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
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