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专题5.3 分式的加减法之十一大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 最简公分母】 1
【考点二 通分】 2
【考点三 同分母分式加减法】 4
【考点四 异分母分式加减法】 5
【考点五 整式与分式相加减】 7
【考点六 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8
【考点七 分式加减混合运算】 10
【考点八 分式加减的实际应用】 13
【考点九 分式加减乘除混合运算】 14
【考点十 分式化简求值】 16
【考点十一 分式混合运算错解复原问题】 17
【过关检测】 22
【典型例题】
【考点一 最简公分母】
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母，本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键．
【详解】的最简公分母是，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简公分母，将两个分式的分母进行因式分解，即可求解．
【详解】解：的分母为，分解因式可得，
的分母为，分解因式可得，
因此分式与的最简公分母是．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确的对分母分解因式．将各个分式的分母因式分解即可求解．
【详解】解：，，
分式与的最简公分母是，
故答案为：．
【考点二 通分】
例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）通分：
(1)，，； (2)，，．
【答案】(1)，，
(2)， ，
【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂．
（1）中最简公分母是，利用分式的性质变形即可；
（2）中三个分式的分母分别为，，，把视为一个整体，确定最简公分母是．注意中的“”可放在分数线的前面．
【详解】（1）解：∵最简公分母是，
∴，
，
．
（2）解：∵最简公分母是，
∴，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课时练习）通分：
(1)，； (2)，．
【答案】(1)，
(2)；
【分析】（1）把两式都化为分母为的式子即可；
（2）把两式都化为分母为的式子即可．
【详解】（1）解：，．
（2）解：；
【点睛】本题考查通分．掌握根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫做通分是解题关键．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)，； (2)，； (3)，，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，
【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键．
（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．
【详解】（1）解：（1）最简公分母是，
，
；
（2）解：最简公分母是，
，
；
（3）解：最简公分母是，
，
，
．
【考点三 同分母分式加减法】
例题：（2024·湖北十堰·一模）计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．利用同分母分式的加减法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了同分母的分式减法，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（2024·山东聊城·一模）化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了分式的加减运算，把原式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【考点四 异分母分式加减法】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.
（1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解；
（2）通分并利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．
（1）根据同分母减法运算法则进行计算即可；
（2）根据异分母减法运算法则进行计算即可；
（3）根据异分母加法运算法则进行计算即可；
（4）异分母减法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先找到最简公分母，再通分，最后约分即可得出答案；
（2）先找到最简公分母，再通分，最后约分即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【考点五 整式与分式相加减】
例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算：．
【答案】
【详解】解：原式．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解；
（2）根据分式的加法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据分式的加法法则相加，再约分即可；
（2）先通分，再根据分式的加法法则相加，即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了分式的加法，熟知计算法则是解题的关键．
【考点六 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________．
(3)计算：_________．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由，，，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得，解之得；
（2）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得，解之得；
故答案为：，；
（3）解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点七 分式加减混合运算】
例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式．
（2）原式
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：
故答案为：．
（4）解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；
（3）通分，最简公分母为；
（4）把看成是一项，为，再通分；
（5）前两项先通分，再依次计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式；
（5）解：原式．
【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键．
【考点八 分式加减的实际应用】
例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可．
【详解】解：根据题意：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案，
【详解】解：千米/小时，
∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时，
故答案为：．
2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了异分母分式减法的实际应用，根据题意可知，原计划每天读页，实际每天读页，用实际每天读的页数减去原计划每天读的页数即可得到答案．
【详解】解： ，
∴平均每天比原计划要多读的页数为，
故答案为：．
【考点九 分式加减乘除混合运算】
例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据同分母分式的减法法则进行计算；
（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案；
（2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案；
（3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案；
（4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则；
（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】（1）
（2）．
【考点十 分式化简求值】
例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法．
先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值．
【详解】解：原式，
当时，．
【变式训练】
1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到，，据此得到，最后代值计算即可．
【详解】解：
由题得，，，
当时，原式．
2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知且且，根据，，可知，则的整数值可取．
【详解】原式
根据题意可知且且．
∵，，
∴，．
∴．
∴的整数值可取．
将代入，得
原式
【考点十一 分式混合运算错解复原问题】
例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
解：原式① ② ③…
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见详解
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
（2）解：原式
＝
＝．
∵x是满足条件的非负整数
∴，
∵由于分母不为0，
∴，
∴
∴原式或．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②，过程见解析
【分析】
本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤重新计算即可．
【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
②
．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解：．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
(1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．
(2)先化简再求值：，已知．
【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；③
(2)，
【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出，整体代入计算即可．
【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：一，分式的基本性质；
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；
故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；
．
，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，
原式．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式，，的分母分别是，，，
故最简公分母是：，
故选：C．
2．（2024·广东珠海·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：D．
3．（2024·河南周口·二模）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加减运算法则化简，再由得出，代入计算即可得出答案．
【详解】
故选D．
4．（2024·河北石家庄·一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下变形过程正确的是（ ）
A．原式 B．原式
C．原式 D．原式
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法即可得到答案．
【详解】解：
，
∴四个选项中，只有D选项正确，符合题意，
故选：D．
5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）已知均为正实数，且，若，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定大小关系
【答案】C
【分析】本题考查了分式的加减法则的运用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．分别通分化成同分母的分式相加，再根据分数的基本性质进行判断即可，最后比较即可．
【详解】解：
，
，
∵，
∴，
∴，
∵均为正实数，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
6．（2023·浙江温州·三模）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了同分母分式的加减，平方差公式分解因式的运用，分式约分法则的运用．解答中注意符号的运用．先根据同分母分式相加减的法则进行计算，然后分解因式，最后约分化简就可以了．
【详解】解：
．
故答案为：
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知非零实数a，b满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简所求式子，再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
8．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求代数式的值、分式的加减及解二元一次方程组，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．由，从而有，进而构造二元一次方程组求得m，n的值代入原式即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
9．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ．
【答案】
【分析】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算．根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴
可知此组数三个一循环，
，
∴．
故答案为：．
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据得到或或，再化简代数式，解答即可，本题考查了分式的化简求值，熟练化简是解题的关键．
【详解】∵，
∴或或，
∴或或，
∵
；
且，，即且且，
∴，
，
故答案为：．
三、解答题
11．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算：先算括号里面的减法运算，再乘除，然后约分．
（1）先进行同分母的加法运算，然后把分子因式分解后约分即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键；
（1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）；
，
；
（2）
=
．
13．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简；
（1）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，同时把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，然后把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（2024·湖北孝感·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可.
【详解】解：
，
当时，原式=．
15．（2024·山东济宁·模拟预测）先化简， 再求值∶ ，其中a是使不等式成立的正整数．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解不等式．先利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的值代入计算即可，注意计算的准确性．
【详解】解：原式
解不等式得：
∵且
∴
∴原式
16．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出正确的化简过程；
任务三：请你从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】任务一：（1）五，分式的基本性质；（2）一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号
任务二：见解析；
任务三：当时，值为1．
【分析】
本题考查分式的混合运算：
任务一：（1）根据分式的基本性质，进行作答即可；
（2）第一步加括号时，括号里第二项没有变号；
任务二：根据分式的混合运算法则，进行计算即可；
任务三：选一个使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】
解：任务一：（1）以上化简步骤中，第五步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质；
故答案为：五，分式的基本性质；
（2）从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号；
故答案为：一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号
任务二：
任务三：∵，
∴，
当时，
17．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
【答案】(1)甲水果的单价卖得高；
(2)高的单价是低的单价的倍．
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）用甲框的单间减去乙框的单间，再进行整理即可得出答案；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）根据题意得：，
所以甲水果的单价卖得高；
（2）根据题意得：
，
答：高的单价是低的单价的倍．
18．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在分式中，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如：．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)当为何整数值时，的值为整数？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）根据题意，把分式，分子化为，再进行化简，写成整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值．
【详解】（1）解：由题可得， ；
（2）解：
∵分式的值为整数，且为整数，
，
解得：或．
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专题5.3 分式的加减法之十一大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 最简公分母】 1
【考点二 通分】 2
【考点三 同分母分式加减法】 4
【考点四 异分母分式加减法】 5
【考点五 整式与分式相加减】 7
【考点六 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8
【考点七 分式加减混合运算】 10
【考点八 分式加减的实际应用】 13
【考点九 分式加减乘除混合运算】 14
【考点十 分式化简求值】 16
【考点十一 分式混合运算错解复原问题】 17
【过关检测】 22
【典型例题】
【考点一 最简公分母】
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）分式与的最简公分母是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）分式与的最简公分母是 ．
【考点二 通分】
例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）通分：
(1)，，； (2)，，．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课时练习）通分：
(1)，； (2)，．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1)，； (2)，； (3)，，．
【考点三 同分母分式加减法】
例题：（2024·湖北十堰·一模）计算： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）计算的结果为 ．
2．（2024·山东聊城·一模）化简： ．
【考点四 异分母分式加减法】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算
(1) (2)
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）计算：
(1) (2) (3) (4)
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)．
【考点五 整式与分式相加减】
例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1) (2)
2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算：
(1)； (2)．
【考点六 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________．
(3)计算：_________．
【考点七 分式加减混合运算】
例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5)．
【考点八 分式加减的实际应用】
例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时．
2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）．
【考点九 分式加减乘除混合运算】
例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1)； (2)．
【考点十 分式化简求值】
例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值．
2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值．
【考点十一 分式混合运算错解复原问题】
例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
解：原式① ② ③…
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解：．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
(1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．
(2)先化简再求值：，已知．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东珠海·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南周口·二模）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北石家庄·一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下变形过程正确的是（ ）
A．原式 B．原式
C．原式 D．原式
5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）已知均为正实数，且，若，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定大小关系
二、填空题
6．（2023·浙江温州·三模）化简： ．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知非零实数a，b满足，则 ．
8．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ．
9．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ．
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，则代数式的值为 ．
三、解答题
11．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
(1)；
(2)．
12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）化简：
(1)；
(2)．
14．（2024·湖北孝感·一模）先化简，再求值：，其中．
15．（2024·山东济宁·模拟预测）先化简， 再求值∶ ，其中a是使不等式成立的正整数．
16．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出正确的化简过程；
任务三：请你从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
17．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
18．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在分式中，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如：．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)当为何整数值时，的值为整数？
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